עקרון הציפה

בורג ארכימדס

אָרְכִימֶדֵס מְסִירְקוּז ((Archimedes of Syracuse

נולד בשנת 287 לפנה"ס, בסירקוז שבאי סיציליה (אז חלק מיוון, היום איטליה). אביו,

פִידִיאַס (Phidias)

היה אסטרונום, ומלבד עובדה זו לא ידוע לנו עוד עליו. הרבה גם לא ידוע על ארכימדס עצמו. למשל, לא ידוע אם ארכימדס התחתן ואם הקים משפחה. ארכימדס רכש את השכלתו באלכסנדריה שבמצרים. בתקופה ההליניסטית שימשה אלכסנדריה כמרכז תרבותי. ספרייתה המפורסמת שימשה כמרכז ההשכלה של העולם הידוע, הן באיסוף הידע שנצבר עד כה והן במחקר חדש.

באלכסנדריה למד ארכימדס גם גיאומטריה מתלמידיו של

אוֹקְלִידֶס (Euclid)

. מאוחר יותר הוא יציג קירוב לערכו של π על-ידי חישוב ערכי מינימום ומקסימום לערכו של היקף המעגל. חישוב שני ערכים אלו הושג בעזרת חישוב היקפו של מצולע אחד הכלוא במעגל ושל מצולע שני הכולא את המעגל בהתאמה. ארכימדס חישב את שני הערכים התוחמים את ערכו של π בעזרת שני מצולעים בני 96 צלעות והגיע לקירוב הבא:


בהמשך חייו יחקור ארכימדס צורות גיאומטריות שונות של חרוטים וגלילים ויעסוק בבעיות בגיאומטריה עד יומו האחרון, כפי שנראה בהמשך.

ככל הנראה את המכונה הנקראת "בורג ארכימדס" המציא ארכימדס בתקופת שהייתו באלכסנדריה. "בורג ארכימדס" הוא אמצעי מכאני להעלאת מים לצרכי השקיה. מתקן זה כשמו כן הוא, בורג גדול אשר הדפנה שלו מעוקלת מעלה כדי שיוכל להחזיק מים בתוך מסילתו. פתח המסילה התחתון של הבורג הונח בתוך מקור מים. פתחו העליון של הבורג הונח מעל לתעלות מים שנועדו להעביר את המים למרחקים ארוכים. הבורג עצמו הונח באלכסון בזווית הטיה. בזכות הטיה זו נכלאה בכל פעם עם סיבוב אחד של הבורג כמות מים קטנה בתוך התבריג. סיבוב שלם נוסף של הבורג גרם להעלאת כמות המים שנכלאה מעלה למקום גבוה יותר בתוך התבריג הלולייני, ובמקביל כמות מים קטנה נוספת נכלאה בתחתיתו. כמויות המים שנכלאו במקטעי התבריג הלולייני היו קטנות, כך שיעילות המתקן כולו הייתה קטנה. את הבורג הלולייני ניתן היה להפעיל בכוח אדם, על-ידי בהמות או בעזרת רוח.

בורג ארכימדס

גם כיום ניתן לראות את עיקרון בורג ארכימדס פועל במכונות שונות, למשל, במערבל בטון, במטחנת בשר ועוד.

לאחר שסיים את לימודיו באלכסנדריה חזר ארכימדס לעיירת הולדתו שביוון, שם התגורר עד יום מותו. לא באופן וודאי ניתן להגיד כי ארכימדס היה מיודד עם המלך

הִירוֹן (Hieron)

ועם בנו

גֵלוֹן (Gelon)

. ישנה הקדשה באחד מחיבוריו של ארכימדס לגלון. כמו כן, קיים גם הסיפור המפורסם על בעיית כתר הזהב של המלך הירון.

אאוריקה

המלך הירון שם לב כי הצורף המלכותי שלו חי חיי מותרות מעבר למצופה. המלך חשד כי הצורף גונב ממנו זהב ונותן לו תכשיטי זהב אשר אינם עשויים זהב טהור. כדי לבדוק את חשדו נתן המלך לארכימדס כתר זהב שהצורף המלכותי הכין עבורו ממטיל זהב שנתן לו המלך. המלך לא רצה להתיך את הכתר כדי לגלות אם רומה או לא. את הבעיה כיצד לקבוע אם הכתר כולו עשוי מזהב טהור או לא, מבלי לפגוע בכתר, הציג המלך בפני ארכימדס.
האגדה מספרת שבמהלך רחצה בבית המרחץ העירוני עלה ארכימדס על פתרון הבעיה. ארכימדס שם לב בזמן טבילתו באמבט מים, כיצד גופו כשנכנס לתוך אמבט המים מעלה את מפלס המים בהתאמה. ארכימדס הנרגש רץ החוצה ברחובות העיר עד לביתו כשהוא עירום כביום היוולדו וצועק "אֶאוּרִיקָה!" (גיליתי ביוונית).

מהי אם כן התגלית אותה גילה ארכימדס שעזרה לו לקבוע אם הכתר של המלך הירון עשויה זהב כולה או לא? ארכימדס גילה את עיקרון הציפה שנקרא גם חוק ארכימדס. לכל חומר בטבע יש משקל התלוי בכמות החומר – מספר האטומים, זהו המשקל הסגולי של החומר. למשל, נשווה כמות נייר השוקלת קילוגרם אחד לכמות הברזל הנדרשת כדי להגיע לאותו משקל של קילוגרם אחד. ברור שכמות הנייר הנדרשת כדי להשתוות למשקל הברזל היא גדולה מאוד. ערימת הנייר תהיה אם כן בעלת נפח גדול פי כמה מזה של, למשל, כדור ברזל בעל אותו משקל. על כל מה שארכימדס לעשות הוא למדוד מהו הנפח של כמות הזהב שנתן המלך לצורף. את הנפח של כמות הזהב הטהור עליו להשוות מול הנפח של הכתר שנתן הצורף למלך. אם נפחו של הכתר שווה לנפח כמות הזהב הטהור שניתן לו, הרי שהכתר עשוי זהב טהור כולו. אך אם הנפחים שונים סימן שהכתר מורכב גם מחומרים שונים מזהב, כמו למשל כסף שהוא זול יותר.
את נפחו של מטיל הזהב שנתן המלך לצורף ככל הנראה היה קל למדוד אם צורתו הייתה צורה גיאומטרית פשוטה כמו תיבה מלבנית. אך כיצד ניתן למדוד את נפחה של צורה גיאומטרית לא פשוטה כמו כתר?
כדי למדוד את נפחו של הכתר הגה ארכימדס את הרעיון הגאוני הבא. הוא מילא מיכל במים וסימן את גובה המים במיכל. לאחר מכן הוא טבל את הכתר כולו בתוך מיכל המים ומדד בכמה גדל גובה המים במיכל. כעת נותר רק להכפיל את גודל השינוי במפלס המים שבמיכל בשטח חתך הפנים של המיכל וכל לקבל את נפחו של הכתר.

ארכימדס השווה את נפח הכתר לנפחו של זהב טהור באותו משקל וגילה אי-התאמה. חשדו של המלך, כי הצורף גונב ממנו זהב, התאמת. לא ידוע מה עלה בגורלו של הצורף חסר המזל.

ארכימדס התבסס בחישוב נפחו של הכתר על העובדה שגוף הטבול בנוזל דוחה כמות נוזל הזהה לנפחו של הגוף הטבול. ארכימדס העמיק בנושא וגם מצא כי הגוף הטבול בנוזל מאבד ממשקלו כמשקל כמות הנוזל אותה הוא דוחה. במידה ומשקל הגוף קטן ממשקל כמות הנוזל אותה הוא דוחה הגוף יידחה מעלה ויצוף מעל פני המים. זהו עיקרון הציפה.
על פי עיקרון הציפה, למשל, סלע שוקל פחות כאשר הוא בתוך המים. דוגמא נוספת היא פיסת קלקר השוקלת פחות ממשקל המים השווה לנפחה, ולכן היא צפה על פני המים. על בסיס עיקרון הציפה צפים ושטים כלי-הים השונים. גוף האוניה הטבול במים הוא חלול ברובו, ולכן הוא קל בהרבה ממשקל המים בכמות השווה לנפחו ושאותה הוא דוחה. על גוף האוניה הטבול ניתן להעמיס נוסעים, ציוד, מבנה ומשאות כבדים עד למשקל כולל השווה למשקל המים שהאוניה דוחה, מבלי שהאוניה תטבע.

חומר	משקל סגולי - ρ
מים מתוקים	1.00
מי ים	1.03
קרח	0.92
סוגי קלקר שונים	0.01-0.02
אוויר	0.001
מתכת	7.85
כסף	10.46
זהב טהור	19.29
זכוכית	2.54
סוגי עץ שונים	0.50-0.80

משקל סגולי של חומרים נפוצים

כוח העילוי פועל במנוגד לכיוון כוח המשיכה, כלומר כלפי מעלה. כוח העילוי נמצא לא רק בנוזלים אלא גם בגזים. זהו אותו כוח הגורם לכדורים פורחים לעלות באוויר. הכדור הפורח עולה מעלה בזכות אוויר חם הממלא את הבלון. אוויר חם הוא צפוף פחות מאוויר קר. כלומר, המולקולות שבו מרווחות יותר אחת מהשנייה. לכן משקלו של אוויר חם (משקל "רגיל" וגם המשקל הסגולי) קטן יותר מזה של אוויר קר והוא נדחק כלפי מעלה.

עיקרון הציפה

ארכימדס היה גם מהנדס מכונות ותכנן את בנייתן של מכונות מלחמה שונות כדי לסייע ליוונים במלחמתם נגד הרומאים. דוגמא למכונת מלחמה אחת היא "זורק האבנים" (Catapults). מכונה זו פועלת על עיקרון המנוף.

על גילוי עיקרון המנוף מסופר לפי האגדה כי ארכימדס אמר:

"תנו לי נקודה לעמוד בה ואזיז את כדור-הארץ"
עוד המצאה המיוחסת לארכימדס, וככל הנראה מדובר באגדה בלבד, היא מערכת של מראות שריכזו את קרני השמש בנקודה אחת ושימשו כדי להעלות באש את ספינות העץ של האויב.

בניית מכונות המלחמה השונות והמשונות לא עזרו בסופו של דבר ליוונים, ובשנת 212 לפנה"ס כבשו הרומאים את סיציליה. אחת האגדות מספרת שארכימדס שהה אותה עת על גבעה המשקיפה על עירו. ארכימדס היה שקוע בצורה גיאומטרית ששרטט בחול. הוא שרטט בעיה כלשהי שניסה לפתור ולא שם לב שהרומאים כבשו את העיר מתחתיו. חייל רומאי הפתיע אותו ודרש שיתלווה אליו. ארכימדס סירב וטען שעליו לפתור קודם את הבעיה ששרטט. הגנרל הרומאי

מַרְקוּס קְלָאודִיוּס (Marcus Claudius)

דרש שארכימדס ייתפס ויובא אליו חי, אך החייל הרומאי לא ידע שהאדם הזקן שעמד לפניו הוא ארכימדס. החייל הרומאי התרגז על סירובו של הזר להתלוות אליו והרג אותו עם חרבו.





[ עמוד ראשי - המצאות | מתמטיקה קדומה | מספרים אי-רציונליים | משפט פיתגורס | גיאומטריה אוקלידית | אלגברה | התפתחות הסְפַרוֹת | משוואות קוביות וקווארדיות | מספרים מורכבים | לוגריתם | חשבון דיפרנציאלי ואינטגראלי | עיקרון הציפה | זכוכית מגדלת | משקפיים | מיקרוסקופ | טלסקופ | חוק סְנֵל | חוק בויל | חוקי התנועה | עיקרון ברנולי | שלושת חוקי התרמודינמיקה | טבלה מחזורית | מדידת מהירות האור | כוח לורנץ | קרינת רנטגן | טרנספורמצית לורנץ | תורת היחסות הפרטית | גילוי האטום | תורת היחסות הכללית | חשמל | חוק קולון | חוק אוהם | חוקי קירכהוף | נורת להט | מנוע קיטור | מנפה כותנה | מצלמה | מקרר | מזגן | מחשב | מכבש דפוס | כתב ברייל | טלגרף | טלפון | רדיו | טלוויזיה | כדור פורח | מצנח | רכבת | אופניים | מכונית | אווירון מדחף | מטוס סילון | אבק שריפה | תותח | רובה מוסקט | מרגמה | אקדח | מוקש | מקלע | רובה-מטען | הוביצר | תת-מקלע | רימון-יד | טנק | רובה-סער | פצצת אטום | תורת האבולוציה | פסטור | תיאוריית התורשה | פניצילין ]