בחינת בגרות

מתמטיקה 5 יח"ל


חלק ראשון - 2016, קיץ מועד א


הצעה לפתרון שאלה 2


סעיף א

נתחיל מהנתון הידוע לנו ונראה לאן ניתן להגיע...

a4 + a8 + a12 + a16 = 224
(a0+4d) + (a0+8d) + (a0+12d) + (a0+16d) = 224
4a0 + 40d = 224
a0 + 10d = 56

הגענו לביטוי הכולל את a0 ואת הפרש הסדרה d.

נראה כיצד ניתן להשתמש בביטוי זה בנוסחה לחישוב סכום סדרה עד האיבר ה-n-י שגם בה מופיעים איבר בסדרה והפרש הסדרה,

Sn = n/2•[2a1 + (n-1)•d]

S19 = 19/2•[2a1 + (19-1)•d] =
19/2•(2a1+18d) =
19•(a1+9d)

קיבלנו ביטוי לסכום 19 האיברים הראשונים בסדרה שבו מופיע הפרש הסדרה והאיבר השני. נשים לב שאם נמיר את האיבר השני באיבר הראשון+הפרש הסדרה נקבל בדיוק את הביטוי שקיבלנו קודם. כן... זה משהו קצת טריקי שאין שיטה מסודרת שבה ניתן להגיע לפתרון... אלא פשוט צריך להגיע אל הבנת הדרך לפתרון בעזרת "משחק" עם המשוואה שנראית כמתאימה לחישוב סכום n איברי הסדרה הראשונים בהתאם לנתוני השאלה (שהיו ביטוי חשבוני לאיבר כלשהו בסדרה והפרש הסדרה).

נקבל,

S19 = 19•(a1+9d) =
19•[(a0+d)+9d] =
19•(a0+10d) =
19•56 =
1064

סעיף ב

מצאנו בסעיף קודם שמתקיים,

a1+9d = 56

זהו למעשה ערכו של a10,

a1+9d = a10 = 56

לפי נוסחת הסכום של הסדרה החדשה הנתונה בשאלה נקבל שהאיבר S10 בסדרה החדשה הוא,

Sn = n•an

S10 = 10•a10 = 10•56 = 560

נמצא את סכום 10 האיברים הראשונים בסדרה גם בדרך אחרת – בעזרת הנוסחה הרגילה לחישוב סכום איברים בסדרה בה השתמשנו בסעיף קודם. נקבל,

Sn = n/2•[2a1 + (n-1)•d]

S10 = 10/2•[2a1+(10-1)•d] =
5•(2a1+9d) =
5•[2•(56-9d)+9d] =
5•(112-18d+9d)
=560-45d

נשווה בין שתי התוצאות שקיבלנו לסכום 10 האיברים הראשונים של הסדרה ונקבל,

560-4d = 560

משוואה זו תיתכן רק עבור הפרש סדרה d השווה לאפס!

סעיף ג

פשוט נציב הפרש סדרה d אפס במשוואה לחישוב האיבר a1 ונקבל,

a1 = 56-9d = 56-0 = 56

למעשה, מכיוון שהפרש הסדרה הוא אפס נקבל שכל האיברים בסדרה שווים ל- 56! כמו a10 שאת ערכו כבר מצאנו בסעיף ב.

סעיף ד
bn+1 – bn = an + Sn
(b2-b1) + (b3-b2) + (b4-b3) + … + (b20-b19) = ?

ידוע לנו ש-

Sn = n•an

ידוע גם מסעיף ג שאיברי כל הסדרה שווים ל- 56. כלומר,

an = 56

נציב את שני אלה במשוואה של הסדרה החדשה ונקבל,

bn+1 – bn = an + Sn =
56 +n•56 =
56•(n+1)

נציב את הביטוי שקיבלנו לחישוב bn+1 – bn באיברי הסדרה שאת סכומה יש לחשב ונקבל,

56•(1+1) + 56•(1+2) + 56•(1+3) + … + 56•(1+19)
2•56 + (2•56+56) + (2•56+2•56) + … + (2•56+18•56)

קל לראות שקיבלנו סדרה חדשה שבה האיבר הראשון הוא 2•56 וההפרש בה הוא 56.

הסכום שיש לחשב הוא של 19 איברים ראשונים בסדרה זו. נקבל שהסכום הוא,

S19 = 19/2•[2•256+(19-1)•56] =
19/2•(22•56) =
11,704

[לשאלה הקודמת | לשאלה הבאה]

[an error occurred while processing this directive]