יחסי זווית-צלע במשולש כללי (משפט הסינוס)

משולש כללי

הגדרת הפונקציות הטריגונומטריות מתבססת על משולש ישר-זווית. אך משולש ישר-זווית הוא רק מקרה מאוד פרטי במשפחת המשולשים. את משפחת המשולשים ניתן לחלק לשלושה סוגים שונים בהתאם לסוג הזוויות שבהן: משולש קהה-זווית, משולש ישר-זווית ומשולש חד-זווית.

משולש קהה זווית הוא משולש בו קיימת זווית אחת הגדולה מ- 90º. זווית הגדולה מ- 90º נקראת זווית קהה, ומכאן שמו של משולש מסוג זה.

משולש ישר-זווית הוא משולש בו קיימת זווית אחת השווה ל- 90º. זווית השווה ל- 90º נקראת זווית ישרה, ומכאן שמו של משולש מסוג זה.

משולש חד-זווית הוא משולש בו כל שלושת הזוויות קטנות מ- 90º. זווית הקטנה מ- 90º נקראת זווית חדה, ומכאן שמו של משולש מסוג זה.

נזכיר שבמשולש ישנן בדיוק 180º. לכן רק זווית אחת יכולה להיות גדולה מ- 90º או שווה ל- 90º.

שימוש בפונקציות הטריגונומטריות במשולש הכללי

כיצד נוכל להשתמש בהגדרות הפונקציות הטריגונומטריות אם נתון משולש שאינו ישר-זווית?

למשל, פונקצית הסינוס של זווית מוגדרת כמנת החלוקה בין הניצב שממול לזווית ובין היתר. הניצב והיתר הם מושגים הקיימים הרי רק במשולש ישר-זווית.

כדי להשתמש בפונקציות הטריגונומטריות גם במשולש שאינו משולש ישר-זווית נצטרך להוסיף למבנה המשולש הכללי קטעים ישרים כך שיתקבלו בשרטוט הכולל משולש ישר-זווית אחד או יותר.

לדוגמה, נתון משולש קהה-הזווית הבא,

משולש קהה זווית

נעביר אנך מהקודקוד העליון C עד להמשך בסיס המשולש שהוא המקטע AB.

נמצא את הפונקציות הטריגונומטריות בשני המשולשים ישר-הזווית שנוצרו. נקבל,

sin α = h/b
sin(180º – β) = h/a → sin β = h/a

נחלץ את h בכל אחת מהמשוואות,

b • sin α = h
a • sin β = h

נשווה את שני האגפים השמאליים של שתי המשוואות ונקבל,

sin α / a = sin β / b

מצאנו את הקשר בין הזוויות α ו- β ובין הצלעות שממולן במשולש קהה-זווית. כעת, לשם הנוחות, נסובב את המשולש נגד כיוון השעון כך שצלע b תהיה הפעם בסיס המשולש. נקבל את המשולש הבא הזהה למשולש הקודם, רק מסובב,

משולש קהה זווית מסובב

הפעם נעביר אנך מהקודקוד העליון B אל עבר בסיס המשולש AC.

משולש קהה זווית מסובב ועם אנך

נמצא את הפונקציות הטריגונומטריות בשני המשולשים ישר-הזווית שנוצרו. נקבל,

sin α = h/c
sin γ = h/a

נחלץ את h בכל אחת מהמשוואות,

c • sin α = h
a • sin γ = h

נשווה את שני האגפים השמאליים של שתי המשוואות ונקבל,

sin α / a = sin γ / c

מצאנו את הקשר בין הזוויות α ו- γ ובין הצלעות שממולן במשולש קהה-זווית. כעת שוב נסובב את המשולש נגד כיוון השעון כך שצלע a תהיה הפעם בסיס המשולש. נקבל את המשולש הבא הזהה למשולש הקודם, רק מסובב,

משולש קהה זווית מסובב

הפעם נעביר אנך מהקודקוד העליון A אל עבר המשך בסיס המשולש BC.

משולש קהה זווית מסובב ועם אנך

נמצא את הפונקציות הטריגונומטריות בשני המשולשים ישר-הזווית שנוצרו. נקבל,

sin(180º – β) = h/c → sin β = h/c
sin γ = h/b

נחלץ את h בכל אחת מהמשוואות,

c • sin β = h
b • sin γ = h

נשווה את שני האגפים השמאליים של שתי המשוואות ונקבל,

sin β / b = sin γ / c

בעזרת בנייה פשוטה של אנך היוצא כל פעם מקודקוד אחר במשולש קהה-הזווית קיבלנו שני משולשים ישרי-זווית. מכל זוג משולשים ישרי-זווית קיבלנו משוואה אחת בה מוגדר שהיחס בין סינוס הזווית לצלע שממולה שווה ליחס בין סינוס זווית אחרת במשולש לצלע שממולה.

את שלושת המשוואות ניתן לאחד יחד למשוואה אחת לצורך רישום מקוצר,

sin α / a = sin β / b = sin γ / c

משפט זה נקרא בשם משפט הסינוסים.

הוכחת משפט הסינוסים גם עבור משולש חד-זווית

הוכחנו את משפט הסינוסים לגבי משולש קהה-זווית. כעת נוכיח את תקפותו גם עבור משולש חד-זווית.

נתון משולש חד-הזווית הבא,

משולש חד-זווית

כפי שראינו משפט הסינוסים הוא למעשה סט של שלושה משוואות. כדי לקבל כל משוואה מתוך סט שלוש המשוואות נעביר אנך מאחד הקודקודים אל הצלע שממולו. אותו תהליך בנייה כמו במשולש קהה-הזווית.

המשוואה שנקבל מכל בנייה שכזו תבטא את היחס בין שתי הזוויות האחרות שבמשולש לבין שתי הצלעות האחרות. למשל, נעביר אנך מקודקוד C אל צלע BC,

משולש חד-זווית

מבנייה זו נקבל,

sin α = h/b
sin β = h/a

sin α / a = sin β / b

משוואה נוספת נקבל אם נעביר אנך מקודקוד אחר, למשל קודקוד B, אל הצלע שממולו. הפעם נוותר על סיבוב המשולש ונשאיר אותו במקומו,

משולש חד-זווית

מבנייה זו נקבל,

sin α = h/c
sin γ = h/a

sin α / a = sin γ / c

המשוואה השלישית והאחרונה בסט תתקבל מהורדת אנך מקודקוד A אל הצלע BC שממולו.
הוכיחו זאת!

הוכחת משפט הסינוסים גם עבור משולש ישר-זווית

משפט הסינוסים תקף גם במשולש ישר-זווית.

משולש ישר-זווית הנו למעשה מקרה מאוד פרטי ומיוחד. שתי צלעות בו (הניצבים) הם גם האנכים.

משולש ישר-זווית

לכן, במשולש ישר-זווית נקבל רק משוואה אחת במקום שלושה,

sin α / a = sin β / b

הזווית γ הינה זווית של 90º וידוע ש-

sin 90º = 1

לכן נקבל,

sin γ / c = sin 90º / c = 1 / c

אם נוסיף את 1/c למשוואה הקודמת נקבל,

sin α / a = sin β / b = 1 / c

אבל הוספה זו לא תרמה שום מידע נוסף. הרי לפי ההגדרה של פונקצית הסינוס כבר מתקיימים שני המשוואות הבאות,

sin α = a / c → sin α / a = 1/ c
sin β = b / c → sin β / b = 1/ c

[לפרק הקודם | לפרק הבא]

[ עמוד ראשי - קלקולוס | טריגונומטריה : מבוא | מדידת ערך הזווית | הגדרת הפונקציות הטריגונומטריות | ערכים מיוחדים של הפונקציה הטריגונומטרית | קשרים בין הפונקציות הטריגונומטריות | הרחבת תחום ההגדרה | פונקציות טריגונומטריות הפוכות | זהויות טריגונומטריות מיוחדות | יחסי זווית-צלע במשולש ישר-זווית | יחסי זווית-צלע במשולש כללי (משפט הסינוסים) | יחסי זווית-צלע במשולש כללי (משפט הקוסינוס) | חישוב שטח משולש ]