תורת היחסות הכללית

"המחשבה המאושרת של חיי"

לאחר פרסום תורת היחסות הפרטית (אז עוד כונתה רק "תורת היחסות") הטרידה את מנוחתו של אינשטיין סתירה בינה לבין אחד מחוקי הפיזיקה הקלאסית של ניוטון. משוואתו של ניוטון לתיאור כוח המשיכה הפועל בין שני גופים הוא:


משוואה זו אינה תלויה כלל במהירות האור. לפי משוואה זו הכוח שמפעילה השמש על כדור-הארץ שגורם לו לנוע סביבה "מורגש" מיידית. כדור-הארץ נמצא במרחק של כשמונה דקות אור מהשמש. כלומר, אור הנפלט מפני השמש מגיע לכדור-הארץ רק כשמונה דקות לאחר-מכן. אם השמש תיעלם במפתיע אזי מכדור-הארץ היא תמשיך להיראות לעוד כשמונה דקות. אין זה ייתכן שהשפעת כוח-המשיכה של השמש על כדור-הארץ תיפסק מיידית. לשם כך מהירות ההשפעה של כוח המשיכה צריכה להיות מהירה יותר ממהירות האור. לפי תורת היחסות הפרטית אין בטבע שום תופעה שיכולה לעבור את מהירות האור, כולל השפעה של כוחות. אינשטיין שאף למצוא תיקון קל למשוואת כוח-המשיכה בדומה לתיקון שהוכנס במשוואה לחיבור מהירויות. קל זה לא היה.

אור השמש בדרכו לכדור-הארץ

סיפור רווח קיים על אינשטיין בקשר לתורת היחסות הכללית. על פי הסיפור אינשטיין, בעודו מתכונן לצאת לעוד הרצאה על תורת היחסות (הפרטית), ראה מחלונו צבַּעי נופל מטה מהסולם שעליו עמד. מחזה זה הבריק במוחו של אינשטיין את המחשבה כי אדם הנופל נפילה חופשית מטה אינו מרגיש כל כוח המופעל עליו ובכלל זה את כוח-המשיכה של כדור-הארץ. לפי גרסה אחרת מחשבה זו צצה בראשו של אינשטיין בזמן עבודתו במשרד הפטנטים האפרורי, מבלי שיזדקק להדגמה חזותית בדמותו של צבעי נופל. לימים יכנה אינשטיין מחשבה זו כ"מחשבה המאושרת של חיי". אך מחשבה זו שהבליחה במוחו הייתה רק תחילתו של מסע ארוך בן עשר שנים. בסופו של מסע זה תיוולד תורת היחסות הכללית. תורת היחסות הכללית מטפלת במקרה של מערכת הנעה במהירות משתנה, כלומר בעלת תאוצה שונה מאפס. זהו מקרה כללי יותר לעומת מקרה של מערכת הנעה במהירות קבועה, כלומר בעלת תאוצה אפסית. במקרה האחרון דנה תורת היחסות הפרטית.

תאוצה שקולה לכוח-משיכה

אינשטיין קבע כי תאוצה של גוף נע יוצרת כוח השקול לכוח-משיכה של גופים. לכל גוף בעל מסה יש כוח-משיכה. ככל שהגוף בעל מסה גדולה יותר כך כוח המשיכה שלו גדול יותר. למשל, לכוכב צדק שמסתו גדולה מזו של כדור-הארץ יש כוח משיכה גדול יותר. לירח מסה קטנה יותר משל כדור-הארץ ולכן כוח המשיכה על פניו קטן יותר מכוח המשיכה שעל פני כדור-הארץ. מכאן תנועת הריחוף של האסטרונאוטים שהלכו על פני הירח. השמש היא הגוף בעל המסה הגדולה ביותר במערכת השמש ולכן כוח המשיכה שלה הוא הגדול ביותר בין גרמי השמיים שבמערכת השמש. גם לגופים בעלי מסה קטנה יש כוח משיכה, אך מכיוון שמסתם קטנה כוח משיכתם קטן גם הוא ובלתי "מורגש".

את אותו כוח שהתאוצה יוצרת מרגישים למשל כאשר כלי רכב מאיץ קדימה בחדות או בולם בפתאומיות. במקרה של האצה חדה נרגיש משיכה לאחור למשענת המושב. במקרה של בלימה פתאומית נזרק קדימה, אלא אם קשורים אנחנו בחגורת בטיחות. גם במעלית מרגישים את אותו כוח שיוצרת התאוצה. מעלית המאיצה מעלה יוצרת כוח השקול לכוח המשיכה. כוח-משיכה זה מתווסף לכוח-משיכה של כדור-הארץ. במקרה של מעלית המאיצה מעלה נרגיש "כבדים" יותר. במקרה של מעלית המאיצה מטה יווצר כוח-משיכה בכיוון הפוך לכוח-משיכה של כדור-הארץ. במקרה זה יש להחסיר מכוח-המשיכה של כדור-הארץ את כוח-המשיכה שיוצרת המעלית המאיצה, ולכן נרגיש "קלים" יותר.

אינשטיין הדגים את השקילות בין תאוצה לבין כוח-המשיכה בעזרת מספר דוגמאות. נביא כאן דוגמה המבוססת על אחת הדוגמאות של אינשטיין ומרחיבה אותה. אדם נמצא בתוך קופסא סגורה. בגג הקופסא יש וו חיצוני. אל הוו קושרים חבל. אם נמשוך את החבל במהירות קבועה הרי שהאדם בקופסא לא ירגיש בתנועתה ולא ידע שהוא נע. אם אותו אדם יאיר בפנס על הדופן הפנימי של הקופסא הרי שאלומת האור תנוע לגביו בקו ישר ומאוזן. עבור צופה מן הצד נעה קרן האור בקו ישר אך באלכסון (הסבר לכך נמצא בפרק הדן בטרנספורמציית לורנץ, בנושא של התרחבות הזמן).

מעלית הנעה במהירות קבועה

כעת נפעיל כוח הולך וגובר, כלומר הקופסא מאיצה כלפי מעלה. התנועה המואצת של הקופסא יוצרת כוח המועבר מתחתית הקופסא ופועל על רגליו של האדם. האדם מרגיש כוח המרתק אותו לרצפת הקופסא, כוח השקול לכוח-המשיכה. מבחינתו של האדם בקופסא גם עכשיו אין הוא נמצא בתנועה כי אם במנוחה! רק שכעת יש לקופסא כוח-משיכה בדומה לכדור-הארץ. גם בכדור-הארץ אדם שעומד במקום ללא ניע יטען כי הוא נמצא במנוחה על אף שפועל עליו כוח-משיכתו של כדור-הארץ. אם כעת יאיר האדם בקופסא בפנס על דופן הקופסא הרי שהוא יראה את אלומת האור נעה בצורה קשתית כלפי מטה. זאת בדומה למתרחש על פני כדור-הארץ בעל כוח-המשיכה.

מעלית הנעה בתאוצה

כך מצא אינשטיין כי התאוצה וכוח-המשיכה הן תופעות שקולות זו לזו.

עיקום המרחב

בתורת היחסות הפרטית קבע אינשטיין כי המיקום הפיזי התלת-מימדי והזמן מהווים יחד מרחב-זמן אחד. בתורת היחסות הכללית נפנה אינשטיין לעסוק בכוח-המשיכה הנקרא גם כבידה. בראייה מנקודת המבט של מרחב-זמן יוצרת הכבידה עיוות או עיקום. כדי לדמיין את אותו עיקום במרחב-זמן נדמיין לנו גוף הנע בקו ישר במרחב-זמן. כשהגוף חולף בסמיכות לעצם בעל מסה גדולה היוצר סביבו כוח-משיכה יטה הגוף הנע ממסלולו הישר אל עבר אותו עצם. אם הגוף יעבור מספיק קרוב לעצם הכבד תנועתו תשתנה מאוד מקו ישר ויתכן והוא יילכד בתנועה אליפסית סביב אותו עצם. תיאור זה דומה מאוד למסלולם של כוכבי הלכת סביב השמש במערכת השמש.

השפעת כוח המשיכה של גוף

אינשטיין דימה את הכבידה למי שיוצרת (בדוגמה של עולם דו-מימדי) שקערורית ביריעה מתוחה. דמיינו יריעה מתוחה, כך לפי אינשטיין, ועל היריעה מסומנים קווי אורך ורוחב ישרים.


אם נניח כדור כבד במרכז היריעה הוא יגרום לשקערורית ביריעה. אותה שקערורית גורמת לגולות הנעות על היריעה בקו ישר לפנות לעבר הכדור הכבד שמונח במרכזה.


כדי להקצין את המחשתה של החשיבה החדשה נאמר כי אינשטיין אף טען שאת כוח-המשיכה, הכבידה, אין לראות ככוח, אלא כעיקום של המרחב-זמן. נרצה עתה להבין יותר מהי השפעתו של עיקום כזה במרחב-זמן של היקום. דוגמה מוחשית לאותו עיקום של המרחב-זמן ניתן למצוא כאן על כדור-הארץ. כדור-הארץ יוצר עיקום של המרחב-זמן סביב מרכז כובד המסה שלו. מכיוון שהעיקום אחיד לכל כיוון צורתו של כדור-הארץ היא בעולם אידיאלי כצורת כדור. במציאות צורת כדור-הארץ היא כדור פחוס, אך זאת מסיבות אחרות שאינן קשורות לכבידה. רישות כדור-הארץ בקווי אורך ובקווי רוחב דמיוניים נותן מידע לגבי צורת העיקום. כך, למשל, נדמיין שני אנשים המתחילים ללכת מקו המשווה אל עבר הקוטב (הצפוני או הדרומי) לאורך שני קווי-אורך שונים. במישור בו אין עיקום של המרחב-זמן יהיו קווי האורך לעולם מקבילים אחד לשני ושני האנשים לעולם לא ייפגשו. אך מה יקרה במישור המעוקם של כדור-הארץ שנוצר כתוצאה מהכבידה שלו? בתחילת דרכם, סמוך לקו המשווה, שני האנשים הולכים במקביל אחד לשני. אך בסופו של דבר, ייפגשו שני האנשים בקוטב. הסיבה לכך נעוצה בעיקום המרחב-זמן.

כדי לחקור את השפעת הכבידה או השפעת מערכת הנעה בתאוצה על ראיית מסלול תנועתם של גופים נזקק אינשטיין להשתמש בגיאומטריה אי-אוקלידית. בנוסף לגיאומטריה המיוחדת נזקק אינשטיין גם להשתמש במתמטיקה מיוחדת הנקראת טנזורים. לשם כך, הוא נעזר במתמטיקאי ידיד.

הכבידה מעקמת את המרחב-זמן. עד עתה עסקנו רק בעיקום המרחב התלת-מימדי, אך הכבידה מעקמת גם את המימד הרביעי, את מימד הזמן. השפעת הכבידה על הזמן היא בהאטתו. ככל שעוצמת הכבידה חזקה יותר כך הזמן נע לאט יותר.

חורים שחורים

מקרה קיצוני אחד של תופעת הכבידה המעוות את המרחב-זמן הוא חור שחור. חור שחור הינו למעשה נקודה קטנה במרחב-זמן בה מרוכזת מסה ברמת צפיפות גבוהה מאוד. המסה הצפופה יוצרת כבידה חזקה ביותר. הכבידה הינה כה חזקה עד אשר אלומות אור הפוגעות במסה אינן מצליחות לחזור חזרה מפניה. יתרה מכך, גם אלומות אור שרק עוברות בסמוך למסה הצפופה נלכדות במסלול סביבה ואינן מצליחות להשתחרר, כך עד אשר הן נופלות לתוכה. מכאן שמו של החור השחור, נקודה קטנה יחסית במרחב-זמן שאור אינו מוחזר ממנה לעולם, ולכן היא נראית שחורה. ברי הוא שגם כל חומר מעופף אחר, כבד יותר מאלומת אור, ילכד וישאב לתוך החור השחור, אם יחלוף קרוב מידי אליו.

את החורים השחורים קשה למצוא, זאת מכיוון שהחור השחור נמצא בחלל החשוך כמעט כולו. את החור השחור ניתן למצוא מבעד לעדשת הטלסקופ בעזרת גופי שמיים מאירים אחרים שחגים סביבו ובכך מגלים את מיקומו.

חור שחור

קיומם של החורים השחורים מהווה דוגמה מוצלחת אחת לאמיתותה של תורת היחסות הכללית שניבאה אותם. דוגמה נוספת היא הסברת הסטייה בין החישובים שנערכו לפי נוסחאות ניוטון לבין תצפיות בנוגע למסלול תנועת כוכב חמה הנע במסלול קרוב סביב השמש. אך האישוש העיקרי והדרמטי של תורת היחסות הפרטית נערך בזמן ליקוי חמה, על כך בהמשך.

אישוש תורת היחסות הכללית

תורת היחסות (הפרטית והכללית) הייתה שינוי מחשבתי ותפיסתי גדול בתחילת המאה העשרים. רבים מן המדענים באותה תקופה התקשו ואף סרבו לקבלה. הוכחה נדרשה על-מנת לאמת את התורה החדשה. אך למצוא הוכחה לתורה החדשה הייתה משימה לא קלה.

כאשר מספר אנשי מדע אנטישמיים
פרסמו מאמר תוקפני נגד אינשטיין תחת הכותרת
"100 מחברים נגד אינשטיין"
ענה הוא בציניות: "אם אכן טעיתי, היה די באחד".

בחיי היומיום (כלומר במהירויות נמוכות יחסית למהירות האור) הנוסחאות של ניוטון מתאמתות עם המציאות בדיוק רב. את ההבדל בין הנוסחאות של ניוטון לבין הנוסחאות החדשות והמדויקות יותר של אינשטיין ניתן לראות רק בתנאים קיצוניים בהם עוסקים במהירויות גבוהות ואו במרחקים גדולים. מסיבה זו טבעי היה לחפש את האישושים הנדרשים בחלל. את אחד האישושים הזכרנו כבר והוא תיקון הסטייה המתקבל משימוש בנוסחאות ניוטון בתיאור מסלול כוכב חמה סביב השמש. אישוש שני היה בדמות חיזוי ואימות לשינוי באורך גלי האור המגיעים מהשמש בגלל הכבידה. אך האישוש הדרמטי מכולם היה בחיזוי ואימות של עיקום אלומות אור כוכבים כאשר אלו עוברים ליד השמש.

בשנת 1914 פרצה מלחמת העולם הראשונה. מכיוון שגרמניה ואנגליה היו שני צדדים יריבים במלחמה נתקבלה תורתו של אינשטיין שישב באותה עת בגרמניה בחשדנות מה. עובדה זו הקשתה עוד יותר לקבל את תורתו המהפכנית ממילא של אינשטיין. היה זה אסטרונום אנגלי בשם

אָרְתוּר סְטֶנְלִי אֶדִינְגְטוֹן (Arthur Stanley Eddington)

שהבין שניתן להוכיח את הרעיון העומד מאחורי תורת היחסות הכללית בעזרת תצפיות אסטרונומיות.

למדנו שלפי תורת היחסות הכללית הכבידה מעקמת את המרחב-זמן. לכן אלומת אור כוכבים שנעה בקו ישר תתעקם לכיוון השמש כאשר היא חולפת בסמוך אליה. מסיבה זו המרחק בין שני כוכבים הנמצאים משני צדדיה של השמש כפי שהוא נראה מכדור-הארץ יראה גדול יותר ממה שהוא באמת. קיימת כמובן בעיה טכנית כללית לראות את אור הכוכבים באור יום. כדי לערוך ניסוי יש לראות ולהבחין באור הכוכבים כשהוא עובר סמוך מאוד לשמש. ניסוי כזה אפשר לערוך רק כאשר אור השמש מוסתר בזמן ליקוי חמה.

אדינגטון הבין כל זאת והציע לאגודה האסטרונומית המלכותית של לונדון לערוך ניסוי שכזה במהלך ליקוי חמה מלא שעתיד היה להתחרש בשנת 1919. הצעתו התקבלה בתנאי שהמלחמה תסתיים לפני כן. מלחמת העולם הראשונה הסתיימה ב-11 בנובמבר 1918, ובחודש מאי של שנת 1919 יצאה המשלחת בראשות אדינגטון. ליקוי החמה צפוי היה להיראות במלואו ובאריכות (כשש דקות שלמות) לאורך מסלול בחצי הכדור הדרומי. שתי קבוצות של אסטרונומים יצאו לערוך מדידות בשטח, האחת באפריקה בראשותו של אדינגטון והשנייה בברזיל.

על לוחית צילום כהה צולמה ב-29 למאי מיקומה של קבוצת כוכבים בשמים כאשר אורה עובר בסמוך לשמש. מיקומה בזמן זה הושווה לצילומים קודמים שנערכו בחשכת הליל. התוצאות שהתקבלו התיישבו עם תורתו של אינשטיין בדבר הכבידה יותר מאשר עם תורתו של ניוטון. בכך התקבלה הוכחה ניסויית לתורתו של אינשטיין. התקשורת שהייתה צמאה בתקופה של לאחר המלחמה ההרסנית ומוראותיה אימצה בחום את הידיעה המדעית. אינשטיין וגם אדינגטון, גרמני ואנגלי, התפרסמו בן לילה והפכו לכוכבים בעצמם שאור נוגה של הילה אופף אותם.

מנקודה זו ואילך אומץ אינשטיין בידי הציבור הרחב כדמות הפרופסור המבריק, החביב והקצת מוזר. אינשטיין אהב את הפרסום הרחב שזכה לו וגם את הדמות החייכנית שנוצרה לו.

מערכת ניווט עולמית

פרסום תוצאות הניסוי הצריך מאדינגטון לעבור על תוצאות המדידה של שתי המשלחות ולפסול תוצאות לא ברורות שלא התיישבו עם שאר התוצאות. מהלך זה של החישובים עורר חשד אצל מי מהמדענים שהתוצאות למעשה הוטו כך שתתקבל הוכחה לתורה של אינשטיין. מדידות מליקויי חמה בשנים הבאות בעזרת מכשירי מדידה מדויקים יותר הניבו שוב תוצאות התומכות בתורת היחסות הכללית בצורה חדה יותר.

כיום אין ספק בדבר נכונותה של תורה זו. למעשה, מערכת הניווט העולמית (GPS) פועלת תוך שימוש בנוסחאות תורת היחסות. בלוויינים הנמצאים בתנועה היקפית מסביב לכדור-הארץ בגובה רב פועלים שעונים. בעזרת מדידת הזמן מכמה לוויינים במקביל (לפחות ארבעה) ניתן לדעת את מיקומו של כל חפץ על פני כדור-הארץ. בעזרת מערכת זו ניתן להשיג דיוק רב של מטרים בודדים, ואף ניתן להגיע לדיוק של סנטימטרים בודדים. הדיוק הרבה מושג בעזרת דיוק רב במדידת הזמן בשעוני הלוויינים.

מכיוון שהלוויינים שטים בגובה רב מעל פני כדור-הארץ הם נעים למעשה באזור בו החלל מעוות פחות בגלל כוח הכבידה של כדור-הארץ. מסיבה זו השעונים בהם ימדדו זמן רב יותר מהנצפה בכדור-הארץ. סטייה זו במדידת הזמן מתקזזת במעט (אך לא כולה) בגלל תנועתם של הלווינים. מכיוון שהלוויינים נמצאים בתנועה יראה הזמן שהם מודדים כקצר יותר. חישוב מספרי יראה שיש צורך להתחשב בתופעות אלו על מנת שניתן יהיה "לקרוא" בכדור-הארץ את הזמן שמודדים שעוני הלוויינים בדיוק רב. למעשה בכל יום מתבצע כיול מחדש של הלוויינים על-מנת שסטיית הקריאה של הזמן משעונם לא יתבטא בסטייה גדולה במדידת מרחק על כדור-הארץ.

"הטעות הגדולה ביותר של חיי"

אינשטיין היה בעל דמיון מפותח מספיק בכדי לערוך "ניסויים מחשבתיים" במוחו. הוא גם היה בעל ראש פתוח בכדי להגות ולבסס דעות חדשות בנוגע למרחב-זמן בו אנו חיים. למרות כל זאת היו כמה נושאים בהם הוא היה מקובע. אחד הנושאים היה תורת הקוואנטים כפי שהוזכר בפרק הדן בתורת היחסות הפרטית. נושא אחר היה גודלו של היקום. אינשטיין האמין כי ליקום גודל קבוע ואין הוא מתרחב או קורס. כדי להסביר מדוע אין היקום קורס היה צורך לתת מענה לכוח המשיכה שקיים בין הגלקסיות המרכיבות את היקום. כוח המשיכה הזה עלול לגרום לקריסת היקום. על מנת שהיקום יהיה סטאטי המציא אינשטיין את מה שכינה "קבוע קוסמולוגי". אותו קבוע קוסמולוגי, שאינשטיין הוסיף למשוואותיו, מייצג כוח מסתורי לא ידוע המתנגד לכוח המשיכה. לאחר שנודע בקהיליית המדע שהיקום מתרחב והגלקסיות שבו נמצאות בתנועה מתמדת ומתרחקות אחת מהשנייה, השמיט אינשטיין את הקבוע הקוסמולוגי ממשוואותיו.

גם אינשטיין יכול לטעות, כך מסתבר. אך טעות זו מחווירה ומתגמדת לנוכח הישגיו המדהימים. אין כיום עוררין על כך שאינשטיין הוא אחד הגאונים בעולם המדע ועומד בגאון לצידם של ענקים אחרים שחיו לפניו.





[ עמוד ראשי - המצאות | מתמטיקה קדומה | מספרים אי-רציונליים | משפט פיתגורס | גיאומטריה אוקלידית | אלגברה | התפתחות הסְפַרוֹת | משוואות קוביות וקווארדיות | מספרים מורכבים | לוגריתם | חשבון דיפרנציאלי ואינטגראלי | עיקרון הציפה | זכוכית מגדלת | משקפיים | מיקרוסקופ | טלסקופ | חוק סְנֵל | חוק בויל | חוקי התנועה | עיקרון ברנולי | שלושת חוקי התרמודינמיקה | טבלה מחזורית | מדידת מהירות האור | כוח לורנץ | קרינת רנטגן | טרנספורמצית לורנץ | תורת היחסות הפרטית | גילוי האטום | תורת היחסות הכללית | חשמל | חוק קולון | חוק אוהם | חוקי קירכהוף | נורת להט | מנוע קיטור | מנפה כותנה | מצלמה | מקרר | מזגן | מחשב | מכבש דפוס | כתב ברייל | טלגרף | טלפון | רדיו | טלוויזיה | כדור פורח | מצנח | רכבת | אופניים | מכונית | אווירון מדחף | מטוס סילון | אבק שריפה | תותח | רובה מוסקט | מרגמה | אקדח | מוקש | מקלע | רובה-מטען | הוביצר | תת-מקלע | רימון-יד | טנק | רובה-סער | פצצת אטום | תורת האבולוציה | פסטור | תיאוריית התורשה | פניצילין ]