ווקטור כוח שקול
בפרק זה נלמד כיצד ניתן לשקלל שני ווקטורי כוח (או יותר) לווקטור כוח אחד. ווקטור הכוח המשוקלל מחליף את ווקטורי הכוח ממנו הוא מורכב ומייצג את חיבור מרכיבי הכוחות בכל כיוון.
כוחות הפועלים באותו הכיוון
תיבה המונחת על שולחן מפעילה על השולחן כוח הנובע ממשקלה והמסומן באות f. מהו הכוח המשוקלל שתפעלנה על השולחן שתי תיבות זהות המונחות זו על גבי זו?
הכוח המשוקלל שתפעלנה שתי התיבות יחד הוא חיבור שני הכוחות הנפרדים של כל תיבה. לכן הכוח המשוקלל של שתי התיבות הוא,
זוהי עוצמת הכוח המשוקלל של שתי התיבות הזהות וכיוון פעולת הכוח המשוקלל במקרה זה הוא ככיוון פעולת שני הכוחות המרכיבים אותו.
אם שתי התיבות אינן זהות נקבל שהכוח המשוקלל הפועל על השולחן הוא חיבור עוצמות הכוח השונות,
גם במקרה זה כיוון פעולת הכוח המשוקלל הוא ככיוון פעולת כל אחד מהכוחות המרכיבים אותו.
לשם דוגמה נוספת נבחן את המקרה הבא. אדם הנמצא מאחורי קופסה גדולה דוחף אותה ישר קדימה בכוח שעוצמתו f1 ובו-זמנית אדם נוסף הנמצא מלפני הקופסא מושך אותה אליו בקו ישר בכוח f2. מהו הכוח המשוקלל המופעל על הקופסא?
שני הכוחות מופעלים על הקופסא בקו ישר העובר דרך מרכז הכובד שלה. בנוסף, שני הכוחות פועלים על הקופסא באותו הכיוון. לכן הכוח המשוקלל הפועל על הקופסא הוא כוח שעוצמתו היא חיבור עוצמת שני הכוחות הנפרדים וכיוון פעולתו הוא ככיוון שני הכוחות הנפרדים.
במקרה בו פועלים יותר משני כוחות ניתן להוסיף ולחבר את הכוח השלישי לסכום שני הכוחות הראשונים שחושב, את הכוח הרביעי לסכום שלושת הכוחות הראשונים שחושב וכך הלאה.
כוחות הפועלים בכיוונים מנוגדים
נניח שתיבה התלויה באוויר בעזרת חבל מפעילה כוח f1 על החבל המושך את החבל ומותח אותו מטה. כמה כוח יצטרך להפעיל אדם האוחז בחבל בקצהו החופשי כדי להחזיק את הקופסא במקומה?
קופסה התלויה באוויר בעזרת איזון שני כוחות
כדי שהתיבה תישאר עומדת באוויר בנקודה קבועה יצטרך האדם להפעיל כוח שעוצמתו זהה לכוח f1 שמפעילה התיבה, אך בכיוון מנוגד לה. כך יבטל האדם את הכוח שמפעילה התיבה על החבל והחבל (והתיבה עמו) יישארו במקומם.
כוחות הפועלים בכיוונים מנוגדים יש לחסר את עוצמתם אחד מהשני כדי לקבל את העוצמה המשוקללת של שניהם. אם תוצאת השקלול שונה מאפס, אז כיוון הכוח המשוקלל הוא ככיוון הכוח בעל העוצמה הגדולה יותר מבין שני הכוחות.
לשם דוגמה נוספת נבחן את המקרה הבא. אדם הנמצא מאחורי קופסה גדולה דוחף אותה ישר קדימה בכוח שעוצמתו f1 ובו-זמנית אדם אחר הנמצא מלפני הקופסא דוחף אותה בכיוון הנגדי בכוח f2. מהו הכוח המשוקלל המופעל על הקופסא?
שני הכוחות מופעלים על הקופסא בקו ישר העובר דרך מרכז הכובד שלה. בנוסף, שני הכוחות פועלים על הקופסא בשני כיוונים מנוגדים. לכן הכוח המשוקלל הפועל על הקופסא הוא כוח שעוצמתו היא חיסור עוצמת שני הכוחות הנפרדים וכיוון פעולתו הוא ככיוון הכוח שעוצמתו גדולה יותר.
אם f1 > f2 אזי כיוון הכוח המשוקלל F הוא ככיוון הכוח f1.
אם f1 < f2 אזי כיוון הכוח המשוקלל F הוא ככיוון הכוח f2.
אם f1 = f2 אזי שני הכוחות מבטלים אחד את השני ולכן אין משמעות לכיוון.
במקרה בו פועלים יותר משני כוחות ניתן להוסיף ולחבר את הכוח השלישי לסכום שני הכוחות הראשונים שחושב, את הכוח הרביעי לסכום שלושת הכוחות הראשונים שחושב וכך הלאה. בכל פעם יש להתחשב בעוצמות הכוח החדש הנוסף אל מול עוצמת הכוח המשוקלל שחושב על הכוחות הקודמים בקביעת כיוון הכוח המשוקלל החדש.
כוחות הפועלים בכיוונים שונים
עד עתה למדנו כיצד ניתן לחבר שני ווקטורי כוחות הפועלים על קו פעולה ישר משותף, בין אם בכיוונים זהים על קו הפעולה ובין אם בכיוונים מנוגדים על קו הפעולה.
אך במקרים רבים ניתקל דווקא בשני כוחות שאינם פועלים בקו ישר אחד, אלא שיש זווית בין קו הפעולה של כל אחד מהם. כיצד ניתן במקרים אלו למצוא את ווקטור הכוח המשוקלל של שני הכוחות?
ישנן שתי דרכים למציאת הכוח המשוקלל של שני כוחות הפועלים על מרכז הכובד של גוף בכיוונים שונים.
דרך אחת היא שיטת המקבילית. בשיטה זו נבנה מקבילית משני הווקטורים כשהם מהווים שתי צלעות סמוכות בה.
שני ווקטורים | השלמת מקבילית | ציור אלכסון
חיבור שני ווקטורים בשיטת המקבילית
ווקטור הכוח המשוקלל הוא פשוט האלכסון במקבילית היוצא מהקודקוד שבין שני הווקטורים.
דרך אחרת היא שיטת המצולע. בשיטה זו נעתיק את אחד הווקטורים (לא משנה איזה נבחר מבין השניים) על קצהו החופשי (שאינו נמצא על מרכז הכובד של הגוף) של הווקטור האחר.
שלושה ווקטורים | בניית ווקטור 2 | בניית ווקטור 3 | הווקטור המשוקלל
חיבור שני ווקטורים בשיטת המצולע
ווקטור הכוח המשוקלל הוא פשוט הווקטור המחבר את מרכז הכובד של הגוף עם קצהו החופשי של הווקטור השני. בשיטה זו ניתן לחבר גם יותר משני ווקטורים יחד לווקטור משוקלל אחד. בכל פעם נעתיק ווקטור נוסף על קצהו החופשי של הווקטור שלפניו. שוב, הווקטור המשוקלל יהיה הווקטור המתחיל בנקודת מרכז הכובד ומסתיים בקצהו החופשי של הווקטור האחרון שהועתק. שרטוט הווקטור המשוקלל יוצר מצולע. אם חיברנו שני ווקטורים המצולע שיתקבל הוא משולש, אם חיברנו שלושה ווקטורים המצולע שיתקבל הוא מרובע וכך הלאה.
אם ווקטורי הכוח מוצגים בצורה מתמטית כשכל אחד מהם מפורק למרכיביו בצורה קרטזית, אזי ניתן לקבל את הווקטור המשוקלל על-ידי חיבור נפרד של כל מרכיבי הווקטור באותו ציר. למשל, הנה תיאור הנוסחה לחישוב ווקטור הכוח המשוקלל של n ווקטורי כוח נפרדים במערכת צירים דו-מימדית,
כוחות מקבילים
אל קורת ברזל כבדה מחוברים שני חבלים. חבל אחד בכל קצה של הקורה. שני פועלים נבחרו להזיז את הקורה. כל פועל אוחז בקצה חבל אחד ומושך אותו בקו ישר בכוח f. מהו ווקטור הכוח המשוקלל בו נגררת הקורה?
שני כוחות מקבילים
שני כוחות הם כוחות מקבילים אם הם פועלים על הגוף בקווי-פעולה שונים ומקבילים. נשים לב שלשני כוחות מקבילים אין נקודת אחיזה משותפת.
מניסיון חיבור של שני כוחות הפועלים באותו הכיוון נוכל להגיד שעוצמת הכוח השקול של שני כוחות מקבילים הוא סכום עוצמותיהם. כיוון הפעולה של הכוח המשוקלל הוא ככיוון הפעולה של שני הכוחות. הרי שני הכוחות פועלים על הגוף באותו הכיוון. מה שאינו ידוע לנו לעת עתה הוא כיצד למצוא את נקודת האחיזה של הכוח השקול. כיצד נוכל למצוא את נקודת האחיזה של הכוח השקול?
כדי לענות על שאלה זו עלינו להבין קודם כיצד יש לחבר כוחות מקבילים. כדי להבין את השפעת הכוחות המקבילים על הגוף נעזר בכלי מיוחד הנקרא סרגל המומנטים.
סרגל המומנטים
סרגל המומנטים הנו סרגל התלוי במרכזו על דינמומטר. במקומות בהן נמצאות שנתות הסרגל קיימים במרחקים שווים חורים או ווי תלייה כך שניתן לתלות על הסרגל משקולות.
סרגל המומנטים
כעת נתלה על סרגל המומנטים שתי משקולות זהות בשני קצוות הסרגל. קפיץ הדינמומטר נמתח בגלל המשקל שנוסף אחרי חיבור המשקולות. קריאת הדינמומטר מראה את עוצמת הכוח השקול. נשים לב שסרגל הדינמומטר נשמר מאוזן בציר האופקי. כעת נרצה להחליף את שתי המשקולות המייצגות שני ווקטורי כוח נפרדים ומקבילים במשקולת אחד המייצגת את הכוח המשוקלל.
נגלה שאם נסיר את שתי המשקולות ובמקומן נעמיס על מרכז סרגל המומנטים משקולת אחת הזהה במשקלה (במסתה) לסכום שתי המשקולות נקבל את אותה קריאה בדינמומטר וסרגל המומנטים יישאר מאוזן.
משמעות הדבר היא שהמשקולת האחת שתלינו אל מרכז הסרגל מפעילה על סרגל המומנטים כוח השקול לשני הכוחות המפעילים על סרגל המומנטים זוג המשקולות הקטנות יותר.
נערוך ניסוי נוסף. נתלה על סרגל המומנטים משקולת שמשקלה 100 ג"כ במרחק של 2 חורים מצד ימין למרכזו. משקולת זהה נוספת נתלה במרחק של 2 חורים מצד שמאל למרכז הסרגל. מקרה זה הוא מקרה פשוט, סרגל המומנטים הינה ישר בציר האופקי. לכן, נקודת האחיזה של הכוח השקול הוא במרכז. נבדוק שזו אכן התוצאה על-ידי החלפת שני המשקולות במשקולת אחת שמשקלה 200 ג"כ והתלויה במרכז סרגל המומנטים.
כעת נחזיר את שתי המשקולות הקטנות, אך נרחיק את המשקולת שבצד ימין עוד שני חורים ימינה. סרגל המומנטים יהיה עתה נטוי ימינה. ברור, שנקודת האחיזה של המשקולת, שמשקלה 200 ג"כ, המייצגת את שקלול הכוחות אינו במרכז הסרגל. נקודת האחיזה של המשקולת בת 200 ג"כ חייב להיות בצד ימין של הסרגל, על-מנת שתתקבל אותה הטיה של הסרגל. אך באיזה מרחק בצד ימין?
נתלה את המשקולת של 200 ג"כ כל פעם בחור אחר בצד ימין. הניסוי הזה יגלה שאם נתלה את המשקולת בחור אחד מימין למרכז הסרגל אזי הסרגל יהיה נטוי באותה מידת הטיה.
נחזור על הניסוי רק שהפעם נתלה את המשקולת הימנית במרחק של 6 חורים בצד ימין. כעת נצטרך לתלות את המשקולת שמשקלה 200 ג"כ בחור השני מצד ימין.
אם נמשיך עוד בניסוי המסקנה שתתקבל היא שעבור שני כוחות הזהים בעוצמתם נקודת האחיזה של הכוח המשוקלל היא באמצע המרחק שבין שני הכוחות.
אך היכן נמצאת נקודת האחיזה של שני כוחות מקבילים שאינם זהים בעוצמתם?
כדי לענות על שאלה זו נחזור לסרגל המומנטים. הפעם נתלה משקולת של 100 ג"כ שישה חורים מצד ימין ומשקולת של 300 ג"כ שישה חורים מצד שמאל. נשים לב שכבר במצב ההתחלתי סרגל המומנטים נוטה שמאלה. הכוח המשוקלל ייוצג הפעם על-ידי משקולת של 400 ג"כ. בעזרת ניסוי נגלה שאם נתלה את המשקולת של 400 ג"כ בחור השלישי מצד שמאל, אזי סרגל המומנטים ישמור על מידת הטייתו. כלומר, נקודת האחיזה של הכוח המשוקלל נמצאת בחור השלישי בצד שמאל.
כעת נחליף את המשקולת של 300 ג"כ במשקולת של 500 ג"כ. הפעם נגלה שאת הכוח המשוקלל המיוצג על-ידי משקולת של 800 ג"כ יש לתלות בחור הרביעי מצד שמאל.
נשים לב שנקודת האחיזה של הכוח המשוקלל קרובה יותר לכוח בעל העוצמה הגדולה יותר מבין השניים. בנוסף, עם הגדלת עוצמת הכוח משתנה נקודת האחיזה של הכוח המשוקלל והיא מתקרבת לעברו של הכוח שגדל.
נקודת האחיזה של הכוח המשוקלל תמיד תימצא בין שני הכוחות המקבילים. מיקומה של נקודת האחיזה מגדירה שני גדלי מרחק ממנה אל כל אחד מהכוחות המקבילים. נסמן שני גדלי מרחק אלו כ- L1 ו- L2.
אם נערוך ניסויים רבים נוספים נגלה שהמרחק של נקודת האחיזה מכל אחד משני הכוחות המקבילים נמצאת ביחס הפוך לעוצמת הכוח. ננסח כלל זה בעזרת הנוסחה הבאה,
לסיכום, בחיבור שני כוחות מקבילים עוצמת הכוח השקול הוא סכום עוצמתם, כיוונו ככיוונם ונקודת אחיזתו מחלקת את המרחק ביניהם לפי יחס הפוך של עוצמותיהם.
מומנט הכוח
בחיבור שני כוחות מקבילים לכוח שקול למדנו על סרגל המומנטים. לסרגל המומנטים ציר סיבוב המאפשר לכוח הפועל עליו לסובב אותו. בעזרת סרגל המומנטים גילינו כי לכוח הפועל על גוף הנע על גבי ציר השפעה שונה בהתאם לנקודת האחיזה של הכוח בגוף. למשל, כוח שנקודת אחיזתו היא במרכז סרגל המומנטים אינו מסובב את סרגל המומנטים. ככל שנרחיק את נקודת האחיזה של הכוח מנקודת המרכז אל עבר אחד הקצוות כך תגדל מידת ההטיה של סרגל המומנטים מטה באותו צד.
שינוי נקודת אחיזה של כוח בגוף הנע סביב ציר
תלות הכוח במידת ריחוקו מציר הסיבוב מגדירה מושג פיזיקאלי חדש הנקרא מומנט כוח או מומנט הסיבוב (ובקיצור מומנט). את מומנט הכוח נהוג לסמן בעזרת האות היוונית τ (טאו). מומנט הכוח נמצא ביחס ישר לכוח הפועל וגם ביחס ישר למרחק הכוח הפועל מציר הסיבוב. ניתן לנסח את ערכו הווקטורי של מומנט הכוח בעזרת הנוסחה הבאה,
F – ווקטור הכוח הפועל
x – מרחק נקודת האחיזה של הכוח הפועל מציר הסיבוב
אם הכוח פועל על נקודת ציר הסיבוב של הגוף, אזי ערכו של מומנט הכוח (הוא מומנט הסיבוב) הנו אפס והגוף לא יסתובב סביב צירו. ככל שהכוח יפעל על הגוף בנקודה רחוקה יותר מציר הסיבוב שלו, כך יגדל מומנט הכוח (מומנט הסיבוב) והגוף יקבל הטיית סיבוב גדולה יותר.
הערה: סרגל המומנטים שתואר קודם קיבל את שמו ממומנט הכוח.
[ עמוד ראשי - מכניקה | מכניקה - סטטיקה : מבוא לסטטיקה | עוצמת הכוח | מסה ומשקל | כיוון הכוח | מרכז הכובד | פירוק ווקטור הכוח למרכיביו | מישור משופע | ווקטור כוח שקול | תנאים לשיווי משקל ]