הנגזרת - חוק השרשרת

חוק השרשרת מאפשר גזירה של פונקציה של פונקציה.

ניסוח חוק השרשרת הוא,

dy dy dt
── = ── • ──
dx dt dx

כאשר y הוא פונקציה של t, כלומר y=f(t), ו- t הוא פונקציה של x, כלומר t=f(x).

גזירה של פונקציה של פונקציה היא שימושית עבור פונקציות מצורה מסוימת.

דוגמה 1

למשל, נגזור לדוגמה את הפונקציה הבאה,

y = (7x – 4)³

ניתן, כמובן, לפרוס את הביטוי שלעיל על-ידי פתיחת הסוגריים, ולאחר-מכן לבצע את פעולת הגזירה. אך דרך קצרה יותר תהיה להגדיר פונקציה חדשה, t, השווה ל-

t = 7x – 4

נבצע את פעולת הגזירה על הפונקציה y לפי t,

y = t³
dy/dt = 3t²

כעת נגזור את הפונקציה t לפי x,

dt/dx = 7

מכפלת שתי הפונקציות תיתן את גזירת הפונקציה y לפי x,

dy/dx = 3t² • 7 = 21t² = 21•(7x – 4)²

דוגמה 2

חוק השרשרת שימושי ביותר עבור גזירה של פונקציות מורכבות יותר.

לדוגמה, נגזור את הפונקציה הבאה,

y = (2x² – 3x + 6)⁹

קודם נגדיר פונקצית ביניים t,

t = 2x² – 3x + 6

נבצע את פעולת הגזירה על הפונקציה y לפי t,

y = t⁹
dy/dt = 9t⁸

כעת נגזור את הפונקציה t לפי x,

dt/dx = 4x – 3

מכפלת שתי הפונקציות תיתן את גזירת הפונקציה y לפי x,

dy/dx =
9t⁸ • (4x – 3) =
9 • (2x² – 3x + 6)⁸ • (4x - 3)

דוגמה 3

השימוש בחוק השרשרת הכרחי כדי לחשב ביטויים בהם מופיעה פונקצית ln.

לדוגמה נמצא את הנגזרת של הפונקציה הבאה,

y = ln(x³ + 8)

נגדיר את הביטוי שבתוך פונקצית ה- ln כמשתנה הביניים t. נקבל,

t = x³ + 8

נקבל,

y = ln(t)

נגזור את הפונקציה שלעיל לפי t ונקבל,

dy/dt = 1/t

נגזור את t לפי x ונקבל,

dt/dx = 3x²

נמצא את dy/dx לפי חוק השרשרת,

dy/dx = dy/dt • dt/dx =
1/t • 3x² =
3x² / (x³ + 8)

דוגמה 4

השימוש בחוק השרשרת מופיע גם בחישוב ביטויים בהם מופיעה פונקציה מעריכית.

לדוגמה נמצא את הנגזרת של הפונקציה הבאה,

y = 5^2x

נפעיל פונקצית ln על שני אגפי המשוואה ונקבל,

ln(y) = ln(5^2x)
ln(y) = 2x•ln(5)

נפעיל את פעולת הגזירה לפי הנעלם x(על שני האגפים) ונקבל,

d[ln(y)] / dx = 2•ln(5)

את הביטוי באגף השמאלי של המשוואה נפצל בעזרת חוק השרשרת,

d[ln(y)] / dy • dy / dx = 2•ln(5)
1/y • dy / dx = 2•ln(5)
dy / dx = 2y•ln(5)
dy / dx = 2•5^2x•ln(5)

נזכיר שהנגזרת של ln(x) היא 1/x, החישוב שלעיל משתמש בעובדה זו.

דוגמה 5

לדוגמה נוספת נמצא את הנגזרת של הפונקציה הבאה,

y = e^(4x+5)(2x-7)

נגדיר את החזקה כולה כמשתנה החדש t. נקבל,

t = (4x+5)(2x-7)

נקבל ביטוי חדש התלוי במשתנה החדש t,

y = e^t

נגזור את y לפי t ונקבל (נזכיר שהנגזרת של e^x היא e^x !),

dy/dt = e^t

נגזור את t לפי x ונקבל,

dt/dx =
(4x+5)(2x-7)/dx =
(8x² – 18x – 35)/dx =
16x – 18

נשתמש בחוק השרשרת ונקבל,

dy/dx = dy/dt • dt/dx =
(16x – 18)•e^t =
(16x – 18)•e^(4x+5)(2x-7)

דוגמה 6

שיטת הגזירה בשרשרת שימושית כאשר התלות בין y ו- x מוגדרת מראש בעזרת משתנה שלישי, t.

לדוגמה נמצא את הנגזרת של y לפי x במונחים של t כאשר נתון ש-

y = t⁴ – 2t² + 4t
x = t² – 25t

נגזור את y לפי t ונקבל,

dy/dt = 4t³ – 4t + 4

במקום לגזור את t לפי x קל יותר לגזור את x לפי t. כך נקבל,

dx/dt = 2t – 25

מנגזרת זו נמצא את הנגזרת של t לפי x,

dt/dx = 1/(2t – 25)

נשתמש בחוק השרשרת ונקבל,

dy/dx = dy/dt • dt/dx =
(4t³ – 4t + 4) / (2t – 25)

כך התקבלה הנגזרת של y לפי x במונחים של t.

דוגמה 7

שיטת הגזירה בשרשרת שימושית גם במקרה בו ידוע קצב השתנות של משתנה אחד ונדרש בעזרתו לחשב קצב השתנות של משתנה אחר התלוי בו.

לדוגמה, קוביית קרח ריבועית נמסה באופן שווה מכל צדדיה בקצב של 2 סמ"ק מנפחה בדקה. מהו קצב הקיטון באורך צלע קוביית הקרח?

נגדיר את אורך צלע קוביית הקרח כמשתנה x.
נפח קוביית הקרח הוא y = x³.
קצב השתנות גודלה של קוביית הקרח הוא גזירה של הפונקציה הקודמת,

dy/dx = 3x²

ידוע שקצב השתנות הנפח לדקת זמן הוא,

dy/dt = 2

מנתונים אלו נחשב את קצב השתנות אורך צלע הקובייה x לאורך הזמן t,

dy/dx = dy/dt • dt/dx

מכאן ש...

dx/dt = (dy/dt) / (dy/dx) = 2 / (3x²)

[לפרק הקודם | לפרק הבא]