חלוקה של פולינום בפולינום

פולינום הוא ביטוי חשבוני הכולל את הנעלם כשהוא מופיע בו בדרגות חזקה שלמות ואי-שליליות שונות. באופן כללי יראה פולינום עבור נעלם אחד, x, מן הצורה הבאה,

a_nxⁿ + a_n-1x^n-1 + … + a₂x² + a₁x + a₀

הנה מספר דוגמאות לפולינומים שונים,

x³ - 12x + 36
-4x⁵ + 2x⁴ - 10x³ + 5x² + 6x - 12

בפרק זה נלמד כיצד ניתן לחלק פולינום בפולינום אחר.

ראשית נגדיר מהו האיבר המוביל של הפולינום. איבר מוביל של פולינום הוא האיבר המכיל את הנעלם x בחזקה הגבוהה ביותר בו. בשני הפולינומים שלעיל שהובאו לדוגמה האיבר המוביל בכל אחד הוא בהתאמה,

x³
-4⁵

מושג נוסף הקשור לפולינום הנו דרגת הפולינום (או מעלת הפולינום). דרגת הפולינום מציינת את ערך מעלת החזקה הגבוהה ביותר של משתנה הפולינום. בשני הפולינומים שלעיל שהובאו לדוגמה דרגת הפולינום היא 3 ו- 5 בהתאמה.

כעת, להדגמת שיטת החלוקה של פולינום בפולינום נחשב את מנת החלוקה הבאה,

2x³ - 8x² + 16x - 16
─────────────
x² - 2x + 4

שיטת החלוקה מזכירה במקצת את שיטת החלוקה הרגילה של מספר ארוך (מספר המיוצג בעזרת ספרות רבות) במספר אחר. ניתן להתייחס לכל איבר הכולל משקל אחר של x כמו אל ספרה בעלת משקל אחר במספר הארוך.

נרשום את הפולינום המופיע במונה ומסביב לו מלמעלה ומצד ימין נסמן קו מפריד.

_{___________________}
2x³ - 8x² + 16x - 16| x² - 2x + 4

נחלק את האיבר במונה הכולל את הנעלם x בחזקה הגבוהה ביותר שלו (האיבר המוביל) באיבר במכנה הכולל את הנעלם x בחזקה הגבוהה ביותר שלו (שוב, האיבר המוביל). במקרה שלנו נחלק את האיבר 2x3 באיבר x2. את מנת החלוקה שהתקבלה מחלוקת שני האיברים המובילים, 2x במקרה שלנו, נרשום מעל לקו.

_{_2x________________}
2x³ - 8x² + 16x - 16| x² - 2x + 4

כעת נכפיל את מנת החלוקה שהתקבלה, 2x במקרה שלנו, במחלק. את תוצאת הכפלה זו נרשום מתחת לפולינום המחולק. נקבל,

_{_2x________________}
2x³ - 8x² + 16x - 16| x² - 2x + 4
2x³ - 4x² + 8x

נחסר את מנת ההכפלה שרשמנו מהפולינום ונקבל,

_{_2x________________}
2x³ - 8x² + 16x - 16| x² - 2x + 4
2x³ - 4x² + 8x
---------------------------
-4x² + 8x - 16

תוצאת ההחסרה היא פולינום ביניים חדש שישמש אותנו להמשך תהליך החלוקה.

כעת נחזור על התהליך עבור פולינום הביניים החדש שהתקבל. כלומר, נחלק את האיבר המוביל בפולינום הביניים החדש, -4x² במקרה שלנו, באיבר המוביל של המחלק, x² במקרה שלנו. תוצאת חלוקה זו היא -4. נוסיף את תוצאת החלוקה בשורת התוצאה. נקבל,

_{_2x - 4_____________}
2x³ - 8x² + 16x - 16| x² - 2x + 4
2x³ - 4x² + 8x
---------------------------
-4x² + 8x - 16

שוב, נכפיל את תוצאת החלוקה של שני האיברים המובילים, -4 במקרה שלנו, במחלק. נרשום את תוצאת ההכפלה מתחת לפולינום הביניים החדש שהתקבל ונקבל,

_{_2x - 4_____________}
2x³ - 8x² + 16x - 16| x² - 2x + 4
2x³ - 4x² + 8x
---------------------------
-4x² + 8x - 16
-4x² + 8x - 16
------------------
       0

קיבלנו מנת חלוקה שערכה 2x-4. השארית שהתקבלה היא אפס.
ניתן להכפיל את המנה שהתקבלה במחלק ולוודא שמתקבל הפולינום המחולק.

הנה דוגמה לחלוקה של פולינום בפולינום עם שארית.

3x³ - 5x² + 10x - 16
─────────────
x² - 2x + 2

נבצע את החלוקה לפי השיטה שתוארה כבר קודם.

_{_3x + 1_____________}
3x³ - 5x² + 10x - 16| x² - 2x + 2
3x³ - 6x² + 6x
---------------------------
x² + 4x - 16
x² - 2x + 2
-------------------
6x - 18

ניתן לוודא את קבלת התוצאה על-ידי הכפלת מנת התוצאה במחלק והוספת השארית כדי לקבל את הפולינום המחולק.

[לפרק הקודם | לפרק הבא]