מעגל זרם חילופין

הקבל במעגל זרם חילופין

מעגל זרם חילופין פשוט הכולל רק קבל טהור נראה מהצורה הבאה,

קבל טהור במעגל זרם חילופין

כזכור לנו מניתוח התנהגות הקבל במעגל זרם ישר הקבל נטען בהדרגה במתח המקור, דבר שגורם לירידה הדרגתית בזרם הטעינה שלו – הזרם הזורם במעגל החשמלי.

בכל מחזור במעגל זרם חילופין הקבל נטען במטען חשמלי לפי קוטביות אחת, אחר נפרק מאותו מטען, נטען במטען חשמלי לפי קוטביות הפוכה ואחר נפרק גם ממנה. כלומר, נצפה לראות בכל מחזור פעולה של מתח החילופין את ההתנהגות הבאה של הזרם החשמלי: זרם טעינה א', זרם פריקה א', זרם טעינה ב' וזרם פריקה ב'.

נשרטט את התנהגות המתח ואת התנהגות הזרם שבמעגל זה לפי השלבים שתיארנו,

המתח והזרם במעגל זרם חילופין הכולל קבל בלבד

ניתן לראות מהשרטוט שלעיל שהזרם מגיע לערכו המרבי רבע מחזור לפני שהמתח מגיע לערכו המרבי. כלומר, הזרם מקדים את המתח בהפרש מופע של 90 מעלות או π/2 רדיאנים. מכאן שמשוואת הזרם במעגל תהיה מהצורה,

I(t) = I_max sin(ωt + π/2)

נשים לב שמשוואת הזרם כוללת פונקצית sin בעל תדר ω וזווית מופע של 90 מעלות (π/2). המשרעת המרבית של הזרם היא I_max.

במעגל שכלל רק נגד הייתה ההתנגדות של המעגל ידועה. לא היה קיים גם הפרש מופע בין המתח לזרם במעגל. במקרה זה יכולנו לקבל את ערכו המרבי של הזרם בעזרת חוק אוהם על-ידי חלוקה של המתח המרבי בהתנגדות של הנגד.

גם במעגל הכולל קבל בלבד "מורגשת" התנגדות כלשהי על-ידי מקור מתח החילופין, הרי זורם במעגל זרם שאינו אינסופי, אלא המוגבל בעוצמתו המרבית. כדי למצוא ביטוי לזרם המרבי הזורם במעגל הכולל קבל בלבד ננתח את המתרחש ברבע המחזור הראשון. מטעמי סימטריה התנהגות דומה וניתוח דומה יהיו גם בכל אחד משלושת הרבעים האחרים של המחזור.

ברבע המחזור הראשון מתבצעת טעינה של הקבל. זרם הטעינה הממוצע נתון לפי המשוואה,

I_ave = C ΔV/Δt

אם T הוא משך זמן המחזור, אז השינוי במתח ברבע המחזור הראשון, בפרק זמן של T/4, הוא ממתח אפס ועד למתח המרבי של מקור המתח. מכאן שנקבל,

I_ave = C (V_max – 0)/(T/4)

I_ave = 4CV_max/T

את זרם הטעינה הממוצע ברבע המחזור הראשון נוכל למצוא גם על-ידי ביצוע אינטגרל על הזרם וחלוקתו בפרק הזמן,

I_ave = ∫I(t)/(T/4)

I_ave = 4/T ∙ ∫I_max sin(ωt + π/2)

I_ave = 4I_max/T ∙ ∫sin(ωt + π/2)

נעזר במשוואה הבאה לפתרון האינטגרל,

∫sin(ax + b)dx = -1/a ∙ cos(ax + b)

ונקבל,

I_ave = 4I_max/T ∙ (-1/ω) ∙ [cos(ωt + π/2)]|_{0→ π/2}

ניעזר בזהות הטריגונומטרית,

cos(x + π/2) = -sin(x)

ונקבל,

I_ave = 4I_max/T ∙ (-1/ω) ∙ [-sin(ωt)]|_{0→ π/2}

גבולות האינטגרל הן מאפס ועד π/2, נציב אותן בפונקצית ה- sin ונקבל,

I_ave = 4I_max/T ∙ (-1/ω) ∙ [-(1 – 0)]

I_ave = 4I_max/(ωT)

נשווה את שתי המשוואות של זרם הטעינה הממוצע ונקבל,

4CV_max/T = 4I_max/(ωT)

CV_max = I_max/(ω)

V_max/I_max = 1/(ωC)

קיבלנו גודל פיזיקאלי חדש המתאר את ההתנגדות "המורגשת" של הקבל במעגל זרם חילופין. זוהי התנגדותו של הקבל הנובעת מתכונת הקיבול שלו והתלויה גם בתדר מתח החילופין המסופק לו.

הערה: לולא ההתנגדות "המורגשת" הזו הרי שהזרם שהיה זורם במעגל הכולל קבל בלבד היה אינסופי. הקבל גורם להגבלה על עוצמת הזרם המרבי הזורם במעגל וגורם לשינוי בזרם לאורך מחזור פעולה שלם של מקור מתח החילופין. הגבלה זו שקולה להתנגדות חשמלית.

גודל פיזיקאלי זה הוא כאמור התגובה של הקבל למתח המשתנה המסופק לו. לכן, נקרא גודל זה בשם ההיגב הקיבולי של הקבל והוא מסומן על-ידי האות X_C,

X_C = 1/(ωC)

בהחלפה של התדירות הזוויתית בתדר מקור המתח נקבל,

X_C = 1/(2πfC)

[לפרק הקודם | לפרק הבא]