מספרים מורכבים

לפני קריאת פרק זה מומלץ לקרוא את הפרק הדן במשוואות קוביות וקווארדיות.

מבוא

למשוואה ממעלה שלישית ייתכנו עד שלושה פתרונות של מספרים "אמיתיים" או פתרון "אמיתי" אחד ושני פתרונות מדומים סימטריים. לדוגמא, נבחן את הפתרונות האפשריים למשוואה ממעלה שלישית הפשוטה הבאה:


פתרון אחד למשוואה הנ"ל מתקבל משימוש בנוסחת "קרדנו-טרטגליה" והנו x = -3. אם x = -3 הנו שורש (פתרון) אחד של המשוואה אזי ניתן לחלק אותה ב- x+3 ולקבל משוואה מדרגה נמוכה יותר וממנה לחלץ את שני הפתרונות האחרים. לא אסביר כאן איך נעשית החלוקה של פולינום אחד בפולינום אחר, למרות שהתהליך די פשוט. החלוקה של המשוואה הנ"ל ב- x+3 תיתן את המשוואה הבאה:


למשוואה כזו אין פתרון אמיתי. אין מספר אמיתי שתוצאת מכפלתו בעצמו תיתן תוצאה שלילית.
זאת בלי שום קשר למשוואות ממעלה שלישית.

לכן במקרה הנ"ל יכול היה קרדנו פשוט להתעלם מפתרונות אפשריים נוספים למשוואה ולהסתפק בפתרון אמיתי יחיד של x = -3.

באותה תקופה היחס למספרים שליליים היה חשדני מצד המתמטיקאים. מכיוון שבסיס עבודתם המתמטית עדיין נשענה על ענף הגיאומטריה קשה היה מבחינתם לתפוס את משמעותו של גודל פיזי שלילי. השימוש במספרים השליליים היה מוגבל ונועד רק כאמצעי להגיע לתוצאה הסופית של חישוב שצריכה להיות חיובית. אם כזה היה מצבם של המספרים השליליים, נקל לשער מה היחס לשורש ריבועי של מספר שלילי.

מספרים דמיוניים

אבל מה עם המשוואה הבאה:


ננסה למצוא פתרון עבור משוואה זו תוך שימוש בנוסחת "קרדנו-טרטגליה". שים לב שהמשוואה כבר ללא האיבר הריבועי של z, לכן נגדיר m=-15 ו- n=4. נציב ונקבל את התוצאה הבאה:


מכיוון שאיננו יודעים כיצד יש להתנהג עם שורש של מספר שלילי נראה כי אין פתרון הגיוני למשוואה. כאן הגיע המתמטיקאי

רָפַאֵל בּוֹמְבֵּלי (Rafael Bombelli)

לקדמת בימת ההיסטוריה. בומבלי התחיל "לשחק" עם משוואות כמו המשוואות הנ"ל והגיע לגילוי מפתיע. תחילה הניח בומבלי כי ניתן יהיה לאחר חישובים מתמטיים לרשום את כל אחד מהביטויים במשוואה הנ"ל עבור z בצורה הבאה:


מכאן נקבל ש-


כעת העיז בומבלי להשתמש במשוואת הזהות ממעלה שלישית, וקיבל עבור המשוואה הראשונה:


כעת החליט בומבלי להשוות בין החלק המספרי "הרגיל" בנפרד ובין החלק המספרי המוכפל ביצור המוזר (1-)√ בנפרד. הוא קיבל אפוא:


כעת נעזר בומבלי בניחוש אינטיליגנטי ומצא כי s ו- t הפותרים את צמד המשוואות הנ"ל הם:

s = 2
t = 1
ומכאן יוצא אפוא ש-


ולכן כן ניתן להגיע לפתרון עבור המשוואה המקורית תוך שימוש בנוסחת "קרדנו-טרטגליה", והוא:


ואין שום עוררין ש- 4 הוא אכן פתרון אפשרי וחוקי למשוואה המקורית:


בומבלי סלל את הדרך להכרה ולשימוש באותם מספרים שהם תוצאה של הוצאת שורש ריבועי ממספר שלילי אשר מכונים היום בשם מספרים דמיוניים. מספר מורכב c הוא מספר המורכב מחלק ממשי a ומחלק דמיוני b בעל המקדםi (הסימון i נלקח מהאות הראשונה במילה imaginary – דמיוני בלעז):

c = a +ib
ההגדרה הראשית של האיבר המדומה במספר מורכב הוא שהעלתו בריבוע שווה למינוס אחד:


עולם המספרים התרחב מאוד באירופה של המאות ה-15 וה-16. החלה הכרה הדרגתית אם כי חשדנית במספרים השליליים ובאפס כמספרים לכל דבר. גם המספרים האי רציונליים (מספרים שאי אפשר לבטאם כיחס בין שני מספרים שלמים, כמו פאיי) זכו אט אט בהכרה אם כי מאוחרת יותר. וכעת עם גילוי קיומם של המספרים המורכבים החלה להיווצר תמונה אמיתית יותר של עולם המספרים.





[ עמוד ראשי - המצאות | מתמטיקה קדומה | מספרים אי-רציונליים | משפט פיתגורס | גיאומטריה אוקלידית | אלגברה | התפתחות הסְפַרוֹת | משוואות קוביות וקווארדיות | מספרים מורכבים | לוגריתם | חשבון דיפרנציאלי ואינטגראלי | עיקרון הציפה | זכוכית מגדלת | משקפיים | מיקרוסקופ | טלסקופ | חוק סְנֵל | חוק בויל | חוקי התנועה | עיקרון ברנולי | שלושת חוקי התרמודינמיקה | טבלה מחזורית | מדידת מהירות האור | כוח לורנץ | קרינת רנטגן | טרנספורמצית לורנץ | תורת היחסות הפרטית | גילוי האטום | תורת היחסות הכללית | חשמל | חוק קולון | חוק אוהם | חוקי קירכהוף | נורת להט | מנוע קיטור | מנפה כותנה | מצלמה | מקרר | מזגן | מחשב | מכבש דפוס | כתב ברייל | טלגרף | טלפון | רדיו | טלוויזיה | כדור פורח | מצנח | רכבת | אופניים | מכונית | אווירון מדחף | מטוס סילון | אבק שריפה | תותח | רובה מוסקט | מרגמה | אקדח | מוקש | מקלע | רובה-מטען | הוביצר | תת-מקלע | רימון-יד | טנק | רובה-סער | פצצת אטום | תורת האבולוציה | פסטור | תיאוריית התורשה | פניצילין ]