מעגל תהודה וגלים אלקטרומגנטיים

תנודות חשמליות

בעזרת הכלים שצברנו עד עתה נוכל לנתח את המתרחש במעגל חשמלי הכולל קבל ומשרן (מעגל LC).

נניח שברגע אפס הקבל כבר טעון חשמלית עד לערכו המרבי וברגע זה משנים את המתג כך שבמקום מקור המתח יחובר למעגל המשרן.

מייד לאחר העברת המתג למצבו החדש יתחיל תהליך פריקה של הקבל. נזכיר שבתהליך פריקה של קבל זרם הפריקה מתחיל מערכו המרבי ויורד בהדרגה לאפס. כאן, משום שהפריקה של אנרגיית הקבל מתבצעת אל תוך המשרן שצריך לקבל אנרגיה זו יתקבל אופיין שונה לזרם הפריקה של הקבל.

כדי לנתח את אופיין ההתנהגות של הזרם החשמלי במעגל נבחין בין ארבעה שלבים שונים בתוך מחזור פעולה אחד.

שלב I – פריקת הקבל (הזרם במעגל עם כיוון השעון)

זרם הפריקה של הקבל שואף להגיע תוך פרק זמן אפסי לערך המרבי שלו, ולולא היה משרן במעגל הוא היה מצליח בכך בן-רגע. אך המשרן מתנגד לשינוי הקיצוני הזה ברמת הזרם החשמלי. שדה מגנטי מתחיל להיבנות במשרן בקוטביות שיוצרת זרם מושרה במעגל בכיוון הפוך לזרם הפריקה שהקבל מזרים.

למרות הזרם המושרה, הזרם הכללי במעגל עולה מאפס בחדות מעלה ואחר ממשיך לעלות, אך בקצב מתון יותר ויותר. בסופו של תהליך, כל המטען החשמלי העודף שהיה בלוחות הקבל נפרק כשהזרם במעגל מגיע לערך מרבי של Imax. ברגע זה מסתיים גם תהליך הבנייה של השדה המגנטי במשרן והוא הגיע לשיאו גם כן.

שלב II – טעינת הקבל (הזרם במעגל עם כיוון השעון)

שלב זה מתחיל כשהזרם הגיע לערכו המרבי Imax, אבל כבר אזל כל המטען החשמלי שהיה בלוחות הקבל. לכן, ברגע זה אמור הזרם החשמלי במעגל לצנוח בחדות לאפס. אבל המשרן מתנגד לשינוי קיצוני זה בזרם וממתן את ירידת הזרם על-ידי התחלת פירוק השדה המגנטי שנבנה עד עכשיו והשראת זרם מושרה במקומו. כעת הזרם המושרה יזרום בכיוון הפוך מאשר היה בשלב הקודם, בשלב בניית השדה המגנטי.

הזרם שזורם בשלב זה במעגל גורם לטעינת הקבל במטען חשמלי בקוטביות הפוכה מזו שהייתה לו קודם.

שלב זה מסתיים כאשר השדה המגנטי כולו מתמוטט ומתבטל והזרם החשמלי במעגל יורד לאפס.

שלב III – פריקת הקבל (הזרם במעגל נגד כיוון השעון)

שלב זה מתחיל כשהקבל טעון במטען חשמלי השווה לזה שהיה לו בשלב I (תחת ההנחה שהמעגל אידיאלי – ללא התנגדות חשמלית, ללא בזבוז אנרגיה בצורת חום), רק בקוטביות הפוכה.

מכאן ששלב זה הוא בדיוק כמו שלב I, רק בכיווני זרמים ובקוטביות שדה מגנטי הפוכים.

שלב IV – פריקת הקבל (הזרם במעגל נגד כיוון השעון)

שלב זה זהה לשלב II, רק עם סימוני הפוכים בקוטביות המטען החשמלי בקבל, בכיוון הזרמים ובכיוון השדה המגנטי.

בסוף שלב זה מגיעים לנקודת ההתחלה של שלב I!

כעת נרצה למצוא את המשוואה המתארת את מחזור הפעולה של המעגל החשמלי.

לפי חוק קירכהוף השני (כלל הלולאה) סכום המתחים בלולאה שווה לאפס בכל רגע נתון. מכאן שסכום המתחים על הקבל ועל המשרן שווה לאפס בכל רגע נתון בתהליך. נקבל,

V_C + V_L = 0
q / C + L dI/dt = 0

נבצע גזירה לפי הזמן של המשוואה כדי להיפטר מהמשתנה q ולקבל במקומו את המשתנה I,

1/C ∙ dq/dt + L d²I/dt² = 0
1/C ∙ I + L d²I/dt² = 0

נסדר את המשוואה קצת אחרת ונקבל,

d²I/dt² = -1/(LC)∙I

זוהי משוואה דיפרנציאלית שפתרונה x הוא מהצורה,

x = A∙sin(ω₀t)

כאשר A הוא המשרעת המרבית (הערך המרבי אליו מגיע הזרם במעגל) והתדירות ω₀ שווה ל-

ω₀ = √(1/(LC))

זוהי תדירות התנודה החשמלית של המעגל החשמלי שלעיל.

נקבל שמשוואת הזרם במעגל היא,

I = I_max ∙ sin(ω₀t)

מכאן שהזרם I הזורם במעגל החשמלי הוא אות סינוסואידלי.

הערה: משוואה דיפרנציאלית דומה מתקבלת במכאניקה בתיאור תנועתה המחזורית של מטוטלת.

מתוך המשוואה של הזרם I נוכל למצוא גם את המשוואה המתארת את המטען החשמלי q בקבל לפי הזמן,

I = dq/dt
q = |∫I|
q = q_max ∙ cos(ω₀t)

להלן שני גרפים המתארים את השתנות הזרם החשמלי במעגל והמטען החשמלי האגור בין לוחות הקבל לאורך זמן:

מחזור פעולה של מעגל LC

בניתוח שביצענו הנחנו שהמעגל החשמלי הוא אידיאלי – ללא כל התנגדות חשמלית במשרן ובחוטים. במציאות יש התנגדות חשמלית, גם אם היא זניחה מאוד. לכן, במעגל אמיתי בכל פעם שמתבצעת העברה של האנרגיה מהקבל אל המשרן או מהמשרן אל הקבל יאבד חלק קטן מהאנרגיה החשמלית על ההתנגדות ויתפזר כאנרגיית חום. במקרה זה של איבוד אנרגיה התהליך המחזורי ימשך, אבל בעוצמה (משרעת מרבית של הזרם) ההולכת וקטנה ודועכת ממחזור למחזור עד שייעצר על ערך אפס.

כדי לשמר את התהליך המחזורי נצטרך בסוף כל מחזור לחבר למעגל מקור מתח שיוסיף לו רגעית את כמות האנרגיה שאבדה לו.

לסיכום: למדנו בפרק זה על התנודה החשמלית הנוצרת במעגל LC פשוט.

על השימוש המעשי בתנודה החשמלית הנוצרת נלמד בהמשך בפרק הדן בתהודה חשמלית, אך קודם לכך נרכוש קצת רקע בעולם הגלים האלקטרומגנטיים.

על כך מייד בפרק הבא.

[לפרק הקודם | לפרק הבא]