המודל הגלי של האור

סריג של m סדקים

בפרק זה ננתח באופן מתמטי את תמונת ההתאבכות המתקבלת מסריג בעל m סדקים שהמרחק ביניהם הוא d. קודם ננתח את המקרים הפרטיים של שני סדקים, שלושה סדקים וארבעה סדקים לאחר-מכן את המקרה הכללי של m סדקים.

שני סדקים

את תמונת ההתאבכות במקרה זה כבר ניתחנו מבחינה מתמטית בחלק הקודם. כאן נחזור רק על החישוב שנעשה למציאת מיקומן של נקודות המקסימום ושל נקודות הצומת המתקבלות על המסך.

חישוב מתמטי עבור התאבכות משני סדקים

בהנחה שהמרחק d שבין שני הסדקים הוא קטן מאוד ביחס למרחק L של הסדקים מהמסך נוכל להניח ש- r₁ מקביל ל- r₂. מכאן שהפרש הדרכים שעושות הקרניים משני החריצים הוא,

δ = r₂ – r₁

מגיאומטריה נקבל שהפרש הדרכים שווה גם ל-

δ = d sin θ

כדי לקבל התאבכות בונה בנקודה P על המסך, שתוצאתה פס אור בהיר, נדרש שהפרש הדרכים בין שני קרני האור יהיה כפולה שלמה n של אורך הגל λ. מכאן שנקבל את המשוואה הבאה,

d sin θ = n λ

כדי לקבל התאבכות הורסת בנקודה P על המסך, שתוצאתה פס חושך, נדרש שהפרש הדרכים בין שני קרני האור יהיה כפולה שלמה n וחצי של אורך הגל λ. מכאן שנקבל את המשוואה הבאה,

d sin θ = (n + ½) λ

בשני המקרים נוכל לחשב את מיקום הנקודה P על המסך בעזרת המשוואה הבאה. בהנחה שהמרחק d בין שני החריצים הוא גדול מאורך הגל λ, נקבל שהזווית θ מאוד קטנה. לכן מתקיים,

tan θ ≈ sin θ

הגובה y של הנקודה P על המסך יהיה, אפוא שווה ל-

y = L tan θ ≈ L sin θ

במקרה של פס אור נקבל שמיקומו לאורך ציר y הוא,

y ≈ L n λ / d

במקרה של פס חושך נקבל שמיקומו לאורך ציר y הוא,

y ≈ L (n + ½) λ / d

שלושה סדקים

עבור המקרה של שלושה סדקים נבנה את השרטוט הבא,

התאבכות משלושה סדקים

התנאי לכך שבנקודה P שעל המסך תהיה התאבכות בונה הוא שהפרש הדרכים בין כל שני קרניים סמוכות יהיה שווה לכפולה שלמה n של אורך הגל λ. כאן יש שני זוגות של קרניים סמוכות, אך שני הזוגות נותנות את אותה משוואה אחת שקיבלנו כבר עבור המקרה של שני סדקים,

d sin θ = n λ

הערה: בשרטוט שלעיל הקרניים מצוירות כנעות במקביל אחת לשנייה ולכן לא נראות שנפגשות בנקודה אחת P. אולם, במציאות הן לא ינועו במקביל (זוהי רק הנחת קירוב שנלקחה לצורך החישוב בהסתמך על העובדה שהמרחק L גדול מאוד ביחס למרחק d) וכן תיפגשנה על המסך בנקודה אחת.

נקודות אלו נקראות נקודות מכסימה ראשיות. בנוסף עליהן קיימות נקודות מקסימה משניות שבהן נוצרת התאבכות הורסת בין שתי קרניים בלבד ואילו השלישית מועברת כמו שהיא. מכיוון ששני קרניים עוברות התאבכות הורסת נקבל שמיקומן של נקודות אלו הוא באותם מיקומים בהם הופיעו נקודות הצומת עבור התאבכות של שני סדקים. כלומר, התנאי להופעת נקודות המכסימה המשניות הוא,

d sin θ = (n + ½) λ

נקודות המכסימה המשניות הן בעלות עוצמת אור פחותה משמעותית מזו של נקודות המכסימה הראשיות. עוצמת האור מחושבת לפי המשרעת בריבוע. בנקודות המכסימה המשניות המשרעת שווה למשרעת של קרן אחת בעוד שבנקודות המכסימה הראשיות המשרעת שווה לסכום המשרעות של שלושת הקרניים. לכן בנקודות המכסימה הראשיות עוצמת האור המתקבלת על המסך תהיה גדולה פי תשע מזו שבנקודות המכסימה המשניות.

נקודות צומת תתקבלנה בין כל שני נקודות מכסימה (ראשיות או משניות) הסמוכות זו לזו. במקרה של שני סדקים התנאי לקבלת נקודת צומת היה שהפרש הדרכים שהקרניים היוצאות מהסדקים עוברות עד לנקודה P שעל המסך יהיה שווה למספר שלם של אורך גל ועוד חצי. כך הובטח שתמיד התרומה של קרן אחת תהיה הופכית לתרומה של הקרן השנייה והסכום של שניהם יחד נותן אפס.

במקרה של שלושה סדקים נדרש שהסכום של שלושה קרניים ייתן אפס. הסכום של שלושת הקרניים יהיה אפס כאשר הקרן השנייה מוזזת בשליש אורך גל לעומת הקרן הראשונה והקרן השלישית מוזזת בשני-שליש אורך גל לעומת הקרן הראשונה. כלומר, התנאי לקבלת נקודת צומת עבור שלושה סדקים הוא,

d sin θ = (n + 1/3) λ

נשים לב לכלל הסימטריה הבאה עבור התנאי לקבלת נקודת צומת. במקרה של שני סדקים הפרש הדרכים בין כל שני קרניים נדרש להיות כפולה שלמה של אורך גל ועוד חצי אורך גל. במקרה של שלושה סדקים הפרש הדרכים בין כל שני קרניים נדרש להיות כפולה שלמה של אורך גל ועוד שליש אורך גל.

מכאן נוכל להסיק שעבור m סדקים התנאי לקבלת נקודת צומת הוא שהפרש הדרכים בין כל שני סדקים סמוכים יהיה שווה לכפולה שלמה של אורך הגל ועוד 1/m אורך הגל.

ארבעה סדקים

גם כאן התנאי לקבלת נקודות מכסימה ראשיות אינו משתנה.

בין כל שני מכסימות ראשיות תופענה שתי נקודות מכסימה משניות.

נקודות צומת תתקבלנה בין כל שתי נקודות מכסימה (ראשיות או משניות) סמוכות. התנאי לקבלת נקודת צומת הוא שהפרש אורך הגל בין כל שני קרניים סמוכות יהיה שווה לכפולה שלמה של אורך הגל ועוד ¼ אורך הגל.

m סדקים

מהניתוח שביצענו עבור המקרים של שניים, שלושה וארבעה סדקים נוכל להסיק את המסקנות הבאות עבור סריג של m סדקים הנמצאים במרחק d אחד מהשני הוא:

• התנאי לנקודות המכסימה הראשיות אינו משתנה והוא תמיד יהיה

d sin θ = n λ

• בין כל שתי נקודות מכסימה ראשיות תופענה m-2 נקודות של מכסימה משניות שעוצמתן פחותה פי m² לעומת עוצמת האור בנקודות המכסימה הראשיות

• נקודות צומת תופענה בין כל שתי נקודות מכסימה (ראשיות או משניות) סמוכות

[לפרק הקודם | לפרק הבא]