אינטגרל - שיערוך בעזרת שיטת הטרפז

מבוא
חישוב שטח בעזרת פעולת אינטגרל מתבצע למעשה על-ידי חלוקת השטח לאינספור מקטעים וסיכומם יחד. לא תמיד שיטת חישוב זו מצריכה את פעולת האינטגרל.

למשל, נמצא את הנוסחה לחישוב שטחו של עיגול בעזרת חישוב המסתמך על קירובים.

נחלק את העיגול שרדיוסו r ל- n פרוסות שוות. אם ערכו של n שואף לאינסוף אזי נקבל שכל פרוסה היא בקירוב משולש בעל בסיס צר מאוד אותו נסמן באות a.

עיגול המחולק לפרוסות קטנות

את בסיסו של כל משולש נמצא מחלוקת היקף העיגול במספר הפרוסות,

a = 2πr / n

גובהו של כל משולש הוא בקירוב רדיוס המעגל r.

לכן שטח של כל משולש, המסומן באות s, יהיה,

s = ½•(2πr² / n) = πr² / n

ישנם n משולשים כאלה, לכן השטח הכולל של כל המשולשים, המסומן ב- S, יהיה,

S = n•s = πr²

שיטת הטרפז

בחישוב שטחו של העיגול שהובא בתחילת הפרק חולק שטחו של העיגול לאינספור חלקים. לולא חולק העיגול לאינספור חלקים לא ניתן היה לקרב כל חלק למשולש שגובהו כרדיוס העיגול.

למרות זאת, בסופו של תהליך החישוב התקבלה נוסחה מדויקת לחישוב שטחו של העיגול.

העיגול הנו צורה גיאומטרית סימטרית ופשוטה עבור צורות אחרות נצטרך לבצע חישוב מקורב בעזרת שיטת הטרפז.

שיטת הטרפז היא שיטת חישוב הנותנת קירוב לערכו של שטח כלוא או לערכו של אינטגרל מסוים על פונקציה בין שני ערכים ללא ביצוע פעולת האינטגרל כלל.

ציור של שטח מתחת לגרף המחולק לטרפזים

בשיטה זו נחלק את השטח הכלוא או את השטח המוגדר בין הפונקציה לציר x בין שתי נקודות על ציר x , a ו- b, לצורות טרפז. כל הטרפזים בעלי רוחב זהה המונח על ציר x. רוחב כל טרפז מתקבל מחלוקת כל המרחק על ציר x, b-a, במספר הטרפזים. נקבל שרוחבו של כל טרפז הוא,

(b-a)/n

השטח, המסומן על-ידי s, של כל טרפז מתקבל מהנוסחה הבאה,

s = (b-a)/n • (y_n + y_n+1)/2

כאשר y_n ו- y_n+1 הן שתי נקודות עוקבות מתוך n+1 נקודות שעל הגרף.

נשים לב שכדי לקבל n טרפזים יש להגדיר n+1 נקודות על הגרף!

השטח הכולל, המסומן על-ידי S, מחושב בעזרת סכום כל שטחי הטרפזים. נקבל,

(b-a)/n • [(y₁ + y₂)/2 + (y₃ + y₄)/2 + … + (y_n + y_n+1)/2] S =

השטח הכולל הוא ערכו של האינטגרל על הפונקציה בין שתי הנקודות a ו- b. לכן נקבל,

_b
∫f(x)dx ≈ (b-a)/n • [(y₁ + y_n+1)/2 + y2 + y3 + … + y_n]
^a

דוגמה 1

שערך את גודלו של השטח הכלוא מעל לציר x של הפונקציה הבאה בעזרת חלוקתו לטרפזים ברוחב של 1,

y = -x² + 10x – 16

השוואת ערך הפונקציה לאפס תיתן שני פתרונות של x,

x₁ = 2; x₂ = 8

בשתי נקודות אלו חותכת הפונקציה את ציר x. על-כן יש לחשב את האינטגרל על הפונקציה בין שתי נקודות אלו.

הרוחב הכולל של השטח המוגדר לפי ציר x הוא,

8 – 2 = 6

גודל זו יש לחלק לחלקים שווים שכל אחד מהם ברוחב 1. מחלוקה זו מספר הטרפזים שיתקבלו הוא,

6 / 1 = 6

כדי לקבל 6 טרפזים יש לציין על הגרף 6+1=7 נקודות עוקבות. נחשב את ערכי הפונקציה עבור 7 נקודות אלו ונרשום את תוצאות החישוב בטבלה הבאה,

x	y = -x² + 10x – 16
2	0
3	5
4	8
5	9
6	8
7	5
8	0

כמצופה, ערך הפונקציה הוא אפס עבור הנקודה הראשונה ועבור הנקודה האחרונה, כי בהן חותכת הפונקציה את ציר x. שאר ערכי הנקודות חייבים להיות חיוביים כי בתחום זה הפונקציה היא מעל לציר x.

נחשב בעזרת נוסחת שיטת הטרפז את ערכו המקורב של האינטגרל (השטח),

S ≈ (8-2)/6 • [(0 + 0)/2 + 5 + 8 + 9 + 8 + 5]

S ≈ 35

בעיה זו כבר הובאה כדוגמה מספר 2 בפרק הדן בחישוב שטח כלוא בעזרת אינטגרל. שם מובא חישוב מדויק של האינטגרל, וגודל השטח שהתקבל מחישוב זה היה 36.

[לפרק הקודם | לפרק הבא]