אינטגרל - סכימה בחלקים

בהסתמך על גזירה בעזרת חוק המכפלה ניתן להגדיר סכימה המבוצעת על פונקציה בחלקים, כל פעם על חלק אחר של הפונקציה.

נזכיר את תצורת הגזירה בעזרת חוק המכפלה. נגדיר פונקציה y התלויה במשתנה x שניתן לפצל אותה לשתי פונקציות, u ו- u, כל אחת תלויה במשתנה x. כלומר,

y = u•v

גזירה בעזרת חוק המכפלה תבוצע בעזרת הנוסחה הבאה,

dy/dx = u•dv/dx + v•du/dx

כעת נפעיל את פעולת הסכימה לפי המשתנה x על שני אגפי המשוואה ונקבל,

∫(dy/dx)dx = ∫(u•dv/dx)dx + ∫(v•du/dx)dx

∫dy = ∫u•dv + ∫v•du

y = ∫u•dv + ∫v•du

u•v = ∫u•dv + ∫v•du

∫u•dv = u•v – ∫v•du

דוגמה 1

נחשב את הסכימה הבאה,

∫2x•(6x² – 4)dx = ?

לשם ביצוע הסכימה נגדיר משתנה ביניים שיסומן בעזרת האות u,

u = (6x² – 4)

נגזור את u לפי x ונקבל,

du/dx = 12x

נחלץ את du ונקבל,

du = (12x)•dx

את הנגזרת של המשתנה v נגדיר לפי שאר הביטוי שבאינטגרל,

dv = (2x)•dx

כלומר הנגזרת של v לפי משתנה גזירה x היא,

dv/dx = 2x

נפעיל את פעולת הסכימה על שני אגפיה המשוואה לפי המשתנה x ונקבל את ערכו של v,

∫dv = ∫2x•dx

v = x²

נציב את u ו- dv בביטוי האינטגרל ונקבל,

∫2x•(6x² – 4)dx = ?

∫u•dv = ?

נשתמש בחוק הסכימה בחלקים,

∫u•dv = u•v – ∫v•du

ונקבל אחרי הצבת u, u, du ו- dv את המשוואה הבאה,

∫2x•(6x² – 4)•dx = (6x² – 4)•x² – ∫x²•(12x)•dx =

(6x² – 4)•x² – 3•∫4x³•dx =

6x⁴ – 4x² – 3x⁴ =

3x⁴ – 4x² (+ c)

ניתן לוודא את תוצאת הסכימה על-ידי ביצוע גזירה וקבלת הביטוי שבתוך פעולת האינטגרל שערכו חושב.

[לפרק הקודם | לפרק הבא]