לוגריתם

בפעולה המתמטית של החזקה מופיעים שלושה משתנים שונים: המספר המועלה בחזקה, מעריך החזקה ותוצאת העלאה בחזקה. באופן כללי ניתן לנסח את פעולת החזקה במשוואה הבא,

b^x = y

בהינתן ערכו של בסיס החזקה, b, וערכו של מעריך החזקה, x, נוכל לחשב את ערכה של תוצאת פעולת העלאה בחזקה, y.

אך לפעמים ייתכן ודווקא ערך תוצאת פעולת העלאה בחזקה, y, הוא שידוע לנו יחד עם ערכו של בסיס החזקה, b, כך שהנעלם הלא ידוע הוא מעריך החזקה, x. במקרים אלו נרצה למצוא את ערכו של מעריך החזקה מתוך ידיעת ערכי שני המספרים האחרים.

כדי למצוא את ערכו של x יש לבודד אותו באגף אחד של המשוואה. זו הרי הדרך לפתור משוואה עם נעלם אחד. אך כיצד ניתן לבודד את x, כשהוא מופיע בתפקיד של מעריך חזקה?

פעולת הלוגריתם נולדה כדי לפתור בעיה זו. פעולת הלוגריתם פועלת בכיוון הפוך לפעולת העלאה בחזקה. את פעולת הלוגריתם מסמנים בעזרת המילה log (log קיצור של logarithm). בעזרת פעולת הלוגריתם נוכל לשנות את המשוואה הקודמת כך שהנעלם x, שערכו אינו ידוע, יבודד בצד אחד של המשוואה כמספר "רגיל" ולא כמעריך חזקה.

קודם נגדיר מה עושה פעולת הלוגריתם. לכל פעולת לוגריתם תמיד מתלווה מספר קבוע כלשהו הקרוי בסיס. זהו אותו בסיס שהועלה בחזקת x במשוואה הקודמת. הפעלת לוגריתם עם בסיס כלשהו על מספר נותנת את החזקה בה יש להעלות את הבסיס כדי לקבל את המספר. רישום כללי של פעולת הלוגריתם יהיה כך,

log_by = x

תוצאת הפעלת פעולת ה- log נותנת את ערכו של המעריך, x, בו יש להעלות את בסיס ה- log, b, כדי לקבל את ערכו של המספר עליו מופעלת פעולת ה- log, y. כך הנעלם x מבודד לאגף אחד במשוואה.

במילים אחרות, אם נעלה את הבסיס b בחזקת התוצאה x של פעולת הלוגריתם נקבל את y,

b^x = y

למשל, הנה מספר דוגמאות מספריות לפעולת הלוגריתם,

log₂8 = 3 כי 2³=8
log₃81 = 4 כי 3⁴=81
log₁₀1000 = 3 כי 10³=1000
log₂1/4 = -2 כי 2^-2=1/4
log₅1/625 = -4 כי 5^-4=1/625

הדרך הקלה לחישוב הלוגריתם הוא לשנות את צורת כתיבתו של המספר עליו מופעלת פעולת הלוגריתם, כך שהוא יופיע בצורה של פעולת חזקה שבסיסה הוא בסיס הלוגריתם. ערך מעריך החזקה שהתקבל הוא פתרון הלוגריתם. למשל,

log₂8 = ?
log₂8 = log₂2³ = ?
בסיס הלוגריתם 2 בחזקה מה ייתן 2³?
התשובה היא ברורה 2 בחזקת שלוש ייתן 2³, לכן
log₂8 = log₂2³ = 3

בסיס הלוגריתם, b, חייב להיות מספר חיובי ממשי שונה מאחד ותוצאת הלוגריתם, y, חייבת להיות חיובית, אחרת פעולת הלוגריתם אינה מוגדרת.

הנה מספר כללים בסיסיים הנובעים מהגדרת הלוגריתם:

1. כאשר הנעלם x שווה בערכו לבסיס b כלשהו נקבל תמיד את התוצאה 1,

log_bb = 1

הסבר: את הבסיס b יש להעלות בחזקת 1 כדי לקבל את ערכו של המספר b שעליו מופעל הלוגריתם.

2. כאשר הנעלם x שווה בערכו לאחד נקבל תמיד את התוצאה 0,

log_b1 = 0

הסבר: את הבסיס b יש להעלות בחזקת 0 כדי לקבל את הערך 1 שעליו מופעל הלוגריתם.

3. אם הנעלם x מיוצג על-ידי בסיס הלוגריתם מועלה בחזקה, אז תוצאת פעולת הלוגריתם היא מעריך החזקה,

log_bbⁿ = n

הסבר: לפי הגדרת הלוגריתם הבסיס מועלה בחזקת תוצאת הלוגריתם שווה למספר שעליו מופעל הלוגריתם. במקרה שלנו קל לראות שרק העלאת הבסיס בחזקת תוצאה שהיא n תיתן את המספר שבתוך הלוגריתם.

הנה מספר זהויות שימושיות הכוללות את פעולת הלוגריתם:

1. log_bxⁿ = n•log_bx

הוכחה:
א. נגדיר m=log_bx, ולכן x=b^m
ב. נעלה בחזקת n את שני האגפים ונקבל
xⁿ = (b^m)ⁿ
xⁿ = b^mn
ג. נפעיל לוגריתם לפי בסיס b על שני האגפים ונקבל
log_bxⁿ = log_bb^mn
ד. נשתמש בכלל הבסיסי log_bbⁿ = n ונקבל
log_bxⁿ = mn•log_bb
ה. נשתמש בכלל הבסיסי log_bb = 1 ונקבל
log_bxⁿ = mn
ו. נציב את ערכו של m ונקבל
log_bxⁿ = n•log_bx

2. log_bxy = log_bx + log_by

הוכחה:
א. נגדיר log_bx = m ו- log_by = n
ב. כלומר, x = b^m ו- y = bⁿ
ג. נכפיל את שתי המשוואות זו בזו ונקבל, xy = bⁿb^m
ד. כלומר, xy = b^n+m
ה. נפעיל לוגריתם לפי בסיס b על שני אגפי המשוואה
log_bxy = log_bb^n+m
ו. נשתמש בזהות הקודמת ונקבל
log_bxy = (n+m)•log_bb
log_bxy = (n+m)•1
ז. נציב את m ואת n לפי הגדרתם ונקבל את הזהות
log_bxy = log_bx + log_by

3. log_bx/y = log_bx – log_by

הוכחה:
א. נגדיר log_bx = m ו- log_by = n
ב. כלומר, x = b^m ו- y = bⁿ
ג. נחלק את שתי המשוואות זו בזו ונקבל, x/y = bⁿ/b^m
ד. כלומר, xy = b^n-m
ה. נפעיל לוגריתם לפי בסיס b על שני אגפי המשוואה
log_bx/y = log_bb^n-m
ו. נשתמש בזהות שכבר נלמדה ונקבל
log_bx/y = (n-m)•log_bb
log_bx/y = (n-m)•1
ז. נציב את m ואת n לפי הגדרתם ונקבל את הזהות
log_bx/y = log_bx – log_by

4. log_bx = log_cx / log_cb

הוכחה:
א. נגדיר log_bx=n, לכן bⁿ = x
ב. נפעיל פעולת לוגריתם לפי בסיס חדש c על השוויון ונקבל
log_cb_n = log_cx
ג. נשתמש בכלל log_bx_n = n•log_bx ונקבל
nlog_cb = log_cx
ד. נחלץ את n ונקבל
n = log_cx / log_cb
ה. נציב את ערכו של n ונקבל
log_bx = log_cx / log_cb

5. log_bx • log_cy = log_cx • log_by

הוכחה:
א. נשתמש בכלל הקודם ונקבל,
log_bx = log_cx / log_cb
log_cy = log_by / log_bc
ב. נציב את שתי המשוואות ונקבל,
log_bx • log_cy = log_cx • log_by / (log_cb • log_bc)
ג. אם שוב נשתמש בכלל הקודם נקבל ש-
log_cb = log_cc / log_cb
ומכאן ש-
log_cb = 1 / log_cb
ד. נציב זאת במשוואה מסעיף ב שלעיל ונקבל,
log_bx • log_cy = log_cx • log_by

[לפרק הקודם | לפרק הבא]

[ עמוד ראשי - קלקולוס | לוגריתם והמספר הטבעי : לוגריתם | מבוא למספר הטבעי e | קצה קצב הגידול | הקצב בו גדלים דברים | קצב הגידול המרבי בגרף | המספר הטבעי e והלוגריתם הטבעי