המודל הדואלי של האור

קבוע פלאנק וקוונטות אנרגיה

בסוף המאה ה-19 אנשי מדע רבים היו עסוקים בחקר תופעת הקרינה של גוף שחור. מקס פלאנק, אחד מתלמידיו של קירכהוף, התעניין יותר בתחום התרמודינאמיקה. יחד עם זאת, תעלומת הקטסטרופה של האולטרא-סגול, שנצפתה בתופעת הקרינה מגוף שחור, לא נעלמה מעיניו והוא שם עצמו לפתרה.

בעזרת הידע המתמטי שלו הוא הצליח למצוא את המשוואה המתאימה לתוצאות המדידה של עוצמת הקרינה הנפלטת מגוף שחור באורכי גל שונים כפי שהתקבלו בניסויים. פלאנק הגיע אל המשוואה לא תוך כדי פיתוח של תיאוריה חדשה בצורה מסודרת, אלא בדרך של התאמתה לתוצאות המספריות. יחד עם זאת, פלאנק נזקק לשם כך להניח הנחה חדשה לגבי האנרגיה הנאגרת בגל אלקטרומגנטי. הנחה פורצת דרך שלא הייתה קיימת עד כה ושעתידה להתוות את הדרך לתורה פיזיקאלית שלמה – תורת הקוונטים.

אך עוד לפני שנגיע לדון בתורה החדשה (זה יקרה רק בפרק הבא) נראה מה ההנחה שפלאנק הניח וכיצד היא עזרה לו לפתור את בעיית הקטסטרופה של האולטרא-סגול. פלאנק הניח שהאנרגיה נאגרת בגל האלקטרו-מגנטי לא באופן רציף, אלא במנות שלמות בדידות (דיסקרטיות) של אנרגיה. כלומר, ישנה מנת אנרגיה קטנה אשר מהווה את המנה המינימאלית ביותר הקיימת ושממנה נבנית האנרגיה של הגל כולו. מנה מינימאלית זו זכתה להיקרא קוונטה מהמילה הלועזית למנה.

אותה מנת אנרגיה מינימאלית של הגל הנקראת קוונטה תלויה ביחס ישר בתדר של הגל. פלאנק מצא שככל שהתדר של הגל גדול יותר (אורך גל קצר יותר) כך מנות האנרגיה בו הוא נבנה הן גדולות יותר.

E α ν

כדי להפוך את היחס הישר למשוואה הוסיף פלאנק קבוע חדש וחשוב שזכה להיקרא על שמו ולהיות "הקבוע של פלאנק". המשוואה לקוונטת אנרגיה שאליה הוא הגיע בעזרת הקבוע החדש, שסימנו הוא האות h, היא,

E = hν
כאשר –
ν – תדר הגל האלקטרומגנטי הנמדד ביחידות של הרץ או 1/s
h – קבוע פלאנק שערכו הוא,

h = 6.62607004‧10^-34[J‧s]

או אם האנרגיה נמדדת ביחידות של eV, אז ערכו של קבוע פלאנק יהיה שווה ל-

h = 4.135667662‧10^-15 [eV‧s]

המשוואה שלעיל מגדירה את גודל מנות האנרגיה שמהן נבנה סך האנרגיה האגורה בגל האלקטרומגנטי. זוהי אבן הבניין הבסיסית לבניית הגל וגם מגדירה את הרזולוציה של האנרגיה האגורה בו. נשים לב שעבור תדרי גל שונים מקבלים ערכים מספריים שונים. בייחוד נשים לב לעובדה שככל שתדר הגל הוא גדול יותר, כך ערך הקוונטה שלו גדל, כלומר, אבן הבניין האנרגטית הדרוש לבניית האנרגיה שלו (לבניית הגל בעצם) הוא גדול יותר. במילים אחרות, נדרשת יותר אנרגיה מינימאלית כדי להתחיל לבנות גל בתדר גבוה יותר מאשר זו הנדרשת עבור גל בתדר נמוך יותר.

על בסיס המשפט האחרון שבפסקה הקודמת היה קל עבור פלאנק להגיע למסקנה שבגוף שחור הבולע אנרגיה קל יותר לגלים בתדר נמוך להיווצר וקשה יותר לגלים בתדר גבוה להיווצר. במונחים מתמטיים ניתן לומר שההסתברות להיווצרות גל בתדר נמוך היא גבוהה יותר מההסתברות להיווצרות גל בתדר גבוה.

לכן, אמנם בגוף שחור יש הרבה יותר אפשרויות להכיל גלים בתדר גבוה, כפי שראינו קודם, אך אפשרויות אלו מנוצלות בהסתברות נמוכה מאוד ככל שתדר הגל הוא גדול יותר. מצד שני, מספר האפשרויות להכיל תדרים בתדר נמוך יותר הוא קטן יותר, אך אפשרויות אלו מנוצלות בהסתברות גבוהה מאוד. כך, בסיכומם של מספר האפשרויות להכלת כל תדר גל מוכפלת בהסתברות להיווצרות גל מתקבל הגרף כפי שנצפה בניסויים.

בהסתמך על מנת האנרגיה, הקוונטה, שהוא הגדיר, בנה פלאנק את המשוואה הבאה המתארת את עוצמת האנרגיה המתקבלת עבור כל תדר גל בקרינה הנפלטת מגוף שחור,

E = hν / (e^hν/kT – 1)

כאשר –
    E – האנרגיה הנפלטת
    h – קבוע פלאנק
    ν – תדירות הקרינה
    k – קבוע בולצמן
    T – טמפרטורה הנמדדת במעלות קלווין

ניתן לראות כי המשוואה החדשה שהציג פלאנק אכן דומה יותר לגרפים המתקבלים מתוצאות ניסויים וכי יש בין השניים התאמה טובה מאוד.

לב הבעיה שהציגה המכאניקה הקלאסית היא העובדה שלפיה האנרגיה היא רציפה ולכן אין בה דרישה להגעה לכמות אנרגיה מינימאלית כדי להתחיל לבנות גל בתדר כלשהו. לפי המכאניקה הקלאסית אין הבדל בכמות האנרגיה המינימאלית הנדרשת לבניית גל בתדר נמוך ובין זו הנדרשת לבניית גל בתדר גבוה. בכל התדרים ניתן להתחיל לבנות את הגל עם אותה כמות אנרגיה ולכן גם באותה הסתברות.

במציאות זה לא קרה, משהו עלום חסם את יצירת הגלים בתדר גבוה.

אותו משהו עלום שחסם את יצירת הגלים בתדר גבוה הוא סף האנרגיה הדרושה לשם התחלת יצירתם. סף זה מוגדר כיחידה אחת של מנת אנרגיה מינימאלית אחת. כדי להגיע לאותה מנת אנרגיה היה על פלאנק להגדיר קודם את האנרגיה כעשויה ערכים בדידים (דיסקרטיים) ולא באופן רציף. משנעשתה על ידו ההבחנה הזו, הגדיר פלאנק את אותה מנה בדידה – הקוונטה.

נסיים באנקדוטה קטנה... בקשר למבנה החומר ידוע הוא שפלאנק התקשה להאמין בקיומם של האטומים כאבני הבניין הבסיסיים של החומר. לכן זה נראה קצת תמוה ומוזר שמי שלא האמין בקיומו של חלקיק חומר קטן שממנו נבנים גופים גדולים הוא זה שפיתח את התיאוריה שהאנרגיה מתחלקת למנות אנרגיה קטנות בדידות.

[לפרק הקודם | לפרק הבא]