בעיות תערובת

בעיית תערובת כוללת חישוב של חלק יחסי מתוך חלק יחסי אחר וכדומה. כדי לפתור בעיית תערובת יש לבצע חישובים הכוללים שברים, ובמיוחד חישובים של ערכו של שבר מתוך שבר אחר.

למשל, נבחן את הדוגמה הפשוטה הבאה.

חבית א' מכילה 8 ליטרים של תמיסת מלח שחציה מים וחציה מלח. חבית ב' מכילה 12 ליטרים של תמיסת מלח שרבע ממנה מלח ושלושה-רבעים ממנה מים.

אם נאחד את תכולת שתי החביות מה יהיה חלקו של המלח בתמיסה המאוחדת?

דרך פתרון ראשונה

הדרך הפשוטה, אך הארוכה יותר, לפתרון הבעיה היא בעזרת חישוב כמויות המים והמלח שבכל חבית בנפרד. חישוב הכמויות של כל מרכיב בנפרד תתבצע בעזרת ידיעת הכמות הכוללת והכפלתה בחלקה היחסי של כל כמות.

חבית א' מכילה 8 ליטרים של תמיסה. מתוכם כמות המים בליטרים היא,

1/2 • 8 = 4

כמות המלח בחבית א' שווה לכמות המים בה (כל אחד מהם מהווה מחצית מתכולת התמיסה). לכן גם כמות המלח בתמיסה היא 4 ליטרים.

חבית ב' מכילה 12 ליטרים של תמיסה. מתוכם כמות המים בליטרים היא,

3/4 • 12 = 9

את כמות המלח שבחבית ב' ניתן לקבל בחישוב דומה,

1/4 • 12 = 3

או פשוט על-ידי החסרת כמות המים מכמות התמיסה כולה,

12 – 9 = 3

אחרי שכמויות המים והמלח בכל חבית בנפרד ידועות ניתן לחשב את החלק היחסי של כל מרכיב בתמיסה מתוך סך כמות התמיסה. החלק היחסי של מרכיב מסוים מתקבל מחלוקת סכום הכמויות של אותו מרכיב בסך הכמות הכוללת של התמיסה המאוחדת. למשל, סכום כמויות המלח הוא,

4 + 3 = 7

הכמות הכוללת של התמיסה המאוחדת היא,

8 + 12 = 20

מכאן שחלקו של המלח בתמיסה המאוחדת הוא,

7 / 20

כדי להעלות את הסיכוי לפתור את הבעיה ללא שגיאה נמלא טבלה בה רשומים הכמויות והחלקים היחסיים של כל מרכיב. תחילה נרשום בטבלה את מה שידועה מתוך הגדרת הבעיה עצמה,

	כמות מים	כמות מלח	סה"כ	חלק המים	חלק המלח
התמיסה בחבית א'			8	1/2	1/2
התמיסה בחבית ב'			12	3/4	1/4
איחוד התמיסות

עכשיו נוסיף לטבלה את הערכים המחושבים. תחילה נמלא את שתי השורות הראשונות,

	כמות מים	כמות מלח	סה"כ	חלק המים	חלק המלח
התמיסה בחבית א'	4	4	8	1/2	1/2
התמיסה בחבית ב'	9	3	12	3/4	1/4
איחוד התמיסות

מתוך שתי השורות הראשונות בטבלה נוכל למלא את השורה השלישית וכך להגיע גם לפתרון הבעיה,

	כמות מים	כמות מלח	סה"כ	חלק המים	חלק המלח
התמיסה בחבית א'	4	4	8	1/2	1/2
התמיסה בחבית ב'	9	3	12	3/4	1/4
איחוד התמיסות	13	7	20	13/20	7/20

רישום הנתונים בתוך טבלה מאפשר ראייה נוחה יותר והצגה מהירה של נתוני הבעיה ופתרונה. ככל שהבעיה מורכבת יותר ומכילה יותר נתונים ידועים ונתונים נעלמים כך טבלה כקודמת הטבלה שלעיל יקל על פתרונה.

דרך פתרון שנייה

דרך קצרה יותר, אך דורשת יותר מחשבה, לפתרון הבעיה שלעיל היא בעזרת חישוב חלקו היחסי של המלח בתמיסה המאוחדת באופן ישיר.

חלקו של המלח בחבית א' הוא 1/2 ובחבית ב' חלקו 1/4.

לפני מתן חישוב הפיתרון נציג קודם הסבר מילולי שיכוון אותנו לעבר הפתרון.

חבית א' מכילה תמיסת מלח מרוכזת יותר (באופן יחסי לעומת התמיסה שבחבית ב').
חבית ב' מכילה תמיסת מלח דלילה יותר (באופן יחסי לעומת התמיסה שבחבית א').

אם שתי החביות היו מכילות תמיסה בכמות שווה, אזי ריכוז המלח בתמיסת המלח המאוחדת היה נמצא בנקודת האמצע בין תמיסה מרוכזת ובין תמיסה דלילה. כלומר, חלקו של המלח בתמיסה המאוחדת היה נמצא, במקרה של שוויון בין כמויות התמיסות, בנקודת האמצע בין 1/2 ובין 1/4. ניתן לחשב את חלקו של המלח המקרה של כמויות תמיסה שוות כך,

(1/2 + 1/4) / 2 = 3/8

אך כמויות תמיסת המלח שבשתי החביות אינן שוות.
כמות התמיסה בחבית ב' גדולה יותר מזו שבחבית א'.

מכיוון שכמות התמיסה הדלילה גדולה יותר מכמות התמיסה המרוכזת נצפה לקבל תמיסה מאוחדת הנוטה יותר לכיוון התמיסה המדוללת מאשר לכיוון התמיסה המרוכזת. כלומר, נצפה באופן הגיוני לקבל ערך שבר קטן יותר מזה שהתקבל עבור כמויות שוות.

כדי לקבל את חלקו של המלח בתמיסה המאוחדת נצטרך להתחשב בכמות של כל תמיסה נפרדת. התרומה של כל תמיסה נפרדת למאזן המלח התמיסה המאוחדת תלויה בחלקה של כמות התמיסה הנפרדת מתוך כמות התמיסה המאוחדת.

(1/2 • 8 + 1/4 • 12) / (8 + 12) =
(4 + 3) / 20 =
7/20

זהו למעשה ביצוע חישוב של ממוצע חשבוני משוקלל, כאשר הכמות הנפרדת של כל תמיסה מהווה את משקל התמיסה בתמיסה המאוחדת.

הרחבת הדוגמה הראשונה

כעת נמשיך את הבעיה ונשאל איזו כמות מים ביחידות של ליטרים יש להוסיף לחבית א' כדי שריכוז המלח בה ירד מחצי לשליש?

חבית א' מכילה 8 ליטרים ומתוכם 4 ליטרים הם מלח. כדי שריכוז המלח בתמיסה יהיה 1/5 כמות המים צריכה להיות פי 4 מכמות המלח. לכן, אם כמות המלח נשארת ללא שינוי, אז כמות המים צריכה לגדול ולהיות,

4 • 4 = 16

משמע, שיש להוסיף על 4 הליטרים של מים הנמצאים כבר בתמיסה שבחבית א' עוד כמות מים בליטרים של,

16 – 4 = 12

כלומר, יש להוסיף 12 ליטרים של מים לחבית א' כדי שריכוז המלח בתמיסת המלח שבו ירד מ- 1/2 ל- 1/5.

נאמת את הפתרון על-ידי חישוב של חלקו של המלח בתמיסה החדשה,

4 / (8 + 12) =
4 / 20 =
1/5

נוסיף עוד סעיף לבעיה שהובאה כדוגמה, איזו כמות תמיסה ביחידות של ליטרים יש להעביר מחבית א' (המקורית) לחבית ב' כדי שזו האחרונה תכיל תמיסת מלח בה המלח מהווה שליש מכמות התמיסה?

חבית ב' מכילה 12 ליטרים של תמיסת מלח בריכוז של 1/4. כלומר, מתוך 12 הליטרים של התמיסה 3 ליטרים הם של מלח. אל כמות זו של מלח נוסיף כמות מסוימת של מלח מחבית א'. חבית א' מכילה תמיסת מלח בריכוז של 1/2. כל כמות תמיסה שנעביר מחבית א' לחבית ב' תכיל כמות שווה של מלח ושל מים. הוספת כמות מלח מסוימת מחבית א' תמיד גורמת גם להוספת מים באותה כמות.

נסמן את כמות תמיסת המלח המועברת מחבית ב' לחבית א' כנעלם x.

כמות המלח המועברת היא לכן ½•x וזו גם כמות המים המועברת.

נרשום משוואה המתארת את חלקו של המלח בחבית א' אחרי הוספת x ליטרים של תמיסה מתמיסת המלח שבחבית ב'. הנה כך,

(3 + ½•x) / (12 + x)

כעת נמצא מהו ערכו של הנעלם x שייתן תמיסה חדשה בה חלקו היחסי של המלח הוא 1/3,

חלקו היחסי של המלח = כמות התמיסה / כמות המלח
(3 + x/2) / (12 + x) = 1/3
3•(3 + x/2) = 1•(12 + x)
9 + 3x/2 = 12 + x
1.5x – x = 12 – 9
0.5x = 3
x = 6

אם נוסיף 6 ליטרים של תמיסה מחבית א' אל התמיסה הנמצאת בחבית ב' נעלה את ריכוז המלח בתמיסה שבחבית ב' כך שערכו היחסי של המלח יהיה 1/3.

נאמת את הפתרון שקיבלנו,

(3 + ½•6) / (12 + 6) =
(3 + 3) / 18 =
6 / 18 =
1/3

דוגמה שנייה

טבעת ראשונה מכילה 80% זהב ו- 20% כסף. טבעת שנייה מכילה 1/3 זהב ו- 2/3 כסף. כמות הכסף בטבעת השנייה גדול ב- 2 גרם מכמות הכסף שבטבעת הראשונה. צורף מתיך את שתי הטבעות ויוצר מהן שרשרת. פי כמה יותר זהב הכילה הטבעת הראשונה מאשר השנייה, אם ידוע שהשרשרת שהתקבלה מכילה פי 2 יותר זהב מאשר כסף?

נמלא טבלה בנתוני הבעיה הידועים לנו,

	כמות הזהב	כמות הכסף	סה"כ	חלק הזהב	חלק הכסף
טבעת ראשונה				80% = 4/5	20% = 1/5
טבעת שנייה				1/3	2/3
השרשרת

נוח יהיה לסמן את הכמות הכוללת של זהב וכסף בטבעת הראשונה בעזרת הנעלם x.
כך נוכל למצוא לפי הכמות הכוללת x והחלק היחסי של כל מרכיב את הכמות של כל מרכיב.

נוסיף לטבלה שלעיל את הנעלם שהגדרנו, x.

	כמות הזהב	כמות הכסף	סה"כ	חלק הזהב	חלק הכסף
טבעת ראשונה			x	80% = 4/5	20% = 1/5
טבעת שנייה				1/3	2/3
השרשרת

כעת נשלים את השורה הראשונה בטבלה בעזרת x שהוספנו לטבלה,

	כמות הזהב	כמות הכסף	סה"כ	חלק הזהב	חלק הכסף
טבעת ראשונה	4x/5	x/5	x	80% = 4/5	20% = 1/5
טבעת שנייה				1/3	2/3
השרשרת

ידוע שהטבעת השנייה מכילה 2 גרם כסף יותר מכמות הכסף שבטבעת הראשונה. בעזרת נתון זה נוכל למלא גם את השורה השנייה בטבלה,

	כמות הזהב	כמות הכסף	סה"כ חלק	הזהב	חלק הכסף
טבעת ראשונה	4x/5	x/5	x	80% = 4/5	20% = 1/5
טבעת שנייה		x/5 + 2		1/3	2/3
השרשרת

כמות הזהב בטבעת השנייה היא מחצית (יחס של 1/3 לעומת 2/3) מכמות הכסף בה. לכן כמות הזהב בטבעת השנייה היא (x/5 + 2)/2,

	כמות הזהב	כמות הכסף	סה"כ	חלק הזהב	חלק הכסף
טבעת ראשונה	4x/5	x/5	x	80% = 4/5	20% = 1/5
טבעת שנייה	(x/5+2)/2	x/5 + 2		1/3	2/3
השרשרת

נוכל גם לחשב ולהוסיף בטבלה את סך כמות הזהב והכסף שבשרשרת,

	כמות הזהב	כמות הכסף	סה"כ	חלק הזהב	חלק הכסף
טבעת ראשונה	4x/5	x/5	x	80% = 4/5	20% = 1/5
טבעת שנייה	(x/5+2)/2	x/5 + 2		1/3	2/3
השרשרת	4x/5 +(x/5+2)/2	x/5 +x/5 + 2

כמות הזהב בשרשרת היא פי 2 מכמות הכסף בה לכן נקבל את המשוואה הבאה:

4x/5 + (x/5+2)/2 = 2•(x/5 + x/5 + 2)
4x/5 + x/10 + 1 = 2x/5 + 2x/5 + 4
x/10 = 3
x = 30

כמות הזהב בטבעת הראשונה היא,

4x/5 = 24

כמות הזהב בטבעת השנייה היא,

(x/5 + 2)/2 = 4

מכאן שבטבעת הראשונה יש כמות זהב הגדולה פי 6 מזו שבטבעת השנייה.

דוגמה שלישית

במיכל גדול מערבבים כמות נוזל צבע צהוב עם כמות כפולה של נוזל בצבע כחול.
לתוך מיכל שני שופכים חמישית מכמות הנוזל המעורבב שבמיכל הראשון. לאחר-מכן מוסיפים למיכל החדש כמות של נוזל בצבע לבן הזהה לרבע כמות הנוזל הכחול שבו.

בתוך מיכל שלישי נמצאת כמות זהה של נוזל כמו במיכל השני, אך כולה בצבע צהוב. את כל הנוזל שבמיכל השני שופכים לתוך המיכל השלישי.

מוסיפים למיכל השלישי את אותה כמות נוזל בצבע לבן שהוספה לו קודם.

לסיום מוסיפים למיכל השלישי מחצית מכמות הנוזל המעורבב שנשאר במיכל הראשון.

מהו החלק היחסי של כל צבע שהתקבל בסוף התהליך במיכל השלישי?

	צהוב	כחול	לבן
מיכל ראשון	1/3	2/3	-
מיכל שני	1/15	2/15	2/60
מיכל שלישי לפני הוספה	1/15 + 2/15 + 2/60 = 14/60
מיכל שלישי אחרי הוספה I	14/60 + 1/15 = 18/60	2/15	2/60
מיכל שלישי אחרי הוספה II	18/60	2/15	2/60 + 2/60 = 4/60
מיכל שלישי אחרי הוספה III	18/60 + 1/6 = 28/60	2/15+1/3 = 7/15	4/60

מהטבלה שלעיל יוצא ש-
כמות הצבע הצהוב תתקבל מהכפלת כמות הצבע הכוללת (והלא ידועה) שבמיכל הראשון בשבר 28/60.
כמות הצבע הכחול תתקבל מהכפלת כמות הצבע הכוללת שבמיכל הראשון בשבר 7/15.
כמות הצבע הלבן תתקבל מהכפלת כמות הצבע הכוללת שבמיכל הראשון בשבר 4/60.

היחס בין השברים המייצגים את כמויות הצבעים במיכל השלישי הוא,

לבן : כחול : צהוב
28/60 : 7/15 : 4/60

נעביר את היחס משבר למספר שלם על-ידי הכפלת כל שבר במספר 60,

28 : 28 : 4

נצמצם את המספרים השלמים על-ידי חלוקת כל מספר ב-4. נקבל את היחס הבא,

7 : 7 : 1

משמע שכמות הצבע הכחול וכמות הצבע הצהוב זהים, וכל אחד מהם נמצא בכמות פי 7 מזו של הצבע הלבן.

כמות הצבע הצהוב היא 7/15.
כמות הצבע הכחול היא גם 7/15.
כמות הצבע הלבן היא 1/15.

דוגמה רביעית

חקלאי חובב מערבב אדמת חמרה אדומה באדמת חול בתוך שני גיגיות נפרדות. סך כמות האדמה המעורבבת זה בזה היא של 200 ק"ג. בגיגית הראשונה פיזר החקלאי 60 ק"ג של אדמת חמרה ובגיגית השנייה הוא פיזר 40 ק"ג של אדמת חמרה. מהי סך כמות האדמה בכל גיגית אם ידוע שבגיגית הראשונה אחוז אדמת החמרה בה גדול ב- 20% מאחוז אדמת החמרה שבגיגית השנייה?

ראשית נרשום בטבלה את הידוע לנו מהגדרת הבעיה. נסמן כנעלם x את אחוז אדמת החמרה שבגיגית השנייה. נקבל,

	כמות חמרה	כמות חול	סה"כ	חלק חמרה	חלק חול
גיגית ראשונה	60			x + 1/5
גיגית שנייה	40			x
סה"כ			200

בטבלה שלעיל המרנו את 20% בשבר 1/5. חלקו של החול מתקבל מהחסרת חלקה של אדמת החמרה מהשלם 1. נקבל,

	כמות חמרה	כמות חול	סה"כ	חלק חמרה	חלק חול
גיגית ראשונה	60			x + 1/5	1 – x – 1/5
גיגית שנייה	40			x	1 – x
סה"כ			200

כמות החול בכל גיגית שווה לכמות החמרה לחלק בחלק החמרה ומוכפל בחלק החול.כך נקבל שכמות החול בגיגית הראשונה היא,

60 • (1-x-1/5) / (x+1/5) =
60 • (4/5-x) / [(5x+1)/5] =
300 • (4/5-x) / (5x + 1)

כמות החול בגיגית השנייה היא,

40 • (1-x) / x

נסכם את כל כמויות החמרה והחול שבשתי הגיגיות ונקבל את המשוואה הבאה,

60 + 40 + 300 • (4/5-x) / (5x + 1) + 40 • (1-x) / x = 200
300 • (4/5-x) / (5x + 1) + 40 • (1-x) / x = 100

נכפיל את שני האגפים ב- x(5x + 1) ונקבל,

300 • (4/5-x) • x + 40 • (1-x) • (5x + 1) = 100x(5x + 1)
(240 – 300x) • x + (40 – 40x) • (5x + 1) = 500x2 + 100x
240x – 300x2 + 200x + 40 – 200x2 – 40x = 500x2 + 100x
-1000x2 + 300x + 40 = 0
50x2 – 15x – 2 = 0

פתרונות המשוואה הריבועית הן,

x1,2 = 2/5 , -1/10

התוצאה האפשרית היחידה מבין השתיים היא,

x = 2/5

הצבת ערכו של x תיתן את הפתרון שבכל גיגית יש סך של 100 ק"ג של אדמה מעורבבת.

[לפרק הקודם | לפרק הבא]

[ עמוד ראשי - אלגברה והנדסה | בעיות מילוליות : בעיות תערובת | בעיות שברים | בעיות אחוזים | בעיות תנועה | בעיות הספק ]