גיאומטריה אוקלידית

מבוא

גדולי יוון של העת העתיקה מודים בעצמם שהם חבים את התפתחותה של הגיאומטריה היוונית לגיאומטריה המצרית. לא ברור אם חוב זה אכן קיים, מה שברור הוא שבתקופה היוונית חלה התפתחות משמעותית בתחום זה. היוונים, בניגוד לקודמיהם, המצרים והבבלים, נמשכו לגיאומטריה מסיבות אסתטיות ולא מצורך מעשי. עיסוקם של היוונים בגיאומטריה נטתה לכיוון תיאורטי ופילוסופי ולא לכיוון מעשי פרקטי. בעיות גיאומטריות היו יפות מבחינה אסתטית טהורה אך ברובן לא היו נחוצות לשימוש כפתרון לבעיות מעשיות. ההתעסקות הבלעדית בפתרון בעיות גיאומטריות אכן הזניקה קדימה את ענף הגיאומטריה אך באה על חשבון התפתחות ענף תורת המספרים.

גיאומטריה אוקלידית

מעט מאוד ידוע על חייו של

אוֹקְלִידֶס מאלכסנדריה (Euclid of Alexandria)

. הוא נולד מתישהו בין השנים -335325 לפנה"ס, לערך. משוער כי הוא נולד ביוון, אם כי ישנה גם טענה (ככל הנראה שגויה) על-ידי סופר ערבי קדום, שאוקלידס נולד בצור. בלבולים אחרים בקשר אליו נוצרו כאשר בטעות הוא יוחס לאדם אחר בשם אוקלידס שחי כמאה שנה לפניו במגרה (Megara) והיה פילוסוף יווני חשוב בפני עצמו. ככלל השם אוקלידס היה נפוץ בתקופה בה הוא חי מה שמקשה על מציאת התייחסויות אל אותו אוקלידס מאלכסנדריה בכתבים ומסמכים שנתשמרו.

מקובל להניח כי אוקלידס למד מדעים באתונה שביוון מתלמידיו של

פְּלַאטוֹ (Plato)

. מיוון עבר אוקלידס לאלכסנדריה בה הוקמה הספרייה הגדולה בתקופתו של

תָּלְמֵי ה-I (Ptolemy-I)

. שם הוא למד וחקר בעצמו וגם לימד אחרים. באלכסנדריה הוא כתב את הספר המתמטי הקדום ביותר ששרד לימינו "היסודות" (The Elements). מדובר למעשה בסדרה של 13 כרכים שנושאם גיאומטריה ותכונות מספרים. ניתן לחלק 13 כרכים אלו לשלושה נושאים:

    גיאומטריה מישורית
       כרכים 1-2: תכונות בסיסיות של משולשים, ריבועים, מרובעים, מקבילים וכו'
       כרך 3: תכונות המעגל
       כרך 4: הצגת בעיות הקשורות במעגל
       כרך 5: יחס בין מספרים
       כרך 6: ישום הנלמד על יחס בין מספרים בגיאומטריה מישורית
    תיאורית המספרים
       כרך 7: הקדמה ומציאת המכנה המשותף הגבוה ביותר של שני מספרים
       כרך 8: סדרות מספרים גיאומטריות
       כרך 9: מספרים ראשוניים
       כרך 10: מספרים אי-רציונאליים
    גיאומטריה מרחבית
       כרך 11: הגדרות בסיסיות
       כרכים 12-13: תכונות של גופים תלת-מרחביים

אוקלידס פותח סדרה זו בהגדרת 5 יסודות (אלמנטים):
1. בין כל שתי נקודות עובר קו ישר אחד (הערה: אוקלידס לא ציין שיש רק קו ישר אחד, אך כן השתמש בעובדה זו)
2. מגדיר את אופן הרחבת מקטע ישר למקטע ארוך יותר
3. מעגל הנו צורה בעלת נקודת מיוחדת (המרכז) שכל הרוחקים ממנה (הרדיוסים) להקף הצורה זהים.
4. כל הזוויות הישרות זהות הן.
5. אם קו ישר הנופל על שני קווים ישרים יוצר שתי זוויות פנימיות מאותו צד כך שסכומן קטן מסכום שתי זוויות ישרות (180 מעלות), אזי שני הישרים אם ימשכו עד לאינסוף ייפגשו באותו צד בו סכום הזוויות קטן משתי זוויות ישרות.

עבודתו זו נסמכת על עבודותיהם של מתמטיקאים קדומים לפניו, כמו

יוּדוֹקְסוּס (Eudoxus)

,

תֵ'יאַטֵטוּס (Theaetetus)

ועוד. חלק גדול מעבודתו של אוקלידס היה בסידור, ארגון והקניית בהירות לחומר המדעי שנצבר לפניו. בחלק מהמקרים הוא החליף הוכחות קיימות לטענות בהוכחות פשוטות יותר, קצרות יותר ונהירות יותר. אכן, חוט השני העוברת בין כל כרכי סדרת "היסודות" היא הפשטות והנהירות בה מובאים משפטיו והוכחותיו. סדרה זו זכתה להיות הנפוצה ביותר לאורך השנים מאז הודפסה לראשונה בשנת 1482, מלבד התנ"ך כמובן. סדרה זו עתידה לשמש את אנשי המדע של תקופת הרנסאנס באירופה, ולהוות אבן הבניין לעבודותיהם.

אינסוף מספרים ראשוניים

התיאוריה הראשונה של אוקלידס נוגעת לגבי מספרים ראשוניים. נזכיר כי מספר ראשוני הוא מספר שמתחלק ללא שארית אך ורק בעצמו ובאחד.

טענה:
אם P הוא מספר ראשוני המחלק ללא שארית את המכפלה ab של שני מספרים a ו- b, אזי P מחלק ללא שארית גם את a או b.

התיאוריה השניה של אוקלידס נחשבת ליצירת מופת מתמטית. ההוכחה היא פשוטה, קצרה, הגיונית ומובנת. גם טענה מוכחת זו נוגעת לגבי מספרים ראשוניים.

טענה:
קיימים אינסוף מספרים ראשוניים.

הוכחתו של אוקלידס:

בהינתן סדרה סופית של מספרים ראשוניים: 2, 3, 5, … P המספר N שהנו תוצאת מכפלתם ועוד אחד N = 2*3*5*…*P + 1 הנו או מספר ראשוני חדש או תוצאת מכפלה של מספרים ראשוניים.
אם N הוא מספר ראשוני הרי הוא בהכרח גדול יותר מהמספרים הראשוניים הידועים מכיוון שאלו נמצאים בערך המכפלה ועוד אחד המרכיבה אותו.
אם N הוא תוצאת מכפלה של מספרים ראשוניים (כלומר לא מספר ראשוני בעצמו) הרי לפחות אחד מהגורמים של המכפלה חייב להיות גדול מ- P (ולכן מהווה מספר ראשוני חדש).

ההוכחה לכך שסיפק אוקלידס היא על דרך השלילה.

אם N הוא תוצאת מכפלה של מספרים ראשוניים שאף אחד מהם אינו גדול מ- P, אז קיים לפחות גורם אחד של המכפלה הנמצא בסדרת המספרים הראשוניים: 2, 3, 5, … P. גורם זה בהכרח מחלק את המכפלה 2*3*5*…*P. אך הוא בנוסף גם מחלק את N.
אבל ידוע שאם מספר מחלק ללא שארית שני מספרים הוא מחלק גם את ההפרש המוחלט בינהם, לכן אותו גורם יחלק גם את המספר

N – 2*3*5*…*P = (2*3*5*…*P – 1) – 2*3*5*...*P = 1
כדי לחלק ללא שארית את המספר 1 על הגורם עצמו להיות 1. קיבלנו סתירה להנחה שהגורם הנו מספר כלשהו בסדרה 2, 3, 5, …, P.

הוכחת משפט פיתגורס

אוקלידס גם סיפק הוכחה גיאומטרית (לא פשוטה) למשפט פיתגורס. נשרטט משולש ישר-זווית ABC ועל כל אחת מצלעותיו נשרטט ריבוע. נרצה להוכיח שסכום שטחי הריבועים על הניצבים a ו- b שווה לשטח הריבוע c שעל היתר.


קודם נוכיח ששטחו של הריבוע הירוק הבנוי על הניצב שאורכו a זהה לחלק השטח הצבוע הירוק שבריבוע הגדול הבנוי על היתר c. שלושת הטענות באות מתקיימות:
    1. הזווית EDC הינה זווית ישרה ושווה לזווית CAB שגם היא זווית ישרה.
    2. הזווית ACD הינה זווית ישרה. הזווית FCB הינה זווית ישרה גם כן. אם נפחית משתי הזוויות את הזווית המשותפת FCA, אזי נקבל שהזווית DCF שווה לזווית ACB.
    3. הצלע DC שווה לצלע AC.
משלושת טענות אלו עולה כי המשולש CDF זהה למשולש ABC ולכן הצלע CF שווה לצלע BC.

את שטח הצורה ACDG ניתן לחשב בשתי דרכים שונות. דרך אחת היא על-ידי סכום שטחיהם של הריבוע ACDE והמשולש AEG. דרך שניה היא על-ידי סכום שטחיהם של המקבילית ACFG והמשולש CDF. המשולשים AEG ו- CDF הינם זהים, לכן שטח המקבילית ACFG זהה לשטח הריבוע ACDE. אבל שטחה של המקבילית ACFG זהה גם לשטח המלבן הירוק בתוך CBLK (זכור שהוכח כי CF שווה ל- c), לכן גם שטח הריבוע ACDE זהה לשטח המלבן הירוק.
בשיטה דומה ניתן להוכיח כי שטחו של הריבוע האדום זהה לחלק המלבני האדום בתוך CBLK. מכאן שסכום שטחי הריבועים שעל הניצבים של המשולש שווה לשטח הריבוע שעל היתר.

פתרון משוואות

ניתן להשתמש בגיאומטריה אף לפתרון משוואות ממעלה שניה. למשל, נרצה למצוא בדרך גיאומטרית את ערכו של הנעלם x המקיים את המשוואה


נשרטט ריבוע שצלעו x. על כל צלע של הריבוע נשרטט מלבן שאורכו כאורך צלע הריבוע x ורוחבו רבע מהמקדם של x במשוואה, כלומר 8 / 4 = 2.


שטחם של הריבוע וארבעת המלבנים (מסומן באפור) הוא 65. סכום שטחם מתקבל גם מחישוב שטח הריבוע הגדול המכיל אותם פחות שטחם של ארבעת הריבועים הקטנים שבפינותיו. לכן נקבל,


מלבד סדרת הכרכים של "היסודות" כתב אוקלידס גם ספרים נוספים אשר לא נשמרו לימינו. תחומים נוספים מלבד גיאומטריה ומספרים בהם עסק אוקלידס היה אופטיקה ומוסיקה.

אוקלידס ככל הנראה נפטר באלכסנדריה באחת מן השנים 260-270 לפנה"ס.





[ עמוד ראשי - המצאות | מתמטיקה קדומה | מספרים אי-רציונליים | משפט פיתגורס | גיאומטריה אוקלידית | אלגברה | התפתחות הסְפַרוֹת | משוואות קוביות וקווארדיות | מספרים מורכבים | לוגריתם | חשבון דיפרנציאלי ואינטגראלי | עיקרון הציפה | זכוכית מגדלת | משקפיים | מיקרוסקופ | טלסקופ | חוק סְנֵל | חוק בויל | חוקי התנועה | עיקרון ברנולי | שלושת חוקי התרמודינמיקה | טבלה מחזורית | מדידת מהירות האור | כוח לורנץ | קרינת רנטגן | טרנספורמצית לורנץ | תורת היחסות הפרטית | גילוי האטום | תורת היחסות הכללית | חשמל | חוק קולון | חוק אוהם | חוקי קירכהוף | נורת להט | מנוע קיטור | מנפה כותנה | מצלמה | מקרר | מזגן | מחשב | מכבש דפוס | כתב ברייל | טלגרף | טלפון | רדיו | טלוויזיה | כדור פורח | מצנח | רכבת | אופניים | מכונית | אווירון מדחף | מטוס סילון | אבק שריפה | תותח | רובה מוסקט | מרגמה | אקדח | מוקש | מקלע | רובה-מטען | הוביצר | תת-מקלע | רימון-יד | טנק | רובה-סער | פצצת אטום | תורת האבולוציה | פסטור | תיאוריית התורשה | פניצילין ]