בחירה ללא חשיבות לסדר וללא החזרות
נחזור שוב לבעיה שהוצגה בחלק הקודם, הפעם מנקודת מבטו של שמעון האב. שמעון מחלק שני כדורים מתוך חמשת הכדורים שברשותו לשני בניו. לשמעון, לא חשוב איזה בן יקבל איזה כדור. שמעון רוצה לדעת מהו מספר האפשרויות השונות לחלוקה של חמשת הכדורים בלי חשיבות לסדר הגרלתם של שני הכדורים שנבחרו עבור שני הבנים. מהו מספר אפשרויות החלוקה כשאין חשיבות לסדר הפנימי בתוך החלק הנבחר?
אם מקודם הגענו למסקנה ששני הבנים רואים 20 תוצאות חלוקה שונות הרי ששמעון האב בוודאי רואה מספר קטן יותר של תוצאות חלוקה. מבחינת הבנים, שעבורם הסדר הפנימי של הקבוצה הנבחרת הוא משמעותי, החלוקות "אדום צהוב ירוק כחול סגול" ו- "צהוב אדום ירוק כחול סגול" הן שתי אפשרויות חלוקה שונות. מבחינת שמעון, שעבורו לא משנה סדר החלוקה הפנימי של שני הכדורים שנלקחו ממנו, שתי אפשרויות החלוקה הקודמות הן זהות.
גם כאן נציג שתי דרכים שונות להגעה לפתרון.
דרך א'
כדי להגיע למספר אפשרויות החלוקה השונות שרואה שמעון נצטרך לבטל מתוך כלל האפשרויות לסידור חמש כדורים את כל האפשרויות החוזרות על עצמן. האפשרויות החוזרות על עצמן נובעות הפעם משני מקורות שונים ולא מאחד. מקור אחד לכפילויות נובע מאי-חשיבות סדר הכדורים בתת-קבוצה הנשארת אצל שמעון (כפי שראינו שני פרקים קודם לפרק זה). מקור נוסף לכפילויות נובע מאי-חשיבות סדר הגרלת הכדורים בתת-קבוצה שנבחרה לחלוקה לשני הבנים. כדי לבטל את הכפילויות נבצע חלוקה של מספר האפשרויות הכללי במספר האפשרויות שתורמת כל אחת מהכפילויות. נקבל,
────── =
2! • (5-2)!
120 / (2•6) =
10
דרך ב'
כבר ראינו בחלק הקודם שמספר אפשרויות החלוקה שרואים הבנים הוא 20. לשמעון, אין זה משנה אופן החלוקה של שני הכדורים שנלקחו ממנו לטובת שני הבנים. מספר אפשרויות החלוקה הפנימיות של שני הכדורים הוא 2! = 2•1 = 2. לכן יש לחלק את מספר אפשרויות החלוקה השונות שרואים הבנים, 20, במספר אפשרויות החלוקה הפנימיות שאינן חשובות לשמעון, 2. נקבל כמובן את אותה תוצאה כמו בדרך א'. כל אפשרות חלוקה ללא חשיבות לסדר הפנימי נקראת צירוף. החלוקה נותנת שני תתי-קבוצות, שכל אחת מהן מכילה צירוף כלשהו של פריטים ללא חשיבות לסדר הופעתם בו. דרך פתרון זו דומה מאוד לקודמת ומשתמשת באותם כללי קומבינטוריקה.
ננסח משפט באופן כללי. לבחירה ללא חשיבות לסדר וללא החזרות של k עצמים מתוך n עצמים יש n!/[k! • (n-k)!] צירופים שונים.
[ עמוד ראשי - קלקולוס | הסתברות וקומבינטוריקה : ייצוג הסתברות בעזרת שברים | חיבור הסתברויות | הכפלת הסתברויות | עץ הסתברויות | עצרת | סידור n עצמים | בחירה עם חשיבות לסדר וללא החזרות | בחירה עם חשיבות לסדר ועם החזרות | בחירה ללא חשיבות לסדר וללא החזרות | סיכום כללי הקומבינטוריקה | מקדם הבינום | משולש פסקל | הבינום של ניוטון ]