אינטגרל - חישוב נפחים כלואים

באופן דומה לחישוב שטחים ניתן לחשב גם נפחים של צורות סימטריות סביב ציר y או סביב ציר x.

בעזרת סיבוב מעגלי של שטח כלוא סביב אחד הצירים ניתן לקבל גוף בעל נפח.

דוגמה 1

הפונקציות y₁ = x ו- y₂ = -x מגדירות שטח משולש שווה-שוקיים שקודקוד בראשית הצירים.

הנפח הכלוא בין שתי הפונקציות

אם נסובב שטח כלוא זה סביב ציר x נקבל גוף בעל נפח בצורת חרוט שבסיסו עיגול.

ככל שמניעים את בסיס החרוט ימינה מראשית הצירים מתקבל חרוט בעל נפח ההולך וגדל. אם נרחיק את בסיס החרוט מקודקודו בצעדים קטנים ואפסיים (dx0) תהיה התוספת לנפח השטח של הבסיס החדש.

חישוב הנפח בעזרת אינטגרציה על פונקצית השטח היא למעשה ביצוע סכימה של שטחי בסיס מוכפלים ב- dx.

לכן, כדי לחשב את נפח הגוף המתואר לעיל נבצע אינטגרציה (סיכום) על אינספור שטחים שגודלם החל מנקודה חסרת מימדים ועד לשטח הבסיס.

נחשב את הנפח המוגדר לעיל בעזרת ביצוע פעולת האינטגרציה על השטח התחום בין שתי הפונקציות.

את גודלו של השטח התחום המתקבל מסיבוב מעגלי של הפונקציות סביב ציר x נסמן על-ידי האות S. שטח זה תלוי במשתנה x והוא מתקבל מהנוסחה לחישוב שטח עיגול,

S(x) = y²π

מכיוון ש- y=x נקבל

S(x) = x²π

נבצע אינטגרציה כללית על פונקצית השטח ונקבל,

∫S(x)dx = ∫x²πdx = π∫x²dx = π/3 • x³

עבור הקצה התחתון הנמצא בראשית מערכת הצירים (x=0) הפונקציה שלעיל מתאפסת. לכן נפח הצורה החל מהקודקוד שבראשית (x=0) ועד לנקודה x כלשהי הוא,

V(x) = π/3 • x³

דוגמה 2

נחשב את נפח הגוף הכלוא בין הפונקציה y=6x² לפונקציה y=6, כאשר הגוף מתקבל מסיבוב השטח הכלוא בתנועה מעגלית סביב ציר y.

הנפח הכלוא בין שתי הפונקציות

בגלל שהתנועה היא תנועה מעגלית סביב הציר (ציר y במקרה זה) נקבל שצורת השטח לחישוב האינטגרל היא עיגול. רדיוס העיגול הנו המשתנה x. לכן שטח העיגול נתון על-ידי הפונקציה הבאה,

S(x) = x²π

כדי לקבל את נפח הצורה נבצע סכימה על פונקצית השטח שלעיל. מכיוון שהנפח נבנה באופן מעגלי סביב ציר y צריכה הסכימה להתבצע לפי dy ולא לפי dx! נקבל,

V(y) = ∫x²πdy

נחלץ את ערכו של x² מהמשוואה של y. נקבל,

x² = y/6

נציב במשוואת הנפח ונקבל,

V(y) = ∫(y/6)πdy =

(y²/12)π

כדי לקבל את הנפח הכלוא נציב את ערכי y בקצוותיו, נקבל

V_(y=6) – V_(y=0) =

6²π/12 – 0 =

36π/12 =

3π

[לפרק הקודם | לפרק הבא]