הדיפרנציאל - שיפוע הפונקציה

על משמעות הדיפרנציאל והאינטגרל ניתן לקרוא בפרק הדן בתגלית הדיפרנציאל והאינטגרל באתר זה.

תוצאת פעולת הדיפרנציאל על פונקציה, הנקראת גם פעולת גזירה, היא פונקציה המתארת את ערכו של שיפוע הגרף בכל נקודה ונקודה.

שיפוע הנו קצב העלייה או הירידה בציר y לעומת ההתקדמות לאורך ציר x. הנוסחה לחישוב שיפוע היא,

y₂ – y₁
────
x₂ – x₁


הפרש גדול | הפרש בינוני | הפרש קטן | הפרש קטן יותר

דוגמה - איך צמצום ההפרש בין x₁ ל- x₂ נותן שיפוע משיק מדויק יותר

ככל שנקטין את ההפרש בין x₂ ל- x₁ כך נקבל דיוק גדל והולך בחישוב השיפוע. ערך מדויק של השיפוע יתקבל כאשר ההפרש בין x₂ ל- x₁ ישאף לאפס.

נסמן את ההפרש לאורך ציר x כ- dx. כלומר,

dx = x₂ – x₁

את ההפרש בציר y נבטא בעזרת dx בדרך הבאה,

dy =
y₂ – y₁ =
f(x₂) – f(x₁) =
f(x₁ + dx) – f(x₁)

נציב ונקבל,

y₂ – y₁      f(x₁ + dx) – f(x₁)
──── = ──────────
x₂ – x₁               dx            

זהו ערך השיפוע של הגרף בנקודה x₁ כלשהי עליו. ערך זה יהיה מדויק ככל שערכו של הביטוי dx ישאף לאפס. לכן, ניעזר בתורת הגבולות כדי לחשב את ערכו המדויק של השיפוע,

lim [f(x₁ + dx) – f(x₁)]/dx
^dx→0                                  

מייד בהמשך נעזר בנוסחה זו כדי לחשב את השיפוע (הנגזרת) עבור פונקציות שונות.

נגזרת של קבוע

כדי למצוא מהי הנגזרת של קבוע נחשב את השיפוע של הפונקציה הבאה,

y = f(x) = c
c - קבוע כלשהו

f(x₁) = c

f(x₁ + dx) = c

lim [f(x₁ + dx) – f(x₁)]/dx =
^dx→0                                    
lim [c – c]/dx =
^dx→0                   
0

לסיכום,
y = c
dy/dx = 0

הערה: הסימון ' אחרי ה- y מציין שמדובר בנגזרת של פונקציה y.

נגזרת של x

כדי למצוא מהי הנגזרת של x נחשב את השיפוע של הפונקציה הבאה,

y = f(x) = x

y₁ = f(x₁) = x₁

y₂ = f(x₁ + dx) = x₁ + dx

lim [f(x₁ + dx) – f(x₁)]/dx =
^dx→0                                   
lim [(x₁ + dx) – x₁]/dx =
^dx→0                               
lim dx/dx =
^dx→0            
1

לסיכום,
y = x
dy/dx = 1

נגזרת של xⁿ

לשם הדוגמה נמצא את הנגזרת עבור המקרים n=2 ו- n=3.

כדי למצוא מהי הנגזרת של x² נחשב את השיפוע של הפונקציה הבאה,

y(x) = x²

f(x₁) = x₁²
f(x₁ + dx) = (x₁ + dx)² =
x₁² + 2x₁dx + (dx)²

lim [x₁² + 2x₁dx + (dx)² - x₁²]/dx =
^dx→0                                                 
lim [2x₁dx + (dx)²]/dx =
^dx→0                               
lim (2x₁ + dx) =
^dx→0                  
2x₁

כדי למצוא מהי הנגזרת של x³ נחשב את השיפוע של הפונקציה הבאה,

y(x) = x³

f(x₁) = x₁³
f(x₁ + dx) = (x₁ + dx)³ =
x₁³ + 3x₁²dx + 3x₁(dx)² + (dx)³

lim [x₁³ + 3x₁²dx + 3x₁(dx)² + (dx)³ - x₁³]/dx =
^dx→0                                                                     
lim [3x₁²dx + 3x₁(dx)² + (dx)³]/dx =
^dx→0                                                  
lim (3x₁² + 3x₁dx + (dx)²) =
^dx→0                                      
3x₁²

לסיכום,

y = xⁿ

dy/dx = nx^n-1

נגזרת של e^x

כל הפונקציות בהן הנעלם x נמצא במיקום של מעריך החזקה,פונקציות מהצורה nx, נקראות פונקציה מעריכית. ישנה פונקציה מעריכית אחת מיוחדת בה בסיס החזקה הוא המספר הטבעי e.

תכונה ייחודית אחת של פונקציה זו היא העובדה שעבור x=0 שיפוע הפונקציה שווה ל- 1. הערך של כל פונקציה מעריכית מכל בסיס כלשהו שווה לאחד, כלומר, n0=1 עבור כל ערך של n. אך רק עבור פונקציה מעריכית אחת בה הבסיס הוא המספר הטבעי e גם הנגזרת בנקודה x=0 שווה ל- 1.

תכונה נוספת ומיוחדת של הפונקציה e^x היא שהנגזרת שלה שווה לפונקציה עצמה, כלומר היא e^x.

y = e^x
dy/dx = e^x

תכונה זו תואמת את התכונה שתוארה קודם שלפיה הנגזרת של e^x בנקודה x=0 היא 1. כי הרי אם נציב x=1 בפונקציה של הנגזרת שהיא e^x נקבל 1.

נגזרת של ln(x)

הפונקציה ln(x) היא פונקצית הלוגריתם הטבעי של x. לוגריתם טבעי הוא לוגריתם לפי בסיס המספר הטבעי e.

הנגזרת של הפונקציה ln(x) היא הפונקציה 1/x.

y = ln(x)
dy/dx = 1/x

סיכום נוסחאות גזירה

d(c)/dx = 0
d(x)/dx = 1
d(xⁿ)/dx = n•x^n-1
d(e^x)/dx = e^x
d(ln(x))/dx = 1/x

[לפרק הקודם | לפרק הבא]

[ עמוד ראשי - קלקולוס | חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי : מבוא לתורת הגבול | תורת הגבול | חוקי תורת הגבול | הדיפרנציאל - שיפוע הפונקציה | הנגזרת - נקודות קיצון מקומיות | הנגזרת - נקודת פיתול | הנגזרת - חוק השרשרת | הנגזרת - חוק המכפלה | הנגזרת - חוק המנה | הנגזרת - פונקציות טריגונומטריות | הנגזרת - פונקציה סתומה | אינטגרל - מבוא | אינטגרל - כללי הסכימה | אינטגרל - סכימה בעזרת משתנה ביניים | אינטגרל - סכימה בהחלפה | אינטגרל - סכימה בחלקים | אינטגרל - חישוב שטחים כלואים | אינטגרל - חישוב נפחים כלואים | אינטגרל - פתרון משוואות דיפרנציאליות | אינטגרל - שיערוך בעזרת שיטת הטרפז ]