משוואה ממעלה שלישית

משוואה ממעלה שלישית היא משוואה מהצורה הכללית הבאה,

x³ + ax² + bx + c = 0

גם למשוואה ממעלה שלישית ניתן למצוא נוסחה על פיה ניתן למצוא את ערכו של הנעלם x כתלות בערכיהם של המקדמים. על הוכחת פיתרון כללי למשוואה ממעלה שלישית ועוד ניתן לקורא בפרק הדן בפתרון משוואות קוביות וקווארדיות שבאתר זה. אם בעיות הכוללות משוואה ממעלה שנייה עוסקות בין היתר בחישוב שטחים, הרי שבעיות הכוללות משוואה ממעלה שלישית עוסקות בין היתר בחישוב נפחים. מכאן השם הנוסף למשוואה ממעלה שלישית – משוואה קובית.

במתמטיקה ברמה התיכונית לא נדרש לפתור משוואות ממעלה שלישית בעזרת הנוסחה הכללית לפתרונן. משוואות ממעלה שלישית יופיעו לרוב בצורת מקרה פרטי (אחד המקדמים, או יותר, בערך אפס) או בערכי מקדמים המאפשרים להגיע לפתרונן בדרך של מציאת גורמי המכפלה של הפולינום המהווה את המשוואה.

פתרון של מקרה פרטי

עבור המקרה הפרטי ניתן לפתור את המשווה בדרך קצרה וקלה יותר, למשל, הנה הדוגמאות הבאות.

פתור את המשוואה הבאה,

x³ + 1 = 0

זוהי משוואה ממעלה שלישית פשוטה ומנוונת בה כל המקדמים בערך אפס. כך שמציאת פתרונה הוא טריוויאלי ביותר. בגלל שהמשוואה מנוונת במקום שלושה פתרונות נקבל רק פתרון אחד למשוואה,

x = -1

דוגמה אחרת,

x³ – 64 = 0

x³ = 64
x = 4

גם כאן התקבל רק פתרון אחד למשוואה.

הנה דוגמה נוספת לפתרון מקרה פרטי של משוואה ממעלה שלישית,

3x³ – 10x² + 7x = 0

נשים לב שכאן המקדם c שווה לאפס. לכן זהו מקרה פרטי של המשוואה ממעלה שלישית.
נוכל לחלץ את x מחוץ לסוגריים ונקבל,

x•(3x² – 10x + 7) = 0

פתרון אחד של המשוואה מתקבל באופן מיידי והוא x=0. נרשום פתרון זה בצד ונחפש את הפתרונות האחרים מלבד x=0. מכיוון שהפתרונות האחרים כוללים את כל המספרים מלבד אפס נוכל לחלק את המשווה הנ"ל ב- x (כי ערכו עבור שאר הפתרונות אינו יכול להיות אפס). נקבל,

3x² – 10x + 7 = 0

קיבלנו משוואה ריבועית שפתרונה ייתן את שני הערכים הנוספים של x הפותרים את המשוואה ממעלה שלישית שבתחילת הבעיה. פתרונות המשוואה הריבועית הן:

x_1,2 = 1, 2⅓

פתרונות המשוואה המקורית הן:

x_1,2,3 = 0, 16, 17⅓

ניתן להציב כל אחד מפתרונות אלו במשוואה שבתחילת הבעיה ולוודא שאכן הפתרון המוצע מקיים את המשוואה.

פתרון בעזרת מציאת גורמי מכפלה

לאחר מציאת כל הפתרונות של משוואה ממעלה כלשהי ניתן לרשום את המשוואה בצורה של מכפלות הגורמים שלה. גורם של משוואה הוא ביטוי חשבוני המכיל את הנעלם x והמתאפס כאשר x מקבל כערך את אחד מפתרונות המשוואה.

לדוגמה נבחן את המשוואה ממעלה שנייה הבאה,

x² - 7x + 6 = 0

פתרונות משוואה זו הם,

x_1,2 = 1, 6

שני הגורמים של המשוואה הם לכן (x-1) ו- (x-6). כל אחד מהגורמים מתאפס עבור כל אחד מפתרונות המשוואה. נוכל לרשום את המשוואה כמכפלה של שני הגורמים זה בזה. הנה כך,

(x - 1)•(x - 6) = 0

בצורת רישום המשוואה כמכפלה של גורמים קל לראות את פתרונות המשוואה. הרי המשוואה תתקיים אם אחד משני הגורמים במכפלה יתאפס, ומכאן קל למצוא את ערכו של הנעלם x עבור כל גורם ועבור כל פיתרון.

בעזרת פעולה של פתיחת סוגריים וכינוס איברים ניתן להוכיח כי המשוואה שלעיל זהה למשוואה ממעלה שנייה המקורית שנכתבה קודם. הנה,

(x - 1)•(x - 6) = 0
x² - 6x - x + 6 = 0
x² - 7x + 6 = 0

לפעמים נוכל לפתור משוואה ממעלה שלישית בעזרת הצגתה כמכפלה של גורמים. מציאת הגורמים אינה תמיד ברורה מאליה ולכן דורשת התנסות וניסיון.

למשל, הנה לדוגמה המשוואה ממעלה שלישית הבאה,

x³ – x² – 2x + 2 = 0

x²•(x – 1) – 2•(x – 1) = 0

הביטוי (x – 1) הוא גורם משותף לשני האיברים במשוואה שלעיל. אין חוקיות או שיטה אותה ניתן להפעיל כדי למצוא את הגורם המשותף הנחבא בתוך המשוואה. מציאתו היא בעיקר על-ידי ניסיון ובדיקה של הצעות של גורמים משותפים אפשריים.

מכיוון שקיים גורם משותף לשני האיברים נוכל לכנס את מקדמי הגורמים המשותפים ולחברם לתוך זוג סוגריים אחד. נקבל,

(x² – 2)•(x – 1) = 0

האגף השמאלי של המשואה יתאפס רק כאשר ערכו של אחד מהביטויים שבסוגריים יתאפס. מכאן נקבל שפתרונות אפשריים של המשוואה הן,

x² – 2 = 0 ► x = √2, -√2
x – 1 = 0 ► x = 1

הנה דוגמה נוספת לפתרון משוואה ממעלה שלישית תוך מציאת הגורם המשותף.

הנה המשוואה הבאה,

x³ – x² – 4x + 4 = 0

x³ – 4x – x² + 4 = 0
x•(x² – 4) – (x² – 4) = 0
(x – 1)•(x² – 4) = 0

האגף השמאלי של המשואה יתאפס כאשר ערכו של אחד מהביטויים שבסוגריים יתאפס. מכאן נקבל שפתרונות אפשריים של המשוואה הן,

x - 1 = 0 ► x = 1
x² - 4 = 0 ► x = 2, -2

לפעמים הגורם המשותף חבוי היטב בתוך המשוואה וקשה למצוא אותו בניסיונות ראשוניים.

למשל, הנה המשוואה ממעלה שלישית הבאה,

x³ – 3x² + 4 = 0

x³ – 2x² – x² + 4 = 0
x²•(x – 2) – (x² – 4) = 0

ניעזר בנוסחת הכפל המקוצר הבאה,

x² - y² = (x + y)•(x – y)

נקבל,

x²•(x – 2) – (x + 2)•(x – 2) = 0
x²•(x – 2) – (x + 2)•(x – 2) = 0
(x2 – x – 2)•(x – 2) = 0

האגף השמאלי של המשואה יתאפס כאשר ערכו של אחד מהביטויים שבסוגריים יתאפס. מכאן נקבל שפתרונות אפשריים של המשוואה הן,

x² – x – 2 = 0 ► x = 2, -1
x – 2 = 0 ► x = 2

שני פתרונות מתוך השלושה שהתקבלו הם בעלי ערך זהה, לכן למעשה נותרנו עם שני פתרונות אפשריים למשוואה,

x_1,2 = -1, 2

פתרון בעזרת חלוקת פולינום

למשוואה ממעלה שלישית ישנם עד שלושה ערכי פתרונות שונים אפשריים לנעלם x. אם ידוע לנו פתרון אחד מתוך השלושה, אזי נוכל להוציאו מתוך המשוואה בעזרת חלוקת המשוואה בגורם המכיל את הפתרון הידוע. הוצאת אחד הפתרונות (אחד הגורמים) מתוך המשוואה מוריד את דרגתה ממשוואה ממעלה שלישית למשוואה ממעלה שנייה שקל לפתור.

לדוגמה, פתור את המשוואה הבאה כאשר ידוע שאחד מפתרונותיה הוא x=2,

x³ - 3x² - 18x + 40 = 0

אם ידוע שפתרון אחד של המשוואה הוא x=2 הרי שאחד הגורמים של המשוואה הוא x-2.

נחלק את פולינום המשוואה בגורם הידוע ונקבל,

_x² - x - 20______
x³ - 3x² - 18x + 40| x - 2
x³ - 2x²
-----------------------
-x² - 18x + 40
-x² + 2x
------------------
  -20x + 40

כלומר ניתן לרשום את המשוואה שלעיל גם באופן הבא,

(x-2)•(x² - x - 20) = 0

את שני הגורמים הנוספים של המשוואה נוכל למצוא אם נפתור את המשוואה הריבועית,

x² - x - 20 = 0

פתרונות המשוואה הריבועית שלעיל הם,

x_1,2 = 5, -4

רישום המשוואה ממעלה שלישית כגורמים היא,

(x-2)•(x-5)•(x+4) = 0

ניתן לוודא זאת על-ידי פעולת פתיחה של הסוגריים וכינוס איברים דומים.

◄ להעשרה נוספת ניתן לקרוא את הפרק באתר זה הדן בדרך גילוי פתרון המשוואות הקוביות.

[לפרק הקודם | לפרק הבא]