גלים ותכונותיהם

גל מים דו-מימדי - ניתוח מתמטי

משוואות קווי הצומת וקווי הקיצון

מיקומי הנקודות המיוחדות בשריג, הנוצרים מהתאבכות שני המקורות, הם תלויים באורך הגל ובמרחק שבין שני הפתחים.

כדי לקבל משוואות המתארות את הקשרים שבין הגדלים הללו נבצע ניתוח מתמטי של מבנה השריג בנקודות מיוחדות שלו.

השריג הוא סימטרי ביחס לקו האמצע האנכי למרחק שבין שני הפתחים. נספר את קווי הצומת משני צידי ציר הסימטריה של השריג, כך בסדר מספור עולה החל מהמספר n=1. מטעמי סימטריה החישובים המבוצעים בצד אחד זהים לאלו שיש לבצע בצד השני. לכן, נבחר באופן שרירותי לבצע את החישובים בצד הימני ביחס לציר הסימטריה והללו יהיו תקפים גם עבור הצד השמאלי.

מספור קווי הצומת בשריג

נרצה למצוא את הקשר שבין מיקומו של קו הצומת הראשון ובין הגלים המייצרים אותו. כפי שמייד נראה הגלים המייצרים את קו הצומת משפיעים על מיקומו בעזרת אורך הגל שלהם, המסומן על-ידי λ, ובמרחק הקיים ביניהם, אותו נסמן באות d.

נבחר באופן שרירותי נקודה P כלשהי הנמצאת על קו הצומת הראשון וננתח מהו הקשר בינה ובין שני מקורות הגל. כדי שבנקודה P תהיה התאבכות הורסת נדרש שכאשר גל אחד מגיע לנקודה זו בשיאו יגיע הגל השני בשפל. כלומר, נדרש ששני הגלים יגיעו לנקודה P בהפרש של זמן מחצית מחזור. במשך זמן של מחצית מחזור הגל נע מרחק של מחצית אורך גל. לכן ניתן לחילופין לדרוש שהפרש המרחקים שבין שני מקורות הגל לנקודה P יהיה מחצית אורך הגל λ.

הקשר בין נקודה P כלשהי למקורות הגלים

נקבל את המשוואה הבאה,

|PS₁ – PS₂| = λ/2

עבור קו הצומת השני נקבל שהפרש המרחקים בין שני מקורות הגלים הוא אורך גל שלם ועוד חצי אורך גל. עבור קו הצומת השלישי ההפרש הוא שני אורכי גל שלמים ועוד חצי אורך גל. באופן כללי, עבור קו הצומת ה-n-י הפרש המרחקים בין שני מקורות הגלים הוא n-1 אורכי גל שלמים ועוד חצי אורך גל. נקבל את המשוואה הכללית הבא עבור קווי הצומת,

|PS₁ – PS₂| = (n-1)λ + λ/2

|PS₁ – PS₂| = (n – ½)λ         (n= 1, 2, 3, …)

עבור קו הקיצון המונח על ציר הסימטריה (נסמן אותו על-ידי בחירת n=0) נדרש ששני הגלים יגיעו בו-זמנית. כלומר נדרש שהפרש המרחקים בין שני מקורות הגל ובין כל נקודה P כלשהי על קו זה יהיה אפס. נקבל במקרה זה את המשוואה,

|PS₁ – PS₂| = λ/2

עבור קו קיצון ראשון בחצי הימני של השריג (n=1) המונח באמצע המרחק שבין שני קווי הצומת הראשונים נדרש ששני הגלים יגיעו בהפרש של אורך גל שלם. עבור קו קיצון השלישי נדרש שהפרש המרחקים יהיה שני אורכי גל שלמים. באופן כללי, עבור קו הקיצון ה-n-י הפרש המרחקים בין שני מקורות הגלים הוא n אורכי גל שלמים. נקבל את המשוואה,

|PS₁ – PS₂| = nλ         (n= 0, 1, 2, …)

נציין שמשוואות אלו מתארות קווי היפרבולה שנקודות המוקד שלה מונחות בנקודות מקורות הגל.

מספר קווי הצומת n שבין שני מקורות הגל

מבחינה אינטואיטיבית נוכל לנחש כבר מראש שמספר קווי הצומת n המונחים בין שני מקורות הגל יהיה תלוי כמובן במרחק שביניהם, אותו נסמן באות d, ובאורך הגל λ.

נבחר נקודה כלשהי P על קו צומת n כלשהו הקיים בין שתי הנקודות. כפי שכבר ידוע לנו נקודה זו מקיימת את המשוואה,

|PS₁ – PS₂| = (n – ½)λ
כעת נרצה לבטא את הפרש המרחקים שבמשוואה, |PS₁ – PS₂|, באמצעות המרחק d שבין שני מקורות הגל. לשם כך נעתיק את המרחק הקצר יותר PS₁ על המרחק הארוך יותר PS₂ ונקבל את המשולש S₁S₂Q.

המרת הפרש המרחקים לרוחק d

כלומר,

|QS₁ – QS₂| = QS₂ = (n – ½)λ

כעת, נבצע הנחה שהנקודה P היא רחוקה מאוד ממקורות הגל ככל הניתן. במקרה זה נקבל שהמשולש S₁S₂Q הוא משולש ישר זווית.

לקיחת הנחה שהנקודה P רחוקה מהמקורות

משימוש בפונקצית הסינוס נקבל את המשוואה הבאה,

sinθ_n = QS₂ / d

נציב את המשוואה הקודמת ונקבל את הקשר,

sinθ_n = (n – ½) λ/d

מכיוון שערך מרבי של הסינוס מוגבל לערך 1 נקבל שהמספר המרבי שניתן להציב עבור n מוגבל לפי הקשר,

(n – ½) λ/d ≤ 1

נוכל לחלץ את n ולקבל את הקשר,

n ≤ d/λ + ½

כפי שצפינו זאת מראש, מספר קווי הצומת הקיימים בין שני מקורות הגל תלוי במרחק ביניהם ובאורך הגל עצמו. נשים לב, שככל שנגדיל את המרחק d יוכלו להתקיים במרחק זה יותר קווי צומת. דרך נוספת להגדלת מספר קווי הצומת הקיימים היא על-ידי הקטנת אורך הגל (כלומר, הגדלת התדר).

הקשר שבין אורך הגל למיקום נקודת צומת

שוב נשתמש בהנחה שהנקודה P המונחת על קו צומת n כלשהו היא רחוקה מאוד ממקורות הגלים. נעביר קו המחבר את נקודה P עם נקודה באמצע המרחק d. בנקודת אמצע זו נעביר גם אנך (המתלכד עם ציר הסימטריה).

בנייה גיאומטרית בהנחה שנקודה P רחוקה

נוריד אנך מנקודה P אל ציר הסימטריה, שיחתוך אותו בנקודה M.
זווית QS₂S₁ שווה לזווית POS₁ (זווית מתחלפות במקבילים).
זווית MOS₁ היא זווית ישרה.
מכאן שזווית MOP שווה לזווית ישרה פחות זווית POS₁.
אבל זווית ישרה פחות זווית QS₂S₁ שווה ל- θ.
כלומר זווית MOP שווה גם היא ל- θ.

נקבל ממשולש MOP את משוואת הסינוס,

sinθ = X_n / Ln

נציב במקום הסינוס את המשוואה שמצאנו לו קודם ונקבל,

sinθ = X_n / L_n = (n – ½) λ/d

λ = d X_n / [(n – ½) L_n]

קבלנו משוואה המקשרת בין מיקומה של נקודת צומת P לאורך הגל. כדי למצוא את אורך הגל יש למצוא נקודת צומת P רחוקה ככל הניתן משני מקורות הגלים ואשר מרחקה מאמצע המרחק מהם ידוע כמו גם מרחקה מציר הסימטריה.

[לפרק הקודם | לפרק הבא]

[ עמוד ראשי - קרינה וחומר | קרינה וחומר - גלים ותכנותיהם : מהו גל | גל רוחב וגל אורך | גל חד-מימדי | גל מחזורי הרמוני | גל מים דו-מימדי - החזרה ושבירה | גל מים דו-מימדי - עקיפה ועקרון הויגנס | גל מים דו-מימדי - התאבכות | גל מים דו-מימדי - ניתוח מתמטי | סיכום ]