מספרים מרוכבים

נחיצותה של משפחת מספרים חדשה

את לימודי המתמטיקה התחלנו בלמידת המספרים השלמים והחיוביים. קבוצת מספרים אינסופית זו של 1, 2, 3, 4, … אפשרה לנו למנות דברים ולבצע פעולות חיבור וכפל בין המספרים. כל תוצאת חיבור או כפל הייתה מספר שלם וחיובי הנכלל בקבוצה זו. כדי לבצע פעולות חיסור שעשויות להביא לתוצאה אי-חיובית (שלילית או אפס) היה עלינו להכיר את האפס ואת קבוצת המספרים השלמים השליליים. כעת יכולנו לבצע בחופשיות גם פעולות חיסור בין כל שני מספרים ולקבל תוצאה מספרית מוכרת, חיובית, אפס או שלילית שנמצאת בקבוצה המורחבת של כל המספרים השלמים.

הוספת פעולת החילוק העלתה את הצורך במספרים לא שלמים, אלו הם השברים. כעת נוכל לחלק כל מספר שלם בכל מספר שלם אחר (למעט אפס) ולקבל תוצאה מספרית השייכת לקבוצת המספרים המורחבת הכוללת מעתה גם את השברים.

את המספרים האי-רציונאליים הכרנו לאחר שהוספנו את פעולת הוצאת השורש. המספרים האי-רציונאליים הרחיבו את תחום המספרים עוד יותר וכך זכינו להכיר מספרים חדשים כמו הפאי (π) וכמו המספר הטבעי e המורכב מסדרה אינסופית של שברים.

אך האם די בכך? האם כל פעולה מהפעולות המתמטיות שהגדרנו והכרנו לעולם תיתן תוצאה מספרית הנכללת בתחום המספרים המורחב הזה.

פעולת החזקה לא תמיד תסתכם בתוצאה מספרית הנכללת בתחום המספרים שלנו. למשל נבחן את המשוואה האלגברית הבאה:

x² + 1 = 0
x² = -1

כבר ידוע לנו כי כל מספר המוכפל בעצמו ייתן תוצאה חיובית, לא משנה אם המספר הוא חיובי או שלילי, שלם או שבר, רציונאלי או אי-רציונאלי.

הבעיה היא כמובן לא רק עם העלאה בריבוע של מספר אלא גם עם כל שאר החזקות הזוגיות (4, 6, 8, …). למשל,

x⁴ = -1
x⁶ = -1
…

מכאן שנצטרך להרחיב שוב את תחום המספרים הידוע לנו כך שיאפשר פתרונות גם של המשוואות הנ"ל.

מספר דמיוני

כל המספרים שהגדרנו עכשיו משמשים כמדדים כמותיים בתחומי שונים, למשל בגיאומטריה, פיזיקה, כלכלה וכדומה. אלו הם מספרים ממשיים שניתן "לחוש" אותם כמותית. למשל, .34 ס"מ הם יותר מ- .12 ס"מ, 5 תפוזים הם כמותית יותר מ- 3 תפוזים, +8 מהווה יתרה של כסף בעוד -7 מסמן חוב. נגדיר את כל המספרים שהכרנו עד כה כמספרים ממשיים.

כדי להרחיב את תחום המספרים השלמים כך שיכלול גם את המספרים השליליים המצאנו את המספר הבא:

-1

בעזרת הכפלה של מספר זה בכל מספר מתחום המספרים השלמים החיוביים נוכל לקבל כל מספר שלילי ממשפחת המספרים השליליים.

בדומה לכך נגדיר מספר חדש שירחיב את תחום המספרים הממשיים כך שגם פתרונות למשוואות מהסוג של המשוואה x2 = -1 יהיו פתירות. המספר החדש הנוסף שנמציא הוא:

i

התכונה של המספר i המייחדת אותו מכל שאר המספרים היא שהעלאתו בחזקה זוגית נותנת תוצאה חיובית:

i² = -1
או
i = √(-1)

המספר החדש הוא דמיוני יותר ובהתחלה נראה כי אין לו שימוש מלבד לפתירת בעיות מתמטיות. לכן זכה מספר זה לכינוי מספר דמיוני (imaginary). כדי להבחין בין מספר ממשי למספר מדומה נצמיד למספר המדומה את האות האנגלית i.

בעזרת הכפלה של מספר זה בכל מספר מתחום המספרים הממשיים נוכל לקבל כל מספר דמיוני ממשפחת המספרים הדמיוניים. למשל הנה מספר דוגמאות למספר ממשי ואחריו מספר דמיוני בעל אותו ערך:

5 5i
-24 -24i
1/3 i/3
0.25 0.25i
(5-2•4+3³)² (5-2•4+3³)²i

מספר המורכב מחלק ממשי ומחלק מדומה זוכה לכינוי מספר מרוכב. מספר מרוכב יהיה מהצורה:

a + bi

a הוא החלק הממשי
b הוא החלק המדומה

הנה מספר דוגמאות למספרים מרוכבים:

2 + 3i
5 – 7i

דוגמאות

לדוגמא נפתור את המשוואות האלגבריות הבאות תוך היעזרות במספרים הדמיוניים.

דוגמא ראשונה:

x² + 25 = 0
x² = -25
x² = -5²
x = ±5√(-1)
x = ±5i

דוגמה שנייה:

x³ +16x = 0
x(x²+16) = 0

פתרון אחד הוא x=0, נחלק המשוואה ב-x ונחפש עוד פתרונות,

x²+16 = 0
x² = -16
x² = -4²
x = ±4√(-1)
x = ±4i

מספר מדומה במערכת הצירים

מאוחר יותר התברר שיש למספר המרוכבים שימוש לא רק בתחום האלגברה אלא גם בתחום החשמל והפיזיקה וכך הם זכו ללגיטימציה מוחלטת. החלק הדמיוני של המספר המרוכב הוא לא פחות מציאותי מהחלק הממשי שלו. כינוי חלקי המספר המרוכב כממשי וכדמיוני הנו שריד בלבד מהתקופה בה מספרים אלו נתפסו כלא אמיתיים וכיום יש לראות בהם מספרים לכל דבר ועניין.

את המספר המרוכב ניתן להציג במערכת צירים כשציר ה-x הוא ציר המספרים הממשיים וציר y הוא ציר המספרים הדמיוניים.

על המספר המרוכב ניתן לבצע את הפעולות הבאות:
• הוצאת ערך מוחלט

|z| = |a + bi| = √(a²+b²)

• חישוב צמוד מורכב (צמוד קומפלקסי)

z* = (a + bi)* = a - bi

• חישוב ייצוג קטבי

z = |z| * (cosθ + isinθ)
θ = tan^-1(b/a) כאשר

למשל,

z = √3 + i
|z| = √(√3² + i2) = √(3 – 1) = √2
z* = √3 – i
θ = tan^-1(1/√3) = 30
z = √2 * (0.5√3 + 0.5i) = √(3/2)+ √(1/2)i

◄ להעשרה נוספת ניתן לקרוא את הפרק באתר זה הדן בדרך גילוי המספרים המרוכבים.

[לפרק הקודם | לפרק הבא]