מספרים אי-רציונליים

לפני קריאת פרק זה מומלץ לקרוא את הפרק הדן במשפט פיתגורס ובחבורה הפיתגוראית.

מספרים אי-רציונליים

גילוי מתמטי נוסף המיוחס לחבורה הפיתגוראית הוא הוכחת קיומם של המספרים האי-רציונליים. נזכיר כי מלבד המספרים השלמים היה ידוע גם קיומם של מספרים רציונליים. מספר רציונלי (מהמילה הלטינית ratio - יחס) הוא מספר שניתן ליצגו בעזרת חלוקה של שני מספרים שלמים, למשל 1/2, 1/3 או 17/19. בכלליות מספר רציונלי ניתן לרשום כ- n/m כאשר n ו-m הם שני מספרים שלמים. מספר אי-רציונלי הוא אפוא מספר שלא ניתן לבטאו על-ידי חלוקת שני מספרים שלמים. למשל 2√ (שורש ריבועי של שתיים) הוא מספר אי-רציונלי.
ניתן להוכיח ש- 2√ הוא מספר אי-רציונלי על דרך השלילה. כלומר, נניח ש- 2√ הוא דווקא כן מספר רציונלי ונגיע לסתירה לוגית, ומכאן מתחייב שהנחתו הראשונית שגויה. נניח אם כן ש- 2√ הוא מספר רציונלי שניתן לבטאו בעזרת x/y. נבחר את הייצוג בעל x ו- y כאלה שאינם ניתנים עוד לצמצום על-ידי חלוקה בגורם משותף. כלומר אין זה יכול להיות 14/35 כי ניתן לצמצם שבר זה על-ידי חלוקת המונה והמכנה בגורם משותף שהנו 7 ולקבל: 2/5.
נניח אם כן כי ניתן לייצג את 2√ ע"י מכנה ומונה מינימליים חסרי גורם חלוקה משותף. כלומר,


המספר x הוא כפולה של מספר כלשהו ב- 2, לכן הוא ניתן לחלוקה ב-2 ללא שארית. מכאן ש- x, המונה של השבר, הינו מספר זוגי. מכיוון ש- x הוא מספר זוגי וניתן לחלוקה ב-2 הרי שניתן לייצגו גם כך:

x = 2z
ונקבל:


קיבלנו שגם y הוא כפולה של מספר ב- 2, ולכן גם y, שהוא המכנה של השבר הינו מספר זוגי.
אם גם המונה וגם המכנה הינם מספרים זוגיים הרי יש להם גורם חלוקה משותף שערכו 2. עובדה זו סותרת את העובדה כי x ו- y הנם שני מספרים חסרי גורם חלוקה משותף. לכן הנחתנו הראשונית כי ניתן לייצג את 2√ בעזרת שבר רציונלי אינה נכונה.

הוכחנו אם כן כי 2√ הנו מספר אי-רציונלי. אך האם יש סיכוי כי ניתקל במציאות במספר שכזה. התשובה היא כן. אורכו של היתר במשולש ישר-זוית ששני ניצביו זהים באורך 1 הוא לפי משפט פיתגורס


העובדה כי קיימים בטבע מספרים אי-רציונליים זיעזעה קשות את החבורה הפיתגוראית. מסופר כי תלמיד אחד בקבוצה שמצא את הוכחה גיאומטרית לקיומם של מספרים אי-רציונליים גורש מהקבוצה ולפי גירסה אחרת אף הומת. אגדה זו (לפחות בגרסתה השניה) לא סבירה מכיוון שהקבוצה דגלה בסובלנות ובטוב-לב.

על אף שהקבוצה הפיתגוראית דגלה בערכים נעלים של טוב-לב סופה היה טרגי ואכזרי ביותר. על פי אחת הגרסאות עוררה הקבוצה המסוגרת והחשאית את קנאתם של התושבים השכנים. הללו קמו יום אחד וטבחו בבית-הספר והעלוהו באש.
פיתגורס, על פי אחת מהדעות, הצליח להימלט אך לבסוף שלח יד בנפשו זמן קצר לאחר חורבן מוסד חייו ונפטר בשנת 475 לפנה"ס.





[ עמוד ראשי - המצאות | מתמטיקה קדומה | מספרים אי-רציונליים | משפט פיתגורס | גיאומטריה אוקלידית | אלגברה | התפתחות הסְפַרוֹת | משוואות קוביות וקווארדיות | מספרים מורכבים | לוגריתם | חשבון דיפרנציאלי ואינטגראלי | עיקרון הציפה | זכוכית מגדלת | משקפיים | מיקרוסקופ | טלסקופ | חוק סְנֵל | חוק בויל | חוקי התנועה | עיקרון ברנולי | שלושת חוקי התרמודינמיקה | טבלה מחזורית | מדידת מהירות האור | כוח לורנץ | קרינת רנטגן | טרנספורמצית לורנץ | תורת היחסות הפרטית | גילוי האטום | תורת היחסות הכללית | חשמל | חוק קולון | חוק אוהם | חוקי קירכהוף | נורת להט | מנוע קיטור | מנפה כותנה | מצלמה | מקרר | מזגן | מחשב | מכבש דפוס | כתב ברייל | טלגרף | טלפון | רדיו | טלוויזיה | כדור פורח | מצנח | רכבת | אופניים | מכונית | אווירון מדחף | מטוס סילון | אבק שריפה | תותח | רובה מוסקט | מרגמה | אקדח | מוקש | מקלע | רובה-מטען | הוביצר | תת-מקלע | רימון-יד | טנק | רובה-סער | פצצת אטום | תורת האבולוציה | פסטור | תיאוריית התורשה | פניצילין ]