המעגל המגנטי

חוקי קירכהוף במעגל המגנטי

כפי שראינו קיימת מקבילה במעגל המגנטי לחוק אוהם הקיים במעגל החשמלי ,

M = Φ ∙ R_m

כאשר המיאון המגנטי מחושב לפי משוואה הדומה לזו בה מחושבת ההתנגדות החשמלית,

R_m = (1/μ)∙L/A

בפרק זה נלמד כי במעגל המגנטי מתקיימים בנוסף גם שני חוקים המקבילים לשני חוקי קירכהוף המוגדרים עבור המעגל החשמלי. שני חוקים אלו יאפשרו לנו לפתור מעגל מגנטי בו חומר הליבה עשוי חומרים שונים או בעל מקטעים בעלי שטח חתך שונה או בעל חריץ אוויר וגם מקרים מורכבים יותר בהם הליבה מתפצלת וכוללת יותר ממעגל אחד.

נתחיל דווקא במקבילה המגנטית לחוק השני של קירכהוף (כלל הלולאה).

עוצמת השדה האלקטרומגנטי H מוגדרת לפי,

H = M / L

לפיכך,

M = H L

נזכיר ש- M הינו הכמ"מ (כוח מגנטו-מניע) והינו המקבילה לכא"מ (כוח אלקטרו-מניע) שהינו מקור המתח E במעגל החשמלי. מכאן שניתן לייחס למכפלה HL משמעות של מפל מתח מגנטי.

המקבילה המגנטית לחוק השני של קירכהוף טוענת שסכום מפלי המתח המגנטיים בלולאה מגנטית סגורה שווה לכמ"מ בה (או יותר מדויק לסכום מקורות הכמ"מ). כלומר,

M = H₁L₁ + H₂L₂ + H₃L₃ + …

או ברישום מקוצר,

M = Σ H_i L_i

לדוגמה, נחשב מהו הכמ"מ M הנדרש לספק במעגל המגנטי הבא כדי לקבל שדה מגנטי מושרה B. הליבה היא בצורת ריבוע שאחת מצלעותיה עשויה מחומר שונה, אך גודל שטח החתך A נשמר לאורך כל היקפה הפנימי L.

ליבה העשויה שני חומרים שונים

מכיוון שאין התפצלויות בליבה השטף המגנטי הזורם דרכה שומר על גודלו לכל אורכה. מכיוון שגם שטח החתך של הליבה נשמר זהה בגודלו לכל אורכה ניתן לומר שצפיפות השטף המגנטי B (שהוא גם השדה המגנטי המושרה) שווה לכל אורך הליבה,

B = Φ / A

העוצמה של השדה המגנטי H בכל מקטע שווה לצפיפות השטף המגנטי מחולק בתכונת החלחלות של החומר. מכיוון שהליבה עשויה שני חומרים שונים נקבל שהעוצמה של השדה המגנטי בכל מקטע היא,

H₁ = B / μ₁
H₂ = B / μ₂

נכפיל את העוצמה של השדה המגנטי H של כל מקטע באורכה ונסכם,

M = H₁ L₁ + H₂ L₂
M = B/μ₁ ∙ ¾L + B/μ₂ ∙ ¼L
M = B L ∙ [3/(4μ₁) + 1/(4μ₂)]

הערה: במידה ויש חריץ אוויר בחומר הליבה, אז קווי השדה המגנטי עוברים דרך חריץ האוויר בקשתיות ויוצרים למעשה שטח חתך אפקטיבי גדול יותר משטח החתך של הליבה. כדי לפשט את החישוב, מקובל לרוב להניח ששטח החתך דרכו עוברים קווי השדה המגנטי בחריץ האוויר שווה לשטח החתך של הליבה.

המקבילה המגנטית לחוק קירכהוף השני מעולם החשמל מאפשרת לנו לפתור את המעגל המגנטי הטורי. המעגל המגנטי הטורי הינו המקבילה למעגל החשמלי הטורי הכולל נגדים המחוברים בטור בלבד ומקורות כא"מ המחוברים בטור בלבד. במעגל המגנטי הטורי כל המיאונים המגנטיים וכל מקורות הכמ"מ מחוברים בטור בלבד.

המעגל המגנטי הטורי

בעזרת המקבילה במעגל המגנטי לחוק קירכהוף הראשון (כלל הצומת) המוגדר במעגל החשמלי נוכל לפתור גם מעגל מגנטי מקבילי ומעורב.

דוגמה למעגל מגנטי מקבילי

המקבילה המגנטית לחוק הראשון של קירכהוף טוענת שסכום השטפים המגנטיים הנכנסים לצומת שווה לאפס. כלומר, עבור כל צומת מתקיים,

ΣΦ_i = 0

לדוגמה נבחן את המעגל המגנטי שלעיל הכולל שני מסלולים מקבילים בעלי צלע משותפת. אורך כל צלע הוא L ועובייה זהה בכל נקודה. שטח החתך בכל נקודה הוא A, למעט לאורך הצלע האמצעית המשותפת שרוחבה כפול (אך עובייה זהה) ולכן שטח החתך בה הוא כפול ושווה 2A.

מספר הכריכות הוא 100 והזרם I הזורם דרכן הוא 1.5A. בהינתן L=0.5m ו- A=0.01m², מהו גודל השדה המגנטי שנוצר בליבה ומהי עוצמת השדה המגנטי בה ליחידת אורך, אם הליבה עשויה מברזל?

הכמ"מ הנוצר בליבה הוא,

M = N I = 100 ∙ 1.5 = 150 [AT]

נוכל לתאר את המעגל המגנטי בעזרת מעגל חשמלי מקביל,

תיאור חשמלי למעגל המגנטי המקבילי

עבור ליבת ברזל נקבל,

μ = μ₀ μ_r = 4π∙10^-7 ∙ 200,000 = 0.25128 [T∙m/A]

המיאון המגנטי שווה ל-

R_m = (1/μ)∙L/A

R_m1 = (1/0.25128) ∙ (3∙0.5)/0.01 = ~597 [A/(T∙m²)]
R_m2 = (1/0.25128) ∙ 0.5/0.02 = ~100 [A/(T∙m²)]

מכיוון ששני הענפים הם סימטריים נקבל שהשטף המגנטי הזורם בצלע האמצעית מתפצל שווה בשווה בין שניהם. נקבל לפי חוק קירכהוף הראשון,

ΣΦ_i = 0
Φ₁ + Φ₁ + Φ₂ = 0
Φ₁ = 0.5Φ₂

בעזרת המשוואה,

M = Φ ∙ R_m

ומתוך הפעלת חוק קירכהוף השני על חוג מתחים פנימי הכולל את הענף האמצעי ואת אחד מהענפים המקבילים לו נקבל,

M = Φ₁R_m1 + Φ₂R_m2
150 = 0.5Φ₂∙597 + Φ₂∙100
150 = 0.5Φ₂∙597 + Φ₂∙100
Φ₂ = 0.3764 [T∙m²]
Φ₁ = 0.1882 [T∙m²]

את השדה המגנטי בכל צלע נמצא לפי,

B = Φ / A
B₁ = Φ₁ / A = 0.1882 / 0.01 = 18.82 [T]
B₂ = Φ₂ / (2A) = 0.3764 / 0.02 = 18.82 [T]

קיבלנו שהשדה המגנטי B זהה בכל נקודה (זאת בזכות הסימטריה ובזכות העובדה שהצלע האמצעית כפולה בשטח החתך שלה).

עוצמת השדה המגנטי בכל נקודה היא,

H = B / μ = 18.82 / 0.25128 = ~74.9 [AT/m]

מתוך ההבנה שהשדה המגנטי B ועוצמת השדה המגנטי H שווים בכל נקודה יכולנו להגיע לאותה תוצאה מספרית גם בדרך הבאה,

M = Σ H_i L_i
M = H₁ L₁ + H₂ L₂
M = 0.5H₁ + 3∙0.5H₂
H = H₁ = H₂ = M/2 = 150/2 = 75 [AT/m]

הערה: שימו לב שלא להתבלבל בין סימוני היחידות T (טסלה), A (אמפר) ו- AT (אמפר∙כריכות).

[לפרק הקודם | לפרק הבא]

[ עמוד ראשי - מגנטיות | חשמל ומגנטיות - המעגל המגנטי : חלחלות מגנטית | המעגל המגנטי | עוצמת השדה המגנטי | עקומת המגנוט ולולאת המגנוט | חוקי קירכהוף במעגל המגנטי | זרמי מערבולת | סיכום ]