משוואות קוביות וקווארדיות

אירופה של ימי-הביניים

במאה ה-12 תורגם ללטינית ספרו של

מוּחַמֵד אִיבֵּן מוּסָא אַל-חַ'ווַארִיזְמִי (Mohammed Ibn Musa Al-Khwarizmi)

. בתקופת ימי הביניים שבו אנשי אירופה לעסוק באלגברה. המתמטיקאי הראשון שהציג הצלחה מסויימת בניסיונותיו למציאת פיתרון למשוואה ממעלה שלישית היה המתמטיקאי האיטלקי

לֶאוֹנָרְדוֹ פִיבּוֹנַצִ'י (Leonardo Fibonacci)

.

לאונרדו פיבונצ'י נולד בשנת 1175 (לערך) בפיזה שבאיטליה בשם

לאונרדו פִּיזַנוֹ (Leonardo Pizano)

, כלומר לאונרדו מהעיר פיזה. אביו היה נציג מטעם רשת המסחר הימי של איטליה, והיה מוצב בעיר הנמל באג'יה (Bougie דאז Bejaia של היום) באלג'יריה שבצפון אפריקה לחופי הים-התיכון. בשנת 1192 (או מאוחר יותר) הצטרף אליו בנו, פיבונצ'י, ושם רכש הבן הצעיר את השכלתו במתמטיקה. במהלך הצטרפותו למסעות אביו בצפון אפריקה והמזרח-התיכון התוודע פיבונצ'י הצעיר לשיטת המספור והחישוב ההינדו-ערבית שכבר היתה נפוצה באזורים אלו. אין ספק שפיבונצ'י מיד שם לב ליתרון של שיטה זו על-פני שיטת המספור הרומית הפרימיטיבית שהיתה עדיין נהוגה באירופה.
בשנת 1200 לערך שב פיבונצ'י לפיזה, מקום הולדתו, והחל לכתוב מאמרים וספרים בתחום המתמטיקה והמספרים. תחום זה יעסיק את חייו עד מותו. פיבונצ'י הציג וקידם את שיטת המיספור ההינדו-ערבית וסייע להחדירה ולאמצה באירופה. הוא לא היה היחיד אך היה הבולט ביותר בין אלו שהביאו שיטת מיספור זו לאירופה. נציין כי פיבונצ'י עצמו התקשה לקבל את המספר אפס כמספר חוקי וממשי. בעוד 9 הספרות הראשונות התקבלו בעיניו גם כמספרים לכל דבר ועניין, לא היה כך עם הספרה אפס. הספרה אפס התקבלה כסימון בלבד ולא כמספר ממשי.

בנוסף לתרומה חשובה זו זכור פיבונצ'י אולי יותר מכל בזכות סדרת המספרים אותה הגדיר והנקראת על שמו – "סדרת פיבונצ'י".

   "איש אחד מניח זוג ארנבים במקום מוקף חומה מכל הצדדים. כמה ארנבים יהיו מאותו זוג לאחר שנה אם ניתן להניח שכל זוג ארנבים מוליד זוג ארנבים שלאחר חודש הופך בוגר לרבייה?"

התשובה לחידה זו נמצאת בסדרת פיבונצ'י. קיימות סדרות מתמטיקאיות שונות, למשל הסדרה החשבונית בה כל איבר הוא האיבר הקודם ועוד אחד: 1, 2, 3, 4, ... והסדרה הגיאומטרית בה כל איבר הוא מכפלה של האיבר הקודם בשתיים: 1, 2, 4, 8, ... . ניתן לבנות סדרת מספרים לפי כל חוקיות שהיא. פיבונצ'י בנה סדרת מספרים בה 2 האיברים הראשונים הם 0 ו- 1 וכל אחד מהאיברים הבאים בה הוא סכום של שני האיברים שלפניו. 15 הערכים הראשונים של סדרת פיבונצ'י הם אם כן:

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, ...

כפ שנאמר כבר בפתיח עסק פיבונצ'י גם בפתרון משוואות שונות, בינהן גם משוואות ממעלה שלישית. נראה כי רוב דרכי הפיתרון אותן אימץ וסיגל לעצמו מקורן בעבודתו של אל-ח'וואריזמי. פיבונצ'י התעלה והצליח למצוא בדיוק רב (עד תשע ספרות אחרי הנקודה העשרונית) את שורשיה של משוואות פרטיות מהמעלה השלישית. אך לא יכול היה למצוא פתרון כללי למשוואה ממעלה שלישית המבוטא בעזרת מקדמיה.

פיבונצ'י נפטר ככל הנראה בשנת 1240 או מעט אחריה.

אימוץ שיטת המספור ההינדו-ערבית באירופה נערך בעצלתיים. מאז הצגת השיטה על-ידי פיבונצ'י באיטליה בשנת 1200 לערך לא התקדם דבר עד לתקופת הרנסאס. רק במהלך המאה ה-16 התקבל ביבשת אירופה השימוש במספור לפי בסיס עשרוני וסימולן של עשרה ספרות. אז גם החל המספר אפס להתקבל כמספר אמיתי כמו כל שאר המספרים.

פתרון משוואה ממעלה שניה

כפי שציינו ידוע כי בתקופת קדם ידעו מלומדים באגן המזרח התיכון לחשב ולפתור בעיות אלגבראיות שונות. עוד בבבל העתיקה הראו פתרונות, גם אם פרטיים וחסרי שיטתיות ואחידות, למשוואות ממעלה שניה ושלישית. נזכיר כי משוואה ממעלה שניה היא מן הצורה,


כאשר a אינו אפס.

פיתרון כללי למשוואה ממעלה שניה סיפק אל-ח'וואריזמי, לפחות עבור המקרה בו a=1. לא ידוע מי היה האדם הראשון להציג פתרון כללי למשוואה ממעלה שניה בצורת נוסחה אשר אם נציב בה את ערכי המקדמים המופיעים בבעיה נקבל את הנעלם המבוקש. נראה כעת את הנוסחה הכללית המשמשת לפתרון משוואה ממעלה שניה ואת הדרך להגיע אליה.

נסתמך על נכונות משוואת הזהות הידועה:


הערה: נא לא להתבלבל בין המשתנים x ו- y של משוואת הזהות למשתנה הכללי x המופיע במשוואה ממעלה שניה. אין כמובן קשר ערכי בין השניים.

נרצה להביא את המשוואה ממעלה שניה לאותה צורה כמו האגף הימני של משוואת הזהות הנ"ל:


קל לראות כי b/2a) = y) וניתן להשתמש במשוואה המקוצרת של x + y)²) וכך:


נוציא שורש ונקבל:


נסדר קצת את המשוואה:


ניתן לראות כי יתכנו שני ערכים שונים של x הפותרים את המשוואה. אחד מהפתרונות או שניהם יכול להיות מספר שלילי. הבבלים הגיעו לפתרונות המתקבלים מנוסחה זו, אך הכירו רק בפתרון בעל ערך חיובי כפתרון הגיוני ונכון.

ומה אם משוואה עם נעלם ממעלה שלישית. האם גם למשוואה זו ניתן להגיע לפתרון כללי?

דו-קרב מתמטי

סְקִיפִּיוֹנֵה דֵל פֶרוֹ (Scipione del Ferro)

נולד ב- 6 לפברואר 1465 בעיר בולוניה שבאיטליה. אביו היה מועסק בתעשית הנייר החדשה והמתפתחת. לא הרבה ידוע על חייו של דל פרו. הוא ככל הנראה רכש את השכלתו באוניברסיטת בולוניה. מכל מקום, הוא יותר מאוחר, החל משנת 1496, הועסק באוניברסיטה זו כמרצה בתחומי אריתמטיקה וגיאומטריה.
אף עבודה שהוא כתב לא שרדה לימינו. ייתכן ועובדה זו נעוצה בכך שדל פרו, כמו רבים בתקופתו, שמר את עבודותיו והצלחותיו לעצמו ולא נטה לפרסמם ברבים. בשלב כלשהו ובדרך לא ברורה הצליח דל פרו להגיע לפתרון כללי עבור סוג מסוים של משוואות ממעלה שלישית מהצורה:


נציין כי כבר אז היה ידוע כי בכל משוואה ממעלה שלישית ניתן תמיד להיפטר מהאיבר הריבועי של x (אנחנו נראה זאת בהמשך כשנוכיח את הפתרון הכללי למשוואה ממעלה שלישית). אך מכיוון שבאותה תקופה של המאה ה-15 עדיין האפס והמספרים השליליים לא נחשבו כמספרים אמיתיים שיש לקבלם ולהשתמש בהם התקבלו שלושה סוגים שונים של משוואה ממעלה שלישית:


שים לב, אם נאפשר שימוש במספרים שליליים ובאפס נוכל לצמצם את כל שלושת המשוואות למשוואה אחת.

דל פרו לא פרסם את עבודתו. הוא נפטר בבולוניה ב- 16 לנובמבר 1526. האגדה מספרת שבהיותו על ערש דווי גילה דל פרו את תגליתו המתמטית לאחד מתלמידיו,

אַנְטוֹנְיוֹ מָרִיַה פְיוֹר (Antonio Maria Fior)

.

חתנו המתמטיקאי של דל פרו,

אַנִיבָּלֵה דֵלַה נַאווֶה (Annibale della nave)

, ירש את תפקידו של דל פרו באוניברסיטת בולוניה ובין היתר קיבל בעזבון גם את כתביו האישיים.

נִיקוֹלוֹ פוֹנְטָנַה "טָרְטַגְלִיַה" (Niccolo Fontana “Tartaglia”)

נולד בשנת 1499 בעיר ברסציאה שבאיטליה. ילדותו עברה בעוני ובסבל רב כאשר התייתם מאביו בגיל 6. בגיל 12 במהלך מסע נקמה של חיילים צרפתיים בעירו הוא נפצע מחתך קשה בפניו. גם לאחר שהחלים אט אט מפצע זה נותר בו גמגום, מכאן הכינוי שדבק בו "טרטגליה" (מגמגם באיטלקית).
טרטגליה היה מתמטיקאי מחונן וכנהוג בתקופתו הרבה להשתתף בתחרויות דו-קרב מתמטיים. המנצח בתחרויות אלו היה זוכה בתמיכתם של עשירים מקומיים ומצורף לסגל האקמאי באחת האוניברסיטאות או במשרה יוקרתית דומה אחרת.
בשנת 1530 מקבל טרטגליה הזמנה לדו-קרב מתמטי ממורה למתמטיקה בן עירו. הלה שולח לטרטגליה שתי שאלות מסוג של משוואה במעלה שלישית. טרטגליה תחילה מתרעם על כך שנשלחו לו בעיות ממשוואה במעלה שלישית שכידוע אין לה פתרון כללי. אך מאוחר יותר הוא מצליח להגיע לפתרון כללי עבור משוואות מהצורה:


זהו כמובן רק מקרה פרטי של סוג מסויים של משוואות ממעלה שלישית.

טרטגליה שלח בחזרה על המורה בן עירו מכתב בו הוא נוזף בו על שניסה להפגין עליונות בשלחו בעיה ממעלה שלישית ומבשר לו שאכן הצליח להגיע לפתרון כללי לבעיות אלו. כמובן שטרטגליה לא חשף בפניו מהו הפתרון הכללי שהגיע אליו ודרך הפיתרון.

התפשטה השמועה כי טרטגליה מצא פתרון כללי למשוואה ממעלה שלישית. פיור, תלמידו של דל פרו, לא האמין שמישהו נוסף אוחז בפתרון למשוואות ממעלה שלישית והזמין את טרטגליה לדו-קרב מתמטי. שני המתמטיקאים התייצבו בבולוניה בשנת 1535. למזלו הרבה של טרטגליה כשמונה ימים לפני הדו-קרב עלה בידו להגיע לפתרון כללי גם עבור משוואות מהצורה:


ובכך בעצם היה לו יתרון על פני פיור.

כל אחד מהמתמטיקאים קיבל לידיו מעטפה ובה 30 בעיות ממעלה שלישית שהשני הכין עבורו ושעליו לפתור תוך 40 יום. טרטגליה פתר את כל השאלות שהוצגו לו תוך שעתיים בלבד, כולן היו מהסוג שהוא ופיור ידעו לפתור. פיור לא הצליח לפתור חלק מהבעיות שהוצגו לושכן חלקן היו רק מהסוג שטרטגליה ידע לפתור. טרטגליה הוכתר כמנצח בדו-קרב.

השמועה על הצלחתו המדהימה של טרטגליה התפשטה במהירות ברחבי איטליה והגיע גם לאוזניו של רופא, אסטרולוג, מתמטיקאי ומהמר מפוקפק בשם גֶ'רוֹלַאמוֹ קָרְדַאנוֹ (Gerolamo Cardano). קרדנו למד באוניבסיטאות של פביה ופדואה, אך אישיותו הלא מקובלת (הוא נהג להמר), אישיותו הקשה והיותו ילד לא חוקי מנעו ממנו לקבל משרות טובות. כששמע קרדנו על הצלחתו של טרטגליה לפתור משוואות ממעלה שלישית הוא מיד נרתם למשימה בעצמו. בשנת 1539, משנכשל להגיע לפתרון בכוחות עצמו פנה קרדנו לטרטגליה במכתב והפציר בו לגלות לו את הפתרון על מנת שיוכל להכניסו לספר מתמטי שהוא כותב. טרטגליה מיאן והשיב כי אם הפיתרון שלו יופיע בספר כלשהו זה יהיה רק בספר שהוא עצמו יכתוב.

קרדאנו לא וויתר וניסה שוב ושוב לחלץ מטרטגליה את פתרונו. לבסוף עלה בידו לשכנע את טרטגליה להגיע לביתו באמתלה שגם מושל האזור המכובד יפגש איתם וכך יוכל אולי טרטגליה לקבל משרה טובה. טרטגליה הגיע וכמובן ששום מושל מקומי לא נפגש אתו. קרדאנו הצליח בסופו של דבר לשכנע את טרטגליה למסור לו את הפתרון. טרטגליה תיאר את דרך הפתרון בצורת שיר חרוזי שחיבר. הוא השביע את קרדאנו לבל יגלה את הפתרון למישהו.

בשנת 1545 פרסם קרדאנו את ספרו "המתמטיקה הגדולה" (Ars Magna). בספר זה נכלל כמובן פתרון כללי למשוואה ממעלה שלישית. טרטגליה זעם על פרסום מה שטען פתרונו שלו עבור משוואה ממעלה שלישית שגילה לקרדאנו בהבטחה לסודיות. קרדאנו מנגד טען שהוא הסתמך בפתרון שהציג לא על פתרונו של טרטגליה, אלא על הפתרון של דל פרו שהוצג בפניו. אכן ככל הנראה נפגש קרדאנו עם חתנו של דל פרו והלה הציג בפניו את עבודתו של זה האחרון. קרדאנו לא הגיע לפגישה זו לבדו, הצטרף אליו עוזרו האישי, לוּדוֹבִיצ'וֹ פֶרַארִי (Ferrari Ludovico), מתמטיקאי מחונן בפני עצמו. קרדאנו השכיל להבין כי ניתן להשתמש במספרים שליליים ולהגיע לייצוג אחד של משוואה ממעלה שלישית.

הקוראים המתקשים במעקב אחרי נוסחאות וחישובים מתמטיים רשאים בהחלט לדלג על הקטע הבא.

להלן הפתרון הכללי עבור משוואה ממעלה שלישית:


נרצה לאפס את האיבר הריבועי של x, לכן נגדיר z = x + a/3 ונציב את x = z - a/3 במשוואה:


נשתמש שוב במשוואת הזהות:


וגם במשוואת הזהות ממעלה שלישית:


ונקבל:


נצמצם ונקבל:


האיברים הריבועיים של z מצטמצמים ונקבל:


כלומר, ממשוואה ממעלה שלישית מלאה קיבלנו משוואה ממעלה שלישית החסרה את האיבר של הנעלם בריבוע. כפי שהזכרנו כבר קודם, העובדה שניתן לצמצם את האיבר המכיל את הנעלם בריבוע בכל משוואה מלאה ממעלה שלישית היתה ידועה כבר במאה ה-15.

לשם פשטות המשך דרך הפיתרון, נגדיר


נציב ונקבל משוואה מהצורה:


נסכם שעד כה בעזרת הצבת z = x + a/3 (או יותר נכון הצבנו x = z - a/3) במשוואה ממעלה שלישית קיבלנו משוואה פשוטה יותר של מעלה שלישית, ובעזרת הגדרות של m ו- n ניתן לתארה בפשטות כך:


נגדיר z = s - t, ונקבל:


נזכיר שוב את צורתה של משוואת הזהות ממעלה שלישית:


מכורח נכונותה של משוואת הזהות נוכל להגדיר את m ואת n כך:


נוכל לפתור שתי משוואות אלו ולקבל את s ואת t. כשנדע את s ואת t נוכל לחזור ולחשב את z, המשתנה של המשוואה ממעלה שלישית המצומצמת. מפתרון של z נוכל להגיע בקלות חזרה לפתרון הנעלם x, המשתנה של המשוואה ממעלה שלישית המורחבת.

נחשב את s ואת t כתלות ב- m וב- n:


נגדיר q = s^3 (בחזקה שלישית), נציב ונכפיל את שני האגפים ב- q. שים לב, מכיוון שמכפילים ב- q דרישה היא ש- q יהיה שונה מאפס. יש למצוא בנפרד את פתרון המשוואה עבור המקרה הפרטי בו q אכן שווה לאפס (לא נעשה זאת כאן). נמשיך עבור המקרה הכללי בו q אינו אפס ונקבל משוואה מממעלה שניה שפתרונותיה ידועים:


לכן ערכו של s הוא:


חישוב ערכו של t הוא דומה:


וערכו של z הוא:


מטעמי סימטריה למשוואה זו ישנם עד שלושה פתרונות אפשריים.
משוואה זו קרוייה "נוסחת קרדנו-טרטגליה".

במקום m ו- n ניתן להציב את a, b ו- c. ערכו של x במשוואה ממעלה שלישית מתקבל מההגדרה של z בה השתמשנו: x = z - a/3.

ומה אם משוואה ממעלה רביעית? האם גם עבורה ניתן לתת נוסחה כללית לכל x הפותר אותה?

משוואה ממעלה רביעית הנה משוואה מהצורה:


פרארי הצליח להגיע לפתרון כללי גם עבור משוואה ממעלה רביעית! בדומה לפתרון של משוואה ממעלה שלישית המורידה אותה בדרך אלגבראית למשוואה ממעלה שניה, כך עלה בידו של פרארי להראות דרך בה ניתן להוריד את המשוואה ממעלה רביעית למשוואה ממעלה שלישית שפתרונה כבר ידוע. קרדאנו זכה להכליל גם את הפתרון של פרארי עבור משוואה ממעלה רביעית בספרו.

טרטגליה כאמור זעם על קרדאנו ועוד יותר זעם כאשר הלה התחמק ממנו ושם את פרארי לענות לו. בסופו של דבר, בשנת 1548, נקבע להיערך במילאנו דו-קרב מתמטי בין השניים, בין טרטגליה לפרארי כמובן. פרארי ששלט היטב גם במשוואות ממעלה שלישית וגם במשוואות ממעלה רביעית הפגין יותר ידע מטרטגליה. משהבין טרטגליה שהוא עומד להפסיד בדו-קרב שעתיד להימשך מספר ימים הוא נמלט מהמקום בסופו של היום הראשון להתמודדות.

אם נעזוב לרגע בצד את הסיפור הדרמטי האישי של הנפשות הפועלות הרי שחלה התקדמות רבה באיטליה במאות ה-15 וה-16 בתחום החקר המתמטי. ראשית נמצא פתרון כללי עבור משוואות ממעלה שלישית ורביעית, זאת על אף שלא היה בכך צורך כלשהו לשימוש מעשי באותה תקופה. בנוסף, כפועל יוצא מפתרון המשוואה ממעלה שלישית צצו הישגים חשובים לא פחות נוספים. ראשית קרדאנו צמצם את שלושת הסוגים השונים של משוואה ממעלה שלישית לאחד ובכך הכיר בעצם בקיומם של המספרים השליליים. תחום המספרים התרחב אף יותר כאשר נתקל קרדאנו במהלך עבודתו על משוואה ממעלה שלישית בחישובי ביניים אבסורדיים אותם הוא כינה "לא הגיוניים". הכוונה היא לחישוב ביניים המצריך חישוב שורש ריבועי למספר שלילי. על זאת ועוד ניתן לקרוא בפרק העוסק במספרים מורכבים.





[ עמוד ראשי - המצאות | מתמטיקה קדומה | מספרים אי-רציונליים | משפט פיתגורס | גיאומטריה אוקלידית | אלגברה | התפתחות הסְפַרוֹת | משוואות קוביות וקווארדיות | מספרים מורכבים | לוגריתם | חשבון דיפרנציאלי ואינטגראלי | עיקרון הציפה | זכוכית מגדלת | משקפיים | מיקרוסקופ | טלסקופ | חוק סְנֵל | חוק בויל | חוקי התנועה | עיקרון ברנולי | שלושת חוקי התרמודינמיקה | טבלה מחזורית | מדידת מהירות האור | כוח לורנץ | קרינת רנטגן | טרנספורמצית לורנץ | תורת היחסות הפרטית | גילוי האטום | תורת היחסות הכללית | חשמל | חוק קולון | חוק אוהם | חוקי קירכהוף | נורת להט | מנוע קיטור | מנפה כותנה | מצלמה | מקרר | מזגן | מחשב | מכבש דפוס | כתב ברייל | טלגרף | טלפון | רדיו | טלוויזיה | כדור פורח | מצנח | רכבת | אופניים | מכונית | אווירון מדחף | מטוס סילון | אבק שריפה | תותח | רובה מוסקט | מרגמה | אקדח | מוקש | מקלע | רובה-מטען | הוביצר | תת-מקלע | רימון-יד | טנק | רובה-סער | פצצת אטום | תורת האבולוציה | פסטור | תיאוריית התורשה | פניצילין ]