משפט פיתגורס

חייו של פיתגורס

פִּיתָגוֹרַס מְסָאמוֹס (Pythagoras of Samos)

הינה ללא ספק אחת הדמויות הראשונות בהיסטוריה הידועה שניתן לייחס להן את התואר מתמטיקאי. כבר נסייג שלא נשתמרו תיעודים מהיימנים על חייו של פיתגורס, אלא רק כתבים שנכתבו שנים רבות לאחר מותו. ההיסטוריונים חלוקים בדעותיהם לגבי תאריכי זמנם של אירועים שונים ואף על עצם התרחשותם. אביו הגיע מצור (היום בלבנון) לאי היווני סאמוס הנמצא מערבית לחופי טורקיה, שם פגש ונשא לאישה אחת מבנות המקום. באי סאמוס נולד פיתגורס הצעיר בשנת 570 לפנה"ס (בערך). מקובל להניח שהפילוסוף

פֵרֶקִידֵס (Pherekydes)

היה מורהו הראשי של פיתגורס. מי שמשך אותו לתחום המתמטיקה הוא

תָאלֶס (Thales)

אותו פגש פיתגורס הצעיר כשתאלס עצמו היה כבר איש זקן. פיתגורס הלך להרצאותיו של ממשיכו של תאלס,

אָנַקְסִימַנְדֶר (Anaximander)

, שכללו מתמטיקה ובעיקר גיאומטריה.

פיתגורס היה מיודד עם

פּוֹלִיקְרֵטְס (Polycrates)

שהפך לשליטה המוחלט של סאמוס וכבש איים רבים בים ההגאי. בשנת 535 לפנה"ס הגיע פיתגורס למצרים, ככל הנראה היה זה בשליחות דיפלומטית מטעם פוליקרטס שכרת עימה ברית צבאית. במצרים ספג פיתגורס אמונות שונות שיכתיבו בחלקן את נוהג החברה המדעית שיקים בעתיד. הברית הצבאית בין פוליקרטס למצרים התבטלה עשר שנים מאוחר יותר כאשר צבא פרס הגיע לאזור. פוליקרטס כרת אז ברית עם השליט הפרסי,

קַאמְבִּיסֵס השני (Cambyses II)

, שעמד לפלוש למצרים. קאמביסס פלש למצרים והביסה. פיתגורס נלקח בשבי לבבל. בשנת 522 לפנה"ס מתו גם פוליקרטס וגם קאמביסס. שנתיים לאחר מכן השתחרר פיתגורס מהשבי (לא ברור איך) וחזר לסאמוס.

נדידתו ברחבי העולם העתיק ללא ספק הרחיבה את אופקיו בכלל ובתחום המתמטיקה בפרט. פיתגורס הרי שהה ביוון, במצרים וגם בבבל והתעניינותו בתחום האריתמטיקה והגיאומטריה הביאה אותו ללמוד מכל תרבות את רזיה בתחומים מדעיים אלו.
עם חזרתו לאי סאמוס ניסה פיתגורס ללמד אריתמטיקה, אך לא זכה ליחס יאה מצד תושבי האי. האגדה מספרת שאימוץ השימוש בסמלים לייצוג נעלמים במשוואות אלגבראיות היה למורת רוחם של תלמידיו. בצר לו פנה פיתגורס לאחד התלמידים והסכים לשלם לו ובלבד שימשיך לבוא להרצאותיו. עם הזמן הבחין פיתגורס בהתעוררות סקרנותו של התלמיד. כדי להעמיד את העניין במבחן, החליט פיתגורס לטעון כי בגלל מחסור כספי יהא עליו להפסיק את השיעורים עליהם אין הוא יכול יותר לשלם. התלמיד שסקרנותו התעוררה מיד הציע לשלם עבור השיעורים ורק שלא ייפסקו.

כך או כך פרש פיתגורס בסופו של דבר לדרום איטליה והקים בעיר קְרוֹטוֹן (Croton) בית-ספר ללימודי דת ופילוסופיה. בית הספר שילב לימוד מקצועות שונים כמו מתמטיקה, אסטרונומיה ומוסיקה עם לימוד דת וערכים. פיתגורס כיוון את תלמידיו לסובלנות, טוב-לב, חברות וכבוד הדדי המבוססים על שוויון בין כל בני האדם. לבית הספר שבניהולו הגיעו רבים מבני המקום המכובדים.
בבית-הספר הנהיג פיתגורס חוג פנימי של מאמינים שנטלו על עצמם מחוייבות של ויתור על רכוש אישי וצמחונות (מנהגים שספג ככל הנראה בזמן שהותו במצרים). החניכים בחוג זה חיו במתחם בית-הספר, למדו אך ורק מפיתגורס וצייתו לו ציות מוחלט. חוג מאמינים זה כונה המתמטיקאים, ומאוחר יותר זכה גם בכינוי "החבורה הפיתגוראית".

החבורה הפיתגוראית

אנשי "החבורה הפיתגוראית" עסקו בעיקר בשאלות מתמטיקאיות וגיאומטריות מנקודת מבט פילוסופית. כמו למשל מהי המשמעות של הספרה 1, מהי המשמעות של משולש וכו'. הם חקרו את תכונותיהם של המספרים השונים תוך אמונה שדרך למידת המספרים ותכונותיהם הם יבינו את סודות היקום.
למשל, הוגדר על-ידי החבורה הפיתגוראית כי מספר הוא מספר מושלם אם סכום מחלקיו ללא שארית שווה למספר עצמו. דוגמה למספר מושלם הוא 6, כי הרי מחלקיו ללא שארית שווים למספר עצמו: 1+2+3 = 6. המספר הבא המושלם הוא 1+2+3+4+5+6+7=28. המספר המושלם הבא הוא 496. פיתגורס שם לב כי המספרים המושלמים מתקבלים רק כאשר מחלקיהם מהווים סדרה רציפה של מספרים עוקבים. יתרה מכך הוא גם הבחין כי המחלק הגבוה ביותר הוא תמיד ניתן לכתיבה כ-


למשל עבור n=2 נקבל המחלק הגבוה הוא 22-1=3 ולכן המספר המושלם יהיה סכום המספרים השלמים מ- 1 עד 3. עבור n=3 נקבל שהמחלק הגבוה הוא 23-1=7.
התעסקות זו בתכונות המספרים הינה נעשית מצורך התעניינות בלבד וללא תועלת מעשית. דבר זה כמובן לא הפריע לאנשי החבורה הפיתגוראית שעסקו בקנאות בלמידת תכונות המספרים. דוגמא לתועלת מעשית ממספרים הינה גילוי ההרמוניה המוסיקלית של צלילים. פיתגורס, כך מסופר, גילה כי צלילים המופקים ממיתרים בעלי כפולות שלמות של אורכים מפיקים צלילים הרמוניים. כאן נעשה לראשונה קשר בין מספרים מתמטיים טהורים למתקן מכני כלשהו. הכת הפיתגוראית שהנהיג פיתגורס דגלה בחשאיות מוחלטת. לכן לא שרדו כתבים מאותה קבוצה ולא ידוע מי מחבריה הגה את המשפטים והוכחות המשפטים שיצאו מתוכה.

דוגמאות נוספות לגילויים נוספים על ידי פיתגורס (או תלמידיו) הן שסכום המעלות בכל משולש שווה לסכום המעלות של שתי זויות ישרות (כלומר ל- 180 מעלות). וכמובן גם משפט פיתגורס שזיכה אותו לתהילת עולם.

הוכחת משפט פיתגורס

על אף שהיה ידוע כבר מאות שנים גם בבל, גם במצרים וגם בסין כי היחס בין שני הניצבים (a ו- b) במשולש ישר-זוית ליתר (c) ניתן לתיאור ע"י:


ובניסוח גיאומטרי


לא היתה בידם הוכחה לאמיתות היחס עבור כל אינסוף הגדלים האפשריים.

משפט זה ניתן להוכיח בדרך הבאה:


שטח הריבוע הכולל שווה לשטחם של ארבעת המשולשים הצהובים ושטח הריבוע הכחול הכלוא בינם. לכן,


מומלץ להמשיך ולקרוא את הפרק הדן במספרים אי-רציונליים ומספר גם על סופה של החבורה הפיתגוראית.





[ עמוד ראשי - המצאות | מתמטיקה קדומה | מספרים אי-רציונליים | משפט פיתגורס | גיאומטריה אוקלידית | אלגברה | התפתחות הסְפַרוֹת | משוואות קוביות וקווארדיות | מספרים מורכבים | לוגריתם | חשבון דיפרנציאלי ואינטגראלי | עיקרון הציפה | זכוכית מגדלת | משקפיים | מיקרוסקופ | טלסקופ | חוק סְנֵל | חוק בויל | חוקי התנועה | עיקרון ברנולי | שלושת חוקי התרמודינמיקה | טבלה מחזורית | מדידת מהירות האור | כוח לורנץ | קרינת רנטגן | טרנספורמצית לורנץ | תורת היחסות הפרטית | גילוי האטום | תורת היחסות הכללית | חשמל | חוק קולון | חוק אוהם | חוקי קירכהוף | נורת להט | מנוע קיטור | מנפה כותנה | מצלמה | מקרר | מזגן | מחשב | מכבש דפוס | כתב ברייל | טלגרף | טלפון | רדיו | טלוויזיה | כדור פורח | מצנח | רכבת | אופניים | מכונית | אווירון מדחף | מטוס סילון | אבק שריפה | תותח | רובה מוסקט | מרגמה | אקדח | מוקש | מקלע | רובה-מטען | הוביצר | תת-מקלע | רימון-יד | טנק | רובה-סער | פצצת אטום | תורת האבולוציה | פסטור | תיאוריית התורשה | פניצילין ]