אלגברה

מבוא

ההתפתחות העיקרית ביוון העתיקה היתה בתחום הגיאומטריה. בתחום תורת המספרים חקרו היוונים את תכונותיהם של המספרים ואף גילו את המספרים האי-רציונליים, אם כי סרבו להכיר בקיומם. התפתחות ממשית בענף תורת המספרים התרחש רק לאחר תקופתם במהלך קיומה של האימפרייה הערבית.

נציין כי בין האמפריה היוונית לאימפריה הערבית, כלומר בתקופתה של האימפריה הרומית, לא חלה התקדמות של ממש במתמטיקה. הרומאים היו מהנדסים מוכשרים ובנאים יוצאי דופן, אך לא התעניינו בפילוסופיה ובחקר המדע לשם המחקר בלבד. תחום עיניינם היה מעשי ובשל כך לא קידמו את המתמטיקה למרות פריחתם בתחומים רבים אחרים.

מדע השחזור והאיזון

נושא האריתמטיקה נקלט היטב בעולם המוסלמי במצרים. תחום זה נקרא "מדע השחזור והאיזון", המילה המודרנית אלגברה נגזרית מהמילה הערבית אל-ג'אברו שמשמעה איזון. מתמטיקאי ערבי מוסלמי בשם

מוּחַמֵד אִיבֵּן מוּסָא אַל-חַ'ווַארִיזְמִי (Mohammed Ibn Musa Al-Khwarizmi או בערבית محمد بن موسى الخوارزميّ)

כתב במאה ה-9 את אחד מספרי האלגברה הראשונים שתיארו פתרון בעיות בצורת משוואות בצורה שיטתית ומובנית צעד אחרי צעד.

אל-ח'וואריזמי נולד בשנת 790 לערך, ככל הנראה באיזור שבין הפרת והחידקל (לא הרחק מבגדד של היום). אין מספיק פרטים על חייו. שם משפחתו מעיד על מוצא מאזור ח'אריזם (אז חלק מפרס היום חלק מאוזבקיסטן), אך ניתן להניח כי הוא עצמו לא נולד שם, אלא אבות אבותיו.
אל-ח'וואריזמי נולד לתוך אימפריה ערבית איסלמית שהשתרעה מהמזרח-התיכון ועד לתת-היבשת ההודית. אימפריה זו נשלטה על-ידי שושלת העבאסית (Abbasid). משנת 786 שלט בה הח'אליף

חַ'ארוּן אַל-רַאשִיד (Harun Al-Rashid)

, הלה החל לפתח תרבות של חשיבה מדעית בחצר שלטונו בבגדד.
עם מותו בשנת 809 תפס בנו הצעיר,

אַל-מַאמוּן (Al-Mamun)

, את השלטון. בתקופת שלטונו של אל-מאמון נמשכה ההתקדמות המדעית בבגדד. הוקמה אקדמיה ללימודי מדעים בשם "בית החוכמה" (בית אל-חיכמה). באקדמיה זו תורגמו ונלמדו הרבה יצירות מיוון העתיקה. כמו-כן הוקמו גם מצפי כוכבים שיכלו לשמש את המלומדים המוסלמים בתצפיותיהם.

אל-ח'וואריזמי היה תלמיד וחוקר בבית החוכמה שבבגדד. שם הוא למד מתרגומי כתבים שמקורם ביוון העתיקה וגם ממקורות מדעיים הודיים. תרומתו העיקרית למדע היא כתיבת הספר הידוע הראשון שעוסק בפתרון בעיות מתמטיות. בשנת 830 (לערך) הוא פרסם ספר תחת הכותרת "חשבון ההשלמה והאיזון" (Hisab Al-Jabr wa Al-muqabala או בערבית حساب الجبر و المقابلة). מהמילה הערבית "ההשלמה" (Al-Jabr) נגזרת, כפי שכבר ציינו, המילה הלועזית אלגברה (Algebra).

בספרו זה מציג אל-ח'וואריזמי שיטה לפתרון בעיות בצורת משוואות ממעלה ראשונה וממעלה שנייה. שיטה זו כוללת נקיטה בשתי פעולות בשני אגפיו של השוויון: פעולת ההשלמה ופעולת האיזון שיוסברו בהמשך.
גם אל-ח'וואריזמי, כמו קודמיו, מציג בצורה מילולית את הבעיות אותן הוא ניגש לפתור ולא משתמש בסמלים כמקובל היום. לשם פשטות ההבנה נשתמש אנו בסמלים המוכרים לנו היום כדי להציג את שיטת פתרון משוואות ממעלה שנייה בה השתמש אל-ח'וואריזמי.

נניח כי לפנינו המשוואה:


תחילה נפשט את המשוואה על-ידי סילוק האיברים בעלי מקדם שלילי. על כל איבר בעל מקדם שלילי בצד כלשהו של המשוואה נוסיף איבר זהה חיובי משני צידי המשוואה. פעולה זו נקראת פעולת ההשלמה שכן היא משלימה איבר חיובי לכל איבר שלילי כדי לבטלו. כך ניוותר עם משוואה פשוטה יותר (ללא איברים שליליים):


כעת נפשט את המשוואה על ידי פעולת האיזון. נפחית משני צידי המשוואה איברים השייכים לאותה מעלה. בדוגמא שלנו יש שני איברים ממעלה שניה, אחד מכל צד של המשוואה. נצמצמם ונקבל משוואה פשוטה יותר,


משוואות מסוג זה ניתן לפתרו הן בשיטה היוונית האוקלידית שראינו קודם והן בשיטה מתמטית. אל-ח'וואריזמי פתר משוואות בשתי השיטות. פתרון לפי השיטה המתמטית הוא תיאר כך:

ניקח את המקדם של הנעלם x ונחלק אותו בשתיים, נקבל 3=6/2. את התוצאה נעלה בריבוע, נקבל 9=2^3. נחבר לתוצאה זו 55 ונקבל 64 = 9+55. כעת נוציא שורש מתוצאה זו ונקבל 8=64√. נפחית מתוצאת השורש את המספר 3 שחושב קודם ונקבל את ערכו של הנעלם המבוקש: x = 8 - 3 = 5.

דרך הפתרון המילולי אותו תיאר אל-ח'וואריזמי הוא למעשה הפעולות שיש לבצע כדי לפתור משוואה ממעלה שנייה בה המקדם a הוא מנוון ושווה ל- 1:


אם a = 1,


נסדר קצת, נשמיט את האפשרות לקבל פתרון השלילי ונקבל,


נחליף איברים ונקבל,


והרי משוואה זו של הנעלם x מתארת בדיוק את סדר הפעולות שאל-ח'וואריזמי תיאר מילולית בספרו. בצורה דומה הוא ידע לתאר פיתרון עבור משוואות ממעלה שנייה בהן המקדם a שונה מאפס. תיאוריו מהווים בעצם מעין "מרשם" קבוע של פעולות שיש לבצע כדי להגיע לפתרון. מרשם זה הוא בעצם האלגוריתם המתמטי הכתוב הידוע הראשון. מילה לועזית זו, אלגוריתם (Algorithm), הינה בעצם שיבוש שמו של מפתחה הראשון - אל-ח'וואריזמי. מילה נוספת שנקראת על שמו היא המילה סיפרה בפורטוגזית, אלגאריסמו (Algarismo), ובספרדית, גואריסמו (Guarismo).

תרומתו המדעית של אל-ח'וואריזמי התפרסה על פני תחומים שונים. בשנת 825 הוא פרסם ספר שהציג את שיטת הספירה ההודית לחצר האסכולה בבגדד. הוא תרם להטמעת שיטת ספירה זו בעולם הערבי ומשם לאירופה. אך מלבד אלגברה הוא תרם גם לתחום הגיאומטריה ובין רשימותיו ניתן למצוא טבלאות טריגונומטריות שונות. הוא גם עסק בתצפיות אסטרונומיות, באסטרולוגיה ובגיאוגרפיה. הוא שירטט את מפת העולם הידוע בזמנו על בסיס עבודתו של תָּלְמֵי (Ptolmey) ואף ביצע בה מספר תיקונים בנוגע למזרח-התיכון ולגבי מיקומם של ערים שונות ביבשת אסיה וביבשת אפריקה. אל-ח'וואריזמי גם למד את לוח-השנה העברי המושפע הן מתנועת הירח והן מתנועת השמש.

אל-ח'וואריזמי נפטר ככל הנראה סמוך לשנת 840 או מעט לאחריה.
ספרו המפורסם ביותר תורגם במאה ה-12 ללטינית, באירופה.





[ עמוד ראשי - המצאות | מתמטיקה קדומה | מספרים אי-רציונליים | משפט פיתגורס | גיאומטריה אוקלידית | אלגברה | התפתחות הסְפַרוֹת | משוואות קוביות וקווארדיות | מספרים מורכבים | לוגריתם | חשבון דיפרנציאלי ואינטגראלי | עיקרון הציפה | זכוכית מגדלת | משקפיים | מיקרוסקופ | טלסקופ | חוק סְנֵל | חוק בויל | חוקי התנועה | עיקרון ברנולי | שלושת חוקי התרמודינמיקה | טבלה מחזורית | מדידת מהירות האור | כוח לורנץ | קרינת רנטגן | טרנספורמצית לורנץ | תורת היחסות הפרטית | גילוי האטום | תורת היחסות הכללית | חשמל | חוק קולון | חוק אוהם | חוקי קירכהוף | נורת להט | מנוע קיטור | מנפה כותנה | מצלמה | מקרר | מזגן | מחשב | מכבש דפוס | כתב ברייל | טלגרף | טלפון | רדיו | טלוויזיה | כדור פורח | מצנח | רכבת | אופניים | מכונית | אווירון מדחף | מטוס סילון | אבק שריפה | תותח | רובה מוסקט | מרגמה | אקדח | מוקש | מקלע | רובה-מטען | הוביצר | תת-מקלע | רימון-יד | טנק | רובה-סער | פצצת אטום | תורת האבולוציה | פסטור | תיאוריית התורשה | פניצילין ]