פעולות חשבון בסיסיות
בפרקים קודמים למדנו את שיטת הספירה העשרונית בה ניתן בעזרת עשר ספרות לייצג כל מספר חיובי. הכרנו גם את הסימן השלילי בו ניתן לייצג מספרים שליליים ואת הסימן החיובי שנועד לסימון מספרים חיוביים, אך אינו חובה.
בפרק זה נלמד כיצד לבצע פעולות חשבון בסיסיות שונות בין מספרים.
4.1 חיבור
מבוא
יום-ההולדת של גלית התקרב ובא. גלית חשבה לערוך מסיבה אחת גדולה בביתה. דנה היא חברתה הטובה של גלית. דנה סיפרה לגלית שבגלל שהיו הרבה מוזמנים לחגוג עמה את יום-הולדתה החליטה אימא שלה לערוך לה מספר מסיבות יום-הולדת קטנות ונפרדות. גלית שאלה את דנה כמה מסיבות קטנות ערכה לה אימה. דנה אמצה את מצחה והתחילה לספור אותם בראשה: 1, 2, 3. שלוש מסיבות יום-הולדת נפרדות נחגגו לדנה באותה שנה.
גלית רצתה לדעת כמה מוזמנים היו סך-הכול בכל שלוש מסיבות יום-ההולדת של דנה יחדיו. גלית שאלה את דנה אך זו משכה בכתפיה ולא ידעה את התשובה. "אולי נספור אותם ביחד?", הציעה גלית.
דנה החלה לספור את המוזמנים לכל שלוש המסיבות כך: "במסיבה הראשונה הוזמנו חוה, לאה, רותי, רווית ואורית. למסיבה השנייה הוזמנו מיכל, טובה, אפרים, משה, דוד, יפעת ועדי. למסיבה השלישית הוזמנו סבא משה, סבתא אסתר, דודה רבקה ובעלה מנחם, האחיינית מיטל וכמובן גם אחותי הגדולה סמדר". היא קודם רשמה על הדף את כל השמות שהזכירה, מחולקים לשלושת המסיבות:
| מסיבה ראשונה | מסיבה שנייה | מסיבה שלישית |
|---|---|---|
| חוה | טובה | סבא משה |
| לאה | אפרים | סבתא אסתר |
| רותי | משה | דודה רבקה |
| רווית | דוד | מנחם |
| אורית | יפעת | מיטל |
| מיכל | עדי | סמדר |
ולאחר-מכן היא מספרה את כל האורחים בשלושת המסיבות בסדר עולה:
| מסיבה ראשונה | מסיבה שנייה | מסיבה שלישית |
|---|---|---|
| 1 חוה | 7 טובה | 13 סבא משה |
| 2 לאה | 8 אפרים | 14 סבתא אסתר |
| 3 רותי | 9 משה | 15 דודה רבקה |
| 4 רווית | 10 דוד | 16 מנחם |
| 5 אורית | 11 יפעת | 17 מיטל |
| 6 מיכל | 12 עדי | 18 סמדר |
כלומר סך הכול היו 18 מוזמנים לכל שלושת המסיבות יחדיו.
גלית החליטה לכבוד יום-הולדתה לערוך שתי מסיבות נפרדות בביתה. אל המסיבה ראשונה יוזמנו חברותיה וחבריה מבית-הספר ומהשכונה. אל המסיבה השנייה יוזמנו קרובי משפחתה בלבד. בשתי המסיבות תחלק גלית שקית הפתעה אחת לכל אורח או אורחת.
אימא של גלית אמרה לגלית כי למסיבה השנייה אליה יוזמנו קרובי המשפחה יהיה עליהן להזמין 12 קרובים ובקשה מגלית לברר מי מחברותיה וחבריה מתכוון להגיע למסיבה הראשונה. בנוסף, ביקשה אימא של גלית שלאחר בירור זה תחזור אליה עם מספר המוזמנים הכולל לשתי המסיבות, זאת על-מנת שהיא תוכל לקנות לגלית מספר מדויק של שקיות הפתעה.
גלית בררה ומצאה כי 13 חברות וחברים יגיעו למסיבתה הראשונה. כעת היה עליה לחבר בין מספר זה לבין מספר קרובי המשפחה המוזמנים כדי לדעת כמה אורחים יהיו בשתי המסיבות יחד.
גלית לא ידעה כיצד לחבר בין שני המספרים ולכן חישבה זאת כך. קודם היא רשמה 12 פעם את המילה קרוב ומספרה אותם כדי לוודא שאכן רשמה בדיוק 12. הנה כך:
| 1 קרוב | 8 קרוב |
| 2 קרוב | 9 קרוב |
| 3 קרוב | 10 קרוב |
| 4 קרוב | 11 קרוב |
| 5 קרוב | 12 קרוב |
| 6 קרוב | - |
| 7 קרוב | - |
לאחר מכן היא הוסיפה את שמות כל חברותיה וחבריה ומספרה גם אותם, בהמשך לרשימה הממוספרת הקודמת:
| 1 קרוב | 8 קרוב | 15 לילך | 22 עירית |
| 2 קרוב | 9 קרוב | 16 זיוה | 23 חנית |
| 3 קרוב | 10 קרוב | 17 אמיר | 24 ניר |
| 4 קרוב | 11 קרוב | 18 דודו | 25 ברק |
| 5 קרוב | 12 קרוב | 19 דוד | - |
| 6 קרוב | 13 קרן | 20 בני | - |
| 7 קרוב | 14 טלי | 21 אירית | - |
"יהיו לי סך-הכול 25 מוזמנים לשתי המסיבות", אמרה גלית בניצחון. "לכן צריך לקנות 25 שקיות הפתעה".
הדגמה לשיטת פעולת החיבור
אימא של גלית ראתה את צורת החישוב של גלית ואמרה: "יש צורת חישוב פשוטה הרבה יותר לחיבור של שני מספרים.
שיטת החיבור מתבצעת כך: את שני המספרים נרשום אחד מתחת לשני, כאשר נקפיד שכל ספרה במספר העליון תהיה בדיוק מעל ספרה בעלת אותו המשקל במספר התחתון. כלומר נקפיד שספרת האחדות של המספר העליון תהיה מעל לספרת האחדות של המספר התחתון וכך הלאה". אימא של גלית רשמה על הדף,
12
13
ספרת האחדות של המספר העליון, שהיא הספרה 2, נמצאת בדיוק מעל לספרת האחדות של המספר התחתון, שהיא הספרה 3. ספרת העשרות של המספר העליון,שהיא הספרה 1, נמצאת בדיוק מעל לספרת העשרות של המספר התחתון, שגם היא במקרה הספרה 1.
בעזרת הסימן החיובי, +, נסמן משמאל למספר התחתון שהפעולה המבוצעת היא חיבור.
נסמן גם קו תחתון מתחתיו, ושמתחתיו תרשם תוצאת פעולת החיבור.
12
13
──
כעת, נחבר בנפרד כל שתי ספרות, עליונה ותחתונה. ראשית נחבר את שתי ספרות האחדות של שני המספרים. 2 ועוד 3 הרי הם 5:
12
13
──
5
לאחר מכן נחבר גם את שתי ספרות העשרות של שני המספרים. 1 ועוד 1 הרי הם 2:
12
13
──
25
"וקיבלנו כמובן את אותה תוצאת חיבור שאת קיבלת, רק יותר מהר", אמרה אימא של גלית.
גלית נדהמה לראות באיזו קלות ובאיזו מהירות הגיעה אימא שלה לתוצאת החיבור של שני המספרים. "האם שיטת חישוב זו נכונה לגבי כל המספרים?" שאלה גלית. "כן", השיבה לה אימא.
למחרת פנתה גלית לדנה ורצתה להראות לה את שיטת החיבור החדשה שלמדה. "לשם דוגמה", אמרה גלית, "אני יכולה להראות לך כיצד לחבר במהירות את מספר התלמידים בכיתה שלנו עם מספר התלמידים בכיתה המקבילה. בכיתה שלנו יש 28 תלמידים ובכיתה המקבילה יש 31 תלמידים". כך התחילה גלית בפעולת החיבור: "קודם נרשום את שני המספרים אחד מתחת לשני. נקפיד שכל ספרה במספר העליון תירשם מעל הספרה המקבילה לה במספר התחתון.",
28
31
"אחר-כך נרשום את סימן החיבור משמאל למספר התחתון כדי לציין שהפעולה בינם היא חיבור וגם נסמן קו תחתון שמתחתיו תירשם התוצאה".
28
31
──
"כעת נחבר כל זוג שתי ספרות יחדיו, ספרה עליונה עם הספרה שמתחתיה. הנה 8 ועוד 1 הם 9. נרשום את תוצאת חיבור זו של שתי ספרות האחדות כספרת האחדות של תוצאת החיבור".
28
31
──
9
"ועכשיו נסיים את חיבור שני המספרים עם חיבור שתי ספרות העשרות. 2 ועוד 3 הם 5. הנה כך"
28
31
──
59
"כלומר, בשתי הכיתות יחד ישנם 59 תלמידים", הכריזה גלית בניצחון.
"רגע, גם אני רוצה לחבר שני מספרים", אמרה דנה. "החולצה החדשה שלי עלתה 38 שקלים, והמכנסיים החדשים שלי עלו 54 שקלים. עכשיו אני אחבר את שני המספרים ואדע כמה הם עלו יחד". דנה החלה בחיבור שני המספרים:
38
54
──
"עכשיו, 8 ועוד 4 הם 12", אמרה דנה בקול, "ארשום את התוצאה 12".
38
54
──
12
"ועכשיו אמשיך לחיבור שתי הספרות האחרות. 3 ועוד 5 הם 8. לכן סך הכול החולצה והמכנסיים עלו לי... "
38
54
──
812
"... רגע, זה לא הגיוני! לא יתכן שהם עלו כל-כך הרבה יחד". גם גלית הסכימה שהתוצאה לא הגיונית. שמונה מאות שקלים זה סכום גבוה מאוד!
כשגלית הגיע הביתה היא מיד הראתה לאימא שלה את פעולת החיבור שביצעה דנה כדי לחשב כמה עלו לה יחד החולצה והמכנסיים שקנתה.
אימא של גלית מיד הבחינה בטעות והסבירה. "כאשר חיברתם 8 ו- 4 קיבלתם 12". "נכון", אישרה גלית, "וזה מה שרשמנו בשורת התוצאה מתחת לקו החיבור". "פה הטעות", אמרה אימא, "לא נתתי לך הסבר מלא כיצד החיבור מתבצע. אתן לך הסבר מלא עכשיו. כשמחברים שתי ספרות יחד יתכן ונקבל תוצאה הגדולה מ-9 כמו במקרה שלכן שקבלתן 12. במקרה כזה יש לרשום במקום המתאים בשורת תוצאת החיבור רק את ספרת האחדות, שהיא 2 במקרה שלכן, ואת ספרת העשרות של תוצאת החיבור, שהיא 1 במקרה שלכן, יש להעביר הלאה לחיבור שתי הספרות הבאות". "לא בדיוק הבנתי", אמרה גלית, תוכלי להראות זאת בחיבור שני המספרים שנתתי". "כן, בטח. הנה", אמרה אימא של גלית והדגימה:
"נרצה לחבר את שני המספרים, 38 ו- 54. נרשום אותם על דף כמו מקודם ונסמן שהפעולה היא פעולת חיבור ונמשוך קו ישר מתחתיהן שמתחתיו נרשום את תוצאת החיבור. הנה כך"
38
54
──
"עד כאן הכול כרגיל", אמרה גלית. "נכון", אישרה אימא, "עכשיו נחבר 8 עם 4 ונקבל 12 כפי שאתן קיבלתן. קיבלנו מספר המורכב משתי ספרות ולא רק מספרה אחת. לכן נרשום בשורת התוצאה רק את ספרת האחדות של התוצאה 12, כלומר 2".
38
54
──
2
את ספרת העשרות של המספר 12 שקבלנו,שהיא 1, נרשום מעל לשתי הספרות הבאות שעלינו לחבר. כך"
1
38
54
──
2
עכשיו יש לנו שלושה ספרות במיקום של ספרת העשרות. את שלושת הספרות הללו יש לחבר יחד. כלומר נחבר את 1 עם 3 ואת התוצאה עם 5. 1 ועוד 3 הם 4. 4 ועוד 5 הם 9. לכן נרשום 9 במיקום ספרת העשרות בשורת התוצאה. כך"
1
38
54
──
92
"כלומר", סיכמה אימא של גלית, "החולצה והמכנסיים עלו יחד 92 שקלים".
"אוה, עכשיו לגמרי הבנתי", אמרה גלית, "וזו גם תוצאת מחיר הרבה יותר הגיונית מה- 800 ומשהו שלקים שיצאה לדנה ולי".
"רק עוד הערה אחת, גלית. אם חיבור הספרות בעמודה האחרונה נותן מספר הגדול מ-9, כלומר מספר של יותר מספרה אחת, אז יש לרשום את ספרת העשרות שהתקבלה ישר בשורת התוצאה". "למה בדיוק הכוונה?", שאלה גלית. "הנה אראה זאת שוב בעזרת דוגמה של חיבור שני מספרים", אמרה אמה.
"נניח שמחיר החולצה של דנה היה 78 שקלים במקום 38. אז החיבור בין שני המספרים היה נראה כך"
78
54
───
"כעת נחבר כמו מקודם את שתי הספרות שבעמודה של ספרת האחדות של שני המספרים. כלומר נחבר את 8 עם 4 ונקבל 12 כמו מקודם".
1
78
54
───
2
"ועכשיו", המשיכה אימא של גלית, "נחבר את שלושת הספרות שבעמודת העשרות. כלומר, נחבר את 1 עם 7 ונקבל 8. נחבר את התוצאה 8 עם 5 ונקבל 13. נרשום את ספרת האחדות של תוצאת החיבור 13, שהיא הספרה 3, בשורת התוצאה, משמאל לספרה 2".
1
78
54
───
32
"את ספרת העשרות של התוצאה 13, שהיא הספרה 1, נרשום בעמודה הבאה של שתי הספרות הבאות".
11
78
54
───
32
"מכיוון שבעמודה השלישית והאחרונה יש רק ספרה אחת נעתיק אותה ישר מטה לשורת התוצאה במקום המתאים, כלומר במקום של ספרת המאות. כך"
11
78
54
───
132
"ולכן אם החולצה הייתה עולה 78 שקלים במקום 38 שקלים היה על דנה לשלם 132 שקלים", סכמה אימא של גלית.
"לא מדויק", אמרה גלית וחייכה. "למה?", שאלה אימא, "יש לי טעות?". "כן", אמרה גלית, "לא על דנה היה לשלם 132 שקלים, אלא על אימא של דנה".
שיטה כללית לביצוע פעולת החיבור
השיטה הכללית לביצוע פעולת חיבור בין שני מספרים היא:
1. נרשום את שני המספרים שיש לחבר אחד מתחת לשני, תוך הקפדה על כך שכל ספרה במספר התחתון תירשם מתחת לספרה המקבילה לה והזהה לה במשקל במספר העליון.
2. נרשום את סימן פעולת החיבור משמאל למספר התחתון וגם נעביר קו מתחת למספר.
3. נחבר יחד כל זוג שתי ספרות, אחת עליונה והשנייה תחתונה.
i. את ספרת האחדות של תוצאת החיבור נרשום בשורת התוצאה, בעמודה של זוג הספרות שחוברו.
ii. את ספרת העשרות של תוצאת החיבור נרשום מעל הספרה הבאה במספר העליון כדי לחברה יחד עם זוג הספרות הבא.
הערה: בצעד מספר 3 יתכן ותהיינה 3 ספרות לחבר יחד כתוצאה מחיבור שתי הספרות הקודמות.
דוגמאות לחיבור שני מספרים גדולים
כעת לאחר ששיטת פעולת החיבור בין שני מספרים ברורה לנו נוכל לחבר כל שני מספרים יהא גודלם אשר יהא. להלן שלושה דוגמאות לחיבור בין שני מספרים גדולים באורך של מספר ספרות:
דוגמא א'
827
345
────
1
827
345
────
2117
דוגמה ב'
3092
67038
─────
11
3092
67038
─────
70130
דוגמה ג'
4509709631
3459449
──────────
1 11 11
4509709631
3459449
──────────
4513169080
חוק החילוף
בפעולת החיבור ניתן להחליף בין מיקום שני המספרים המחוברים ועדיין לקבל את אותה תוצאת סכום. נראה זאת בדוגמה הבאה:
וניתן להחליף בין המחובר הראשון והמחובר השני ועדיין לקבל את אותה התוצאה,
למשל, אין זה משנה אם היו לשמעון 2 שקי קמח והוא קיבל עוד 4 שקים או אם היו לו 4 שקים והוא קיבל עוד 2 שקים. התוצאה היא אותה תוצאה, כעת יש לשמעון 6 שקי קמח.
4.2 חיסור
מבוא
בפרק הקודם הדן בפעולת חיבור הזכרנו את גלית החוגגת את יום-הולדתה בשתי מסיבות נפרדות. גלית ואימא שלה חיברו את 12 המוזמנים למסיבה הראשונה עם 13 המוזמנים למסיבה השנייה ומצאו כי סך-הכול לשתי המסיבות ישנם 25 מוזמנים. אימא של גלית קנתה 28 שקיות הפתעה כדי שאם יבואו בהפתעה יותר אורחים מאלו שהזמינו תהיה גם להם שקית הפתעה.
"ומה אם לא יגיעו אורחים נוספים?", שאלה גלית. "במקרה זה את שקיות ההפתעה המיותרות תוכלי לשמור לעצמך", אמרה אימא. "אבל כמה שקיות יישארו לי במקרה כזה?", שאלה חגית ולא ידעה כיצד לחשב זאת.
"כדי לחשב זאת", אמרה אימא, "תצטרכי לחשב את ההפרש בין מספר שקיות ההפתעה שקניתי לבין מספר האורחים שיגיעו". "כדי לחשב את ההפרש", הוסיפה אימא, "יש לבצע פעולת חיסור בין שני המספרים". "כיצד מבצעים פעולת חיסור בין שני מספרים?", שאלה גלית ולא ידעה מה עליה לעשות.
דוגמה לפעולת חיסור ללא פריטה
"חישוב של פעולת חיסור נעשה באופן דומה לחישוב של פעולת חיבור", אמרה אימא של גלית. "תחילה יש לרשום את שני המספרים על הדף. כאשר המספר הראשון שירשם, המספר העליון מבין השניים, הוא המספר שממנו יש לבצע את החיסור (את ההפחתה). המספר השני שירשם, המספר התחתון מבין השניים, הוא המספר שאותו יש להחסיר (להפחית) מהמספר הראשון". "ההסבר קצת ארוך מידי", אמרה גלית, "אולי תדגימי בעזרת החישוב שאני צריכה לבצע?".
"כן, אני אדגים", אמרה אימא של גלית, "קודם נרשום את מספר שקיות ההפתעה, שהוא 28. מתחתיו נרשום את מספר האורחים הצפויים להגיע, שהוא 25. כך"
28
25
"מספר האורחים, 25, הוא המחסר של פעולת החיסור. יש לך כעת 28 שקיות הפתעה. כל אורח שיגיע יקבל ממך שקית אחת, כלומר יחסיר שקית אחת ממספר השקיות שיש לך". מספר השקיות, 28, הוא המחוסר של הפעולה, כי ממנו מחוסר ערך של 1 עבור כל אורח שהגיע".
"כך רשמנו את המחוסר ואת המחסר אחד מתחת לשני, כשאנחנו מקפידים לרשום את שני המספרים ספרה מעל ספרה. כעת," אמרה אימא, "נוכל גם לסמן את סימן החיסור בצד שמאל כדי לסמן שהפעולה המבוצעת היא פעולת חיסור. בנוסף נעביר גם קו מתחת לשני המספרים אשר מתחתיו תרשם תוצאת פעולת החיסור".
28
25 -
───
"תוצאת פעולת החיסור נקראת הפרש", הוסיפה אימא של גלית. "את ההפרש נחשב כך. קודם נפחית מספרת האחדות של המספר המחוסר, שהיא הספרה 8, את ספרת האחדות של המספר המחסר, שהיא הספרה 5. נקבל ש- 8 פחות 5 נותן 3 וזוהי ספרת האחדות של תוצאת ההפרש. כך"
28
25 -
───
3
"כעת נפחית מספרת העשרות של המספר המחוסר, שהיא הספרה 2, את ספרת העשרות של המספר המחסר, שגם היא הספרה 2. נקבל ש- 2 פחות 2 נותן 0 וזוהי ספרת העשרות של תוצאת ההפרש. כך"
28
25 -
───
03
"מכיוון שספרת העשרות היא הספרה האחרונה במספר אז ניתן להשמיט אותה אם ערכה אפס ולכן התוצאה היא בעצם 3. כלומר, אם בדיוק כל האורחים יגיעו לשתי המסיבות ורק הם, אז יישארו בידייך 3 שקיות הפתעה מיותרות".
"למסיבה הראשונה מוזמנים 12 אורחים" אמרה גלית. "אם יגיעו כל 12 המוזמנים אז מתוך 25 שקיות ההפתעה שקנית כמה יישארו לי למסיבה השנייה?", היא הוסיפה ושאלה. "תנסי קודם לחשב בעצמך. אני כאן אעזור לך אם תצטרכי". גלית החלה לרשום את החישוב. "28 שקיות הפתעה שנקנו פחות 12 שקיות הפתעה
שיינתנו לאורחים של המסיבה הראשונה ישאירו לי..."
28
12 -
───
16
"כלומר יישארו לי 16 שקיות הפתעה לחלק לאורחי המסיבה השנייה". "נכון מאוד!", אמרה אימא שלה.
דוגמה לפעולת חיסור עם פריטה
גלית הסתכלה לרגע על הדף ולא הבינה משהו. "מה הבעיה?", שאלה אותה אימא. "משהו לא ברור לי. איך יש לבצע את החישוב עבור 12 אורחים אני מבינה. גם עבור 11 ו-10 אורחים אני אצליח לחשב ולראות שהתוצאות מהחישוב הן 17 ו-18 בהתאמה. אך איך יש לחשב עבור 9 אורחים. איך מחסרים 9 מתוך 28, או יותר נכון איך מחסרים 9 מ- 8?!". גלית החלה לרשום את חישוב פעולת החיסור עבור 9 ולא ידעה כיצד להמשיך:
28
9 -
───
?
אימא של גלית הסבירה, "בפעולת החיבור אם תוצאת החיבור של שתי ספרות הייתה גדולה מעשר, אז רשמנו רק את ספרת האחדות בשורת התוצאה ואת ספרת העשרות (שהיא תמיד הייתה 1) הוספנו לחישוב החיבור של שתי הספרות הבאות. כאן יתבצע משהו דומה אך לגמרי הפוך."
"רגע", קטעה גלית את ההסבר, "למה תמיד בחיבור שני מספרים התקבל שספרת העשרות שנעביר היא 1?".
"כי הסכום המרבי האפשרי מחיבור שתי הספרות הראשונות הוא 9+9=18, והסכום המרבי האפשרי מחיבור כל שתי ספרות לאחר מכן הוא 1+9+9=19. ה- 1 הנוסף בחיבור הוא למקרה שיש להעביר ספרה מזוג הספרות הקודם", הסבירה אימא.
"עכשיו אני אמשיך את ההסבר לגבי החיסור מהיכן שהפסקתי", אמרה אימא והמשיכה, "בחיסור יתבצע משהו דומה לחיבור אך לגמרי ההפך ממנו. גם כיווּן ההעברה הוא הפוך וגם הפעולה היא הפוכה. בפעולת החיסור אם תוצאת החיסור של שתי ספרות היא שלילית, אז יש לגרוע אחד מהחישוב של שתי הספרות הבאות ולהעבירו כערך של עשר אל חישוב זוג הספרות הנוכחי שלפניו".
"למה אחד שגורעים מחישוב זוג הספרות הבא שווה להוספת עשר לחישוב זוג הספרות הנוכחי?", קטעה גלית בשאלה.
"כי בייצוג מספר בבסיס עשרוני משקל כל ספרה הוא פי עשר מקודמתה. לכן, כשגורעים אחד מהספרה הבאה יש להוסיף במקומה עשר לספרה הקודמת. למעשה, פעולה זו דומה לפעולת פריטה של כסף. אם מטבע של שקל אחד שווה לעשרה מטבעות של 10 אגורות כל אחד, אז פריטה של מטבע אחד של שקל אחד תיתן עשרה מטבעות של עשר אגורות. עכשיו ארשום על הנייר את כל זה ואשלים את פעולת החיסור:
10 1
8
9 -
───
19
"לשמם נוחות הקריאה נרשום את המספר 28 עם רווח בין ספרת האחדות לספרת העשרות. כך נוכל לראות ברור יותר את תהליך הפריטה", אמרה אימא של גלית והמשיכה...
"פרטתי אחד מעמודת משקל העשרות של המספר העליון שהיא הספרה 2, תוצאת הפריטה היא עשר אחדות שנוספו לעמודת המשקל הקודמת, משקל האחדות, שבה נמצאת הספרה 8. לאחר פעולת הפריטה ניתן לחזור לחישוב הרגיל והפשוט. כעת יש מספיק אחדות במספר הראשון, המחוסר, כדי שהחסרת המחסר תיתן תוצאה חיובית. ואכן החישוב של 10 ועוד 8 פחות 9 נותן תוצאה חיובית של 9. נרשום תוצאה זו בשורת התוצאה. ספרת העשרות במספר הראשון, המחוסר, עומדת לבדה לכן נעתיק אותה ללא שינוי לשורת התוצאה. רק נזכור כמובן שפרטנו ממנה 1 ולכן נעתיק אותה בחיסור ה- 1 שפרטנו ממנה, כלומר נרשום את תוצאת החיסור של 2 פחות 1, הלא היא 1".
"אני חושבת שלגמרי הבנתי את עניין החיסור", אמרה גלית, "אבל אצטרך דוגמה נוספת". אימא של גלית חשבה לרגע ואז אמרה: "הנה אני אנסה להדגים את דרך החישוב עם דוגמה מספרית של 100 פחות 1. התוצאה כמובן צריכה להיות 99". כך אמרה אימא של גלית והחלה לרשום את החישוב הבא על הדף:
0 0 1
1 -
───────
?
בחיסור בין זוג הספרות הראשון התוצאה היא שלילית, כי 0 קטן יותר מ- 1. לכן צריך לפרוט אחד מחישוב זוג הספרות הבא שבמשקל העשרות. אבל הספרה הבאה אשר ממנה נרצה לפרוט היא 0. נעבור לכן לזוג הספרות הבא שבמשקל המאות. בזוג הספרות הבא כבר ניתן לפרוט. נפרוט את ה- 1 שבמשקל המאות לעשר עשרות".
10
0 0
1 -
───────
?
"עכשיו יש ערך שונה במשקל ספרת העשרות ולכן נוכל לפרוט מערך זה 1 לטובת חישוב החיסור של זוג הספרות שבמשקל העשרות. כך"
9 10
0 0
1 -
───────
?
"עכשיו נוכל לחשב את פעולת החיסור של זוג הספרות שבמשקל האחדות וגם למעשה את פעולת החיסור בשאר המשקלים".
9 10
0 0
1 -
───────
9 9
פעולת חיסור עם תוצאה שלילית
"המממ... את עניין הפריטה הבנתי עכשיו לגמרי", אמרה גלית, "כל פריטה של 1 מוסיפה 10 לחישוב המתבצע במשקל הקודם. אבל עכשיו לא ברור לי משהו אחר. עד עכשיו החסרנו מספר חיובי ממספר חיובי. אפס הוא לא מספר חיובי, אבל אני יודעת שלהחסיר אפס מכל מספר לא ישנה את המספר ואפס פחות מספר חיובי ייתן כתוצאה את אותו ערך של המספר החיובי רק כערך שלילי. הנה כך"
3 0
0 - 3 -
── ──
3 3-
"החישוב הראשון הוא פשוט והגיוני", המשיכה גלית, "הרי אם אחרי שתי המסיבות, למשל, נשארו לי 3 שקיות הפתעה והגיעו פתאום אפס אורחים נוספים שקבלו ממני אפס שקיות הפתעה (כלומר, שום אורח נוסף לא הגיעה ושום שקית הפתעה נוספת לא חולקה) אז עדיין יישארו לי 3 שקיות הפתעה. החישוב השני נראה לי קצת מוזר. אולי תתני לי דוגמה למקרה שחישוב כזה מתאים לו, אימא?", הציעה גלית בשאלתה.
"דווקא יש לי דוגמה למקרה כזה", אמרה אימא, "נניח מקרה הפוך של מספרים. נניח שבמקום לקנות 28 שקיות ל- 25 מוזמנים אקנה רק 25 שקיות ל- 28 מוזמנים, מתוך מחשבה שלא כל המוזמנים אכן באמת יגיעו. אבל, אם אכן יגיעו כל המוזמנים אז לאחר שיגיעו 25 אורחים יאזלו כל 25 השקיות שקניתי לך. כשיגיעו שלושת האורחים האחרונים (אורח מספר 26 ,אורח מספר 27 ואורח מספר 28) מספר השקיות שיישארו אצלך הם "פחות שלוש". כלומר, לא רק שלא תישאר לך שום שקית הפתעה, אלא את אפילו תהיי חייבת 3 שקיות. את תהיי בחוב של 3 שקיות הפתעה. אם, למשל, למחרת אני אקנה לך 4 שקיות הפתעה נוספות רק אחת תהיה באמת שלך כי 3 מהם את חייבת לתת לאורחים שלא קיבלו שקית הפתעה."
"הבנתי", אמרה גלית, "פעולת החיסור יכולה לתת תוצאה שלילית, ומשמעות תוצאה זו היא כמות של חוב".
פעולת חיסור עם מחוסר שלילי
"עכשיו לגמרי הבנתי את המשמעות של להחסיר אפס ממספר ושל להחסיר מספר מאפס", סיכמה דנה. "אבל האם אפשר להחסיר לא רק מספרים חיוביים או אפס אלא גם מספרים שליליים? ואם כן מה המשמעות של -
1. להחסיר ממספר שלילי, כלומר ערך שלילי למחוסר?
2. להחסיר מספר שהוא בעצמו שלילי, כלומר ערך שלילי למחסר?
3. ואולי אפילו ניתן לשלב בין השניים ולהחסיר מספר שלילי ממספר שלילי?"
"לאט לאט נעבור בהצלחה גם את שלושת המקרים הללו", אמרה אימא של גלית. "קודם ננסה בעזרת דוגמה לתת משמעות למקרה הראשון. המקרה הראשון הוא מקרה של מספר שלילי שמחסירים ממנו מספר חיובי. נמשיך את הדוגמה הקודמת בה קניתי לך רק 25 שקיות הפתעה, אבל הגיעו למסיבה שלך 28 אורחים. כך נוצר לך חוב שלילי של 3 שקיות הפתעה. מספר שקיות ההפתעה בערימת שקיות ההפתעה שלך הוא למעשה 3-."
"כעת נניח שהגיעו לפתע עוד שני אורחים שגם להם את צריכה לתת שתי שקיות מערימת שקיות ההפתעה שלך. אבל הרי כבר אין לך עוד שקיות הפתעה לחלק, להיפך, את בחוב של 3 שקיות הפתעה שכעת יגדל לחוב של חמש שקיות הפתעה. כשהיו לך שקיות הפתעה כל הפחתה גרמה לכך שמספרן יקטן. כשאין לך שקיות הפתעה או כשיש לך חוב של שקיות הפתעה כל הפחתה נוספת גורמת רק להגדלת החוב."
"הכלל הוא שהוספת חוב לחוב קיים רק מגדילה את החוב. לכן", והיא רשמה על הדף את הכלל הבא:
במקרה שהמחוסר שלילי: יש לחבר את שני המספרים כאילו היו חיוביים ולצרף לתוצאת החיבור את הסימן השלילי.כך מתקבל ש-
-3 - 2 = -5
פעולת חיסור עם מחסר שלילי
אימא של גלית פתחה והסבירה בדבריה, "המקרה השני הוא מקרה של החסרה של מספר שלילי ממספר חיובי. גם את האפשרות למקרה זה נסביר בעזרת דוגמה. נניח שקניתי לך 28 שקיות הפתעה והגיעו 25 אורחים כך שנשארו בידייך רק עוד 3 שקיות הפתעה. אורח נוסף מגיע ורואה את ערימת השקיות הקטנה מאוד. הוא מבחין בחשש שלך שערימת שקיות ההפתעה שלה תגמר לגמרי ושלא יהיה בידה מה לחלק עם יגיעו עוד אורחים. האורח הנוסף שהגיע מציע לך, גלית, שהוא לא ייקח שקית הפתעה עכשיו אלא רק אם תיוותר אחת אחרי שכל האורחים הבלתי צפויים יגיעו".
"את מודה לאורח ורושמת על פתק שאת מניחה בצד שאת חייבת לו שקית הפתעה אחת. למרות שנותרו 3 שקיות הפתעה בערימה הרי שלרשותך החופשי ישנן רק 2 שקיות הפתעה, כי הרי את בחוב של שקית הפתעה אחת".
"כעת מגיעה אורח בלתי צפוי נוסף ואחרון למסיבה. גם אורח זה רואה את 3 שקיות ההפתעה ואת מבטך העצוב. הוא שואל אותך למה את עצובה ואת מסבירה לו שאפילו למרות שישנן 3 שקיות הפתעה בערימה ברשותך בעצם רק 2 שקיות הפתעה. את מראה לו את הפתק בו רשום החוב של שקית הפתעה אחת. אורח אחרון זה במקום גם הוא לגרוע ממך שקית הפתעה נוספת נוטל לידיו את הפתק ואומר שהוא ישלם את החוב הזה לאורח שהגיע לפניו. אורח אחרון זה בעצם גורע ממך את החוב של שקית הפתעה אחת שהתחייבת לתת לאורח הקודם".
"עכשיו, נשאלת השאלה כמה שקיות הפתעה נשארו ברשותך לאחר שהאורח האחרון לקח ממך את הפתק ובו החוב של שקית הפתעה אחת?"
"התשובה לכך היא פשוטה, ישנן 3 שקיות הפתעה בערימה. מתוך 3 השקיות את התחייבת בפתק לתת אחת לאחד האורחים. לכן היו ברשותך בעצם רק 2 שקיות הפתעה. האורח האחרון שהגיע היה אמור לקחת שקית הפתעה אחת ובכך להפחית את מספר שקיות ההפתעה שברשותך מ-2 ל- 1. אבל האורח האחרון לא לקח שקית הפתעה, אלא דווקא לקח את הפתק עם החוב. עם ביטול החוב חזר מספר שקיות ההפתעה שברשותך בחזרה ל- 3".
"הכלל הוא שהפחתה של חוב מכמות קיימת רק מגדילה את הכמות הכללית. לכן", והיא רשמה על הדף את הכלל הבא:
במקרה שהמחסר שלילי: יש להחליף את הפעולה מחיסור לחיבור ולהפוך את המחסר משלילי לחיובי.כך מתקבל ש-
2 - -1 = 2 + 1 = 3
פעולת חיסור עם מחוסר ומחסר שליליים
"כעת הגענו למקרה השלישי", אמרה אימא של גלית והמשיכה, "המקרה השלישי והאחרון הוא קצת קשה יותר להבנה. נניח שכל שקיות ההפתעה בערימת השקיות שלך אזלו. עכשיו לאחר שכולן אזלו כשיגיע אורח ותרצי לתת לו שקית הפתעה לא תוכלי לתת לו מייד. תיאלצי להגיד לו שתתני לו שקית הפתעה ברגע שיהיו לך שקיות הפתעה נוספות".
"|לרוע המזל הגיעו 3 אורחים אחרי שכל שקיות ההפתעה אזלו. את נאלצת להתחייב לתת לכל אחד מהם שקית הפתעה ברגע שיהיו לך שקיות חדשות נוספות. על 3 פתקים קטנים רשמת את חובך בסך 3 שקיות הפתעה. כלומר, תרשמי בכל פתק את המספר השלילי 1-".
"אחרי שלושת האורחים הללו מגיע אורח מאוד נחמד. אורח זה, כמו מקרה השני בו דנו קודם, לא רק שאינו רוצה להחסיר שקית הפתעה ממך הוא אפילו רוצה להחסיר ממך חלק מחובך. כלומר הוא רציתי להחסיר ממך מספר שלילי של שקיות הפתעה. אותו אורח נחמד מחסיר ממך שני פתקים שבכל אחד מהם התחייבת לתת שקית הפתעה אחת. במילים אחרות, אותו אורח נחמד מחסיר שתי שקיות הפתעה מחובך. הוא לוקח מידך שני פתקי חוב".
"כעת נשאלת השאלה כמה שקיות הפתעה ברשותך?"
"כל שקיות ההפתעה אזלו מערימת שקיות ההפתעה שלך ואז הופיעו 3 אורחים נוספים. עבור כל אחד מהם רשמת פתק בו התחייבת לשקית הפתעה אחת. סך הכול צברת חוב של 3 שקיות הפתעה ולכן מספר שקיות ההפתעה שהיה לך בשלב זה הוא 3-".
"האורח הנחמד לקח ממך שני פתקי חוב ולמעשה בכך צמצם והפחית את חובך לשקית הפתעה אחת. הוא הפחית 2- שקיות הפתעה מערימת 3- שקיות ההפתעה שלך. תוצאת פעולת הפחתה זו הייתה צמצום והפחתה של החוב לשקית הפתעה אחת בלבד. ערימת השקיות שברשותך מכילה כעת רק חוב של שקית הפתעה אחת, כלומר 1- שקיות הפתעה".
"גם כאן יש מקרה של הפחתה של מספר שלילי וגם כאן ניתן להחליף את פעולת החיסור של מספר בעל ערך שלילי לפעולת חיבור של מספר בעל ערך חיובי."
"הכלל הוא שהפחתה של חוב מחוב קיים מקטינה את החוב מגדילה את הכמות הכללית. לכן", והיא רשמה על הדף את הכלל הבא:
במקרה שהמחוסר וגם המחסר שליליים: יש להחליף את המחוסר במחסר להיפך ולרשום אותם עם ערכיהם ללא סימן השלילה.כך מתקבל ש-
-3 - -2 = 2 - 3 = -1
סיכום פעולת החיסור
לסיכום, נרשום בטבלה את המקרה הרגיל של חיסור ואת 3 המקרים המיוחדים שבהם דנו:
| מקרה | סימן המחוסר | סימן מחסר | הפעולה שיש לבצע בין ערכם החיובי של שני המספרים | סימן תוצאת הפעולה |
|---|---|---|---|---|
| רגיל | חיובי (+) | חיובי (+) | חיסור | לפי תוצאת הפעולה |
| מיוחד 1 | שלילי (-) | חיובי (+) | חיבור | - |
| מיוחד 2 | חיובי (+) | שלילי (-) | חיבור | + |
| מיוחד 3 | שלילי (-) | שלילי (-) | החלפת מקומות של המחוסר והמחסר חיסור | לפי תוצאת הפעולה |
חוק החילוף
בפעולת החיסור לא ניתן להחליף בין מיקום שני המספרים, המחוסר והמחסר ועדיין לקבל את אותה תוצאת הפרש.
למשל, אם לשמעון היו 6 שקי קמח והוא הבטיח לתת לבניו 2 שקים, אז כעת יש לו 4 שקי קמח:
לעומת זאת אם היו לו רק 2 שקי קמח והוא הבטיח לתת לבניו 6 שקים, אז הוא נמצא כעת בחוב של 4 שקי קמח:
אם מחליפים את המחוסר במחסר נקבל את אותו ערך מספרי (4 בדוגמה שלעיל) אך כל פעם עם סימן מקדים שונה.
4.3 כפל
מבוא
עד כה הכרנו את שתי פעולות החישוב הבסיסיות של חיבור וחיסור. בפרק זה נכיר את פעולת החישוב של הכפל. נפתח כדרכנו בדוגמה,
אימא של גלית קנתה 5 חבילות ממתקים לכיבוד עבור האורחים. בכל חבילת ממתקים ישנן 3 חפיסות שוקולד גדולות. כמה חפיסות שוקולד קנתה אימא של גלית?
ניתן לחשב זאת בעזרת פעולת חיבור כך:
בחבילת ממתקים אחת ישנם 3 חפיסות שוקולד.
ולכן,
בשתי חבילות ממתקים תהינה 6 = 3+3 חפיסות שוקולד.
בשלוש חבילות ממתקים תהינה 9 = 3+3+3 חפיסות שוקולד.
בארבע חבילות ממתקים תהינה 12 = 3+3+3+3 חפיסות שוקולד.
בחמש חבילות ממתקים תהינה 15 = 3+3+3+3+3 חפיסות שוקולד.
כדי לחשב פעולת חיבור בין יותר משני מספרים, כמו בדוגמה שלעיל, אפשר לחבר כל פעם רק שני מספרים. למשל,
6 + 6 + 3 = ?
6 + 6 + 3 = ?
12 + 3 = 15
כלומר, כדי לחשב את סכום סך חפיסות השוקולד חיברנו את כמות חפיסות השוקולד בחבילת ממתקים אחת כמספר חבילות הממתקים שישנם. לדוגמה, אם אימא של גלית הייתה קונה 8 חבילות ממתקים (במקום 5) אז סכום מספר חפיסות השוקולד היה:
6 + 6 + 6 + 6 = ?
6 + 6 + 6 + 6 = ?
12 + 12 = 24
כפי שניתן לראות ככל שמספר חבילות הממתקים גדל כך החישוב בעזרת פעולת החיבור הופך לארוך יותר. למשל, אם אימא של גלית הייתה קונה 13 חבילות ממתקים, אז מספר חפיסות השוקולד הכולל היה:
במקרים אלו עדיף לערוך את החישוב בעזרת פעולת הכפל. פעולת הכפל הינה בעצם ביצוע מקוצר של הרבה פעולות חיבור של אותו המספר בפעולה אחת. הסמל של פעולת כפל בין שני מספרים הוא x. למשל, בדוגמה המספרית האחרונה שלנו אנחנו רוצים לחבר 13 פעמים את אותו המספר שהוא 3. רישום בעזרת פעולת החיבור יהיה כפי שכבר ראינו כך:
ורישום בעזרת פעולת הכפל יהיה כך:
כבר כעת ניתן להבחין את יתרונה של פעולת הכפל שהיא מאפשרת רישום מקוצר של פעולת החיבור הארוכה. אך יתרונה החשוב של פעולת הכפל הוא לא בקיצור הרישום, אלא במהירות החישוב כפי שנראה מייד.
המספר הראשון בכפל, המופיע משמאל לסימן הכפל, מכונה "נִכְפַּל". בביטוי האלגברי שלעיל המספר 13 נכפל 3 פעמים.
המספר השני בכפל, המופיע מימין לסימן הכפל, מכונה "כּוֹפֶל". בביטוי האלגברי שלעיל המספר 3 כופל את המספר 13 שלוש פעמים.
תוצאת המכפלה קרויה בשם "מנה". בביטוי שלעיל מנת המכפלה בין הנכפל לכופל אינה ידועה והיא מסומנת בסימן שאלה.
זיהוי פעולת הכפל בבעיה
לרוב נזהה מתי יש להשתמש בפעולת הכפל בבעיית חשבון כאשר מופיעה בה או שניתן לתאר אותה עם המילה "פעמים" או המילה "של".
נדגים זאת בעזרת הבעיה שהוצגה במבוא: אימא של גלית קנתה 5 חבילות ממתקים לכיבוד עבור האורחים. בכל חבילת ממתקים יש שלושה חפיסות שוקולד גדולות.
ניתן לרשום בעיה זו גם כך:
5 חבילות של 3 חפיסות שוקולד האחת
5 פעמים 3 חפיסות שוקולד
במקרה של הכפלה ב- 1 נשתמש בצורת יחיד של המילה "פעמים", כלומר במילה "פעם". למשל,
חוק החילוף
בפעולת הכפל (כמו בפעולת החיבור ושלא כמו בפעולת החיסור) ניתן להחליף בין מיקום שני המספרים המוכפלים, הנכפל והכופל, ועדיין לקבל את אותה מנת תוצאה. נראה זאת בדוגמה הבאה:
וניתן להחליף בין הנכפל לכופל ועדיין לקבל את אותה התוצאה,
לוח הכפל
כדי לבצע פעולת כפל בין שני מספרים עלינו להכיר קודם את לוח הכפל. לוח הכפל מכיל את תוצאות ההכפלה של כל מספר בין 1 ל- 9 בין כל מספר בין 1 ל- 9. הנה לוח הכפל:
| 9 | 8 | 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | x |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 9 | 8 | 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 1 |
| 18 | 16 | 14 | 12 | 10 | 8 | 6 | 4 | 2 | 2 |
| 27 | 24 | 21 | 18 | 15 | 12 | 9 | 6 | 3 | 3 |
| 36 | 32 | 28 | 24 | 20 | 16 | 12 | 8 | 4 | 4 |
| 45 | 40 | 35 | 30 | 25 | 20 | 15 | 10 | 5 | 5 |
| 54 | 48 | 42 | 36 | 30 | 24 | 18 | 12 | 6 | 6 |
| 63 | 56 | 49 | 42 | 35 | 28 | 21 | 14 | 7 | 7 |
| 72 | 64 | 56 | 48 | 40 | 32 | 24 | 16 | 8 | 8 |
| 81 | 72 | 63 | 54 | 45 | 36 | 27 | 18 | 9 | 9 |
לוח הכפל
את תוצאות ההכפלה הרשומות בלוח הכפל ניתן לקבל בעזרת ביצוע פעולות של חיבור ארוכות. למשל,
1 x 9 = 9
4 x 5 = 5+5+5+5 = 10+10 = 20
7 x 8 = 8+8+8+8+8+8+8 = 16+16+16+8 = 32+24 = 56
תוצאות ההכפלה הבסיסיות הללו ישמשו אותנו כדי לחשב הכפלה בין כל שני מספרים, לא משנה מה גודלם. לכן חשוב ללמוד בע"פ את לוח הכפל.
ניתן לראות שבלוח הכפל ישנן תוצאות הכפלה החוזרות על עצמן. עובדה זו נובעת מחוק החילוף של הכפל שלפיו ניתן להחליף את הנכפל והכופל שבמכפלה ולקבל את אותה מנה. למשל,
7 x 5 = 5 x 7 = 35
8 x 9 = 9 x 8 = 72
…
כך למעשה ניתן לרשום לוח כפל מקוצר יותר:
| 9 | 8 | 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | x |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 9 | 8 | 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 1 |
| 18 | 16 | 14 | 12 | 10 | 8 | 6 | 4 | 2 | |
| 27 | 24 | 21 | 18 | 15 | 12 | 9 | 3 | ||
| 36 | 32 | 28 | 24 | 20 | 16 | 4 | |||
| 45 | 40 | 35 | 30 | 25 | 5 | ||||
| 54 | 48 | 42 | 36 | 6 | |||||
| 63 | 56 | 49 | 7 | ||||||
| 72 | 64 | 8 | |||||||
| 81 | 9 | ||||||||
לוח כפל מקוצר
דרך להכפלת שני מספרים
לאחר ששיננו בעל-פה את לוח הכפל נוכל לבצע הכפלה בין כל שני מספרים גדולים ככל שיהיו.
נרשום את שני המספרים שברצוננו להכפיל אחד מתחת לשני ונוסיף את סימל הכפל כדי לציין שהפעולה המבוצעת היא הכפלה. נעביר קו תחתון מתחת למספר השני, מתחת לקו זה תירשם מנת המכפלה. למשל, הנה דוגמה להכפלת המספר 13 ב- 3:
13
3 x
──
כעת נכפיל את הספרה הראשונה מימין שבמספר התחתון, זוהי ספרת האחדות של המספר השני, בספרה המקבילה לה והנמצאת מעליה במספר העליון, זוהי ספרת האחדות של המספר הראשון. התוצאה המתקבלת היא הספרה הראשונה מימין של מנת התוצאה, כלומר ספרת האחדות של מנת התוצאה. הנה כך:
13
3
──
9
נמשיך ונכפיל את אותה ספרת אחדות של המספר השני בספרה הבאה של המספר הראשון, היא ספרת העשרות של המספר הראשון. את תוצאת ההכפלה נרשום מתחת לקו בתור הספרה השנייה של תוצאת המכפלה של שני המספרים. הנה כך:
13
3
──
39
עבור הדוגמה שלנו סיימנו. כלומר,
ניתן לוודא את התוצאה עם חישוב הביטוי האלגברי בעזרת פעולות חיבור בלבד,
נדגים שוב את פעולת הכפל הפעם בין שני מספרים גדולים יותר עם יותר ספרות. קודם נרשום את שני המספרים, את סימן הכפל ואת קו התוצאה. הנה כך:
212
43
────
עכשיו נכפיל את ספרת האחדות שבמספר השני בכל אחת מהספרות שבמספר העליון. כל תוצאת הכפלה נרשום בשורת התוצאה. הנה כך:
212
43
────
636
עכשיו נעבור לספרה הבאה במספר השני, זוהי ספרת העשרות, ונכפיל אותה בכל אחת מהספרות שבמספר הראשון. כל תוצאת הכפלה נרשום בשורת תוצאה חדשה מתחת לשורת התוצאה הקיימת. מכיוון שהכופל הוא עתה ספרת העשרות (ולא האחדות כמוקדם) נתחיל לרשום את תוצאות ההכפלה החל מהמקום של ספרת העשרות. כדי לסמן שרישום תוצאת ההכפלה החל מספרת העשרות נוסיף אפס (מודגש בשחור) שיתפוס את מקום ספרת האחדות. הנה כך:
212
43
────
636
0
ולאחר תפיסת מקום משקל האחדות על-ידי האפס נוכל לבצע את ההכפלה של ספרת העשרות, 4 במספר הראשון. הנה כך:
212
43
────
636
8480
כדי לקבל את תוצאת ההכפלה יש לחבר את שני המספרים המופיעים מתחת לקו. הנה כך:
212
43
────
636
8480
────
9116
והתוצאה הסופית של החישוב היא:
אם בתהליך חישוב ההכפלה מתקבל מספר דו-ספרתי בהכפלה בין שתי ספרות אזי ספרת האחדות תירשם בשורת התוצאה וספרת העשרות תתווסף למכפלה הבאה. זאת בדומה לחישוב פעולת החיבור. לשם דוגמה נחשב את הביטוי האלגברי 56 x 3. נתחיל את החישוב בהכפלת ספרת האחדות של המספר השני בספרת האחדות של המספר הראשון.
1
56
3
───
8
הכפלה של 3 ב-6 נותנת לפי לוח הכפל את מנת המכפלה 3 x 6 = 18. את ספרת האחדות, 8, של המנה 18 נרשום בשורת התוצאה כספרת האחדות של התוצאה. את ספרת העשרות, 1, של המנה 18 נעביר לחישוב המכפלה הבאה.
המכפלה הבאה היא של ספרת האחדות, 3, של המספר השני בספרת העשרות, 5, של המספר הראשון. לתוצאת המכפלה נזכור לחבר את ספרת העשרות שהועברה מהחישוב הקודם. הנה כך:
1
56
3
─────
168
הכפלה של 3 ב- 5 נותנת לפי לוח הכפל את התוצאה 15. לתוצאה זו נזכור לחבר את ספרת העשרות מההכפלה הקודמת ונקבל את התוצאה 16. את התוצאה הזו נרשום בשורת ההכפלה. נרשום את התוצאה 16 במלואה, כלומר את שתי הספרות, כי אין יותר ספרות להכפיל. הנה דוגמה נוספת המתוארת גם היא שלב אחרי שלב:
1
5476
863
──────
8
21
5476
863
──────
28
121
5476
863
──────
428
121
5476
863
────────
16428
5476
863
────────
16428
0
3
5476
863
────────
16428
60
43
5476
863
────────
16428
560
243
5476
863
────────
16428
8560
243
5476
863
─────────
16428
28560
5476
863
─────────
16428
328560
00
4
5476
863
─────────
16428
328560
800
64
5476
863
─────────
16428
328560
0800
364
5476
863
─────────
16428
328560
80800
364
5476
863
─────────
16428
328560
4380800
5476
863
─────────
16428
328560
4380800
───────────
4725788
4.4 חילוק
מבוא
חילוק היא הפעולה ההפוכה לכפל כמו שחיסור היא הפעולה ההפוכה לחיבור. גם פעולת החילוק מתבצעת בין שני מספרים. פעולת החילוק כשמה כן היא, זוהי חלוקה של כמות שלימה למספר חלקים קטנים השווים בגודלם. הכמות השלימה מיוצגת על-ידי המספר הראשון. מספר החלקים השווים שאליהם תתחלק הכמות השלימה מיוצגת על-ידי המספר השני.
המספר הראשון בפעולת החלוקה נקרא מחולק.
המספר השני בפעולת החלוקה נקרא מחלק.
פעולת החלוקה מסומנת על-ידי הסימן ÷.
כשמדובר במספרים קטנים קל לבצע את פעולת החלוקה בחישוב בראש.
לדוגמא, חלוקה של 4 כוסות ל- 4 אנשים משמעה שלכל איש תהיה מתוצאת החלוקה כוס אחת.
חלוקה של 8 צלחות ל- 4 אנשים משמעה שלכל איש תהיינה 2 צלחות.
בשתי הדוגמאות שלעיל תוצאת החלוקה של שני המספרים השלמים גם היא מספר שלם. המספר השלם בתוצאת החלוקה נקרא מנה.
אם כן, קל לחלק מספר קטן במספר קטן אחר. אך כשהחלוקה היא של מספר גדול במספר אחר הופכת פעולת החלוקה לקשה יותר. למשל הנה הבעיה הבאה:
במסגרת מבצע שהיה בחנות הממתקים יכלה אימא של גלית לקנות מארז המכיל 4 שקיות הפתעה במחיר של 48 שקלים למארז אחד. כמה שקלים עולה למעשה כל שקית הפתעה שבמארז?
כדי לפתור את הבעיה ולמצוא כמה עולה שקית הפתעה אחת בודדת שבתוך המארז יש לחלק את המחיר של המארז השלם של 4 השקיות, שהוא 48 שקלים, במספר השקיות שבתוכו, שהוא כאמור 4:
4 שקיות ÷ מחירן של 4 שקיות = מחיר שקית אחת
שיטת החלוקה ללא שארית
לביצוע חלוקה של מספר גדול פותחה שיטת החלוקה הבאה:
ראשית נרשום את המספר שברצוננו לחלק ומעליו ומצדו הימני נעביר קו ישר שבור. הקו השבור מסמן שהפעולה המבוצעת היא חלוקה. הנה כך,
__
4│48
מימין לקו השבור נרשום את מספר החלוקה, המספר בו ברצוננו לחלק את המספר הרשום,
__
4│48
כעת נתחיל לבצע את פעולת החלוקה החל מהספרה השמאלית ביותר במספר אותו אנחנו רוצים לחלק. במקרה שלנו הספרה השמאלית ביותר היא 4,
__
4│48
קל לחשב חלוקה של 4 ב- 4 וחלוקה זו נותנת את התוצאה 1. נרשום תוצאה זו מעל לקו ובמקום שמעל לאותה ספרה במספר שאותה חילקנו. הנה כך,
_1
4│48
כעת נעבור לחלק את הספרה הבאה במספר שאותו אנחנו מחלקים. הספרה הבאה היא הספרה 8.
_1
4│48
נחלק את 8 ב- 4 ונקבל את התוצאה 2. נרשום תוצאה זו מעל לקו ובמקום שמעל לאותה ספרה במספר שאותו חילקנו. הנה כך,
12
4│48
קיבלנו את מנת החלוקה והיא 12. כלומר, 48 שקלים לחלק ל- 4 שקיות נותנת את התוצאה 12 שקלים לשקית אחת.
ניתן לוודא שאכן תוצאת החילוק שקיבלנו נכונה על-ידי ביצוע הפעולה ההפוכה לה – פעולת כפל. נכפיל את תוצאת החלוקה שקיבלנו, 12, במחלק, 4 ונקבל את המספר שחולק, 48. הנה כך,
12
4
──
48
ואכן קיבלנו בתוצאת המכפלה את המספר שחילקנו.
לשם דוגמה נוספת של שיטת החלוקה נחלק מספר גדול נוסף במספר קטן אחר. הנה:
נדגים את שיטת פעולת החלוקה צעד אחרי צעד,
____
2│4286
___2
2│4286
__21
2│4286
_214
2│4286
2143
2│4286
תוצאת החלוקה של 4286 ב- 2 היא 2143.
חלוקה עם שארית
עד כה במהלך הפעלת שיטת החלוקה תמיד קיבלנו מספר שלם בחלוקה. למשל, בדוגמה האחרונה כל הספרות במספר התחלקו בשלמות במספר המחלק. אך לא תמיד יהא זה כך. לפעמים לא נוכל לחלק את כל המספר במחלק ותיוותר שארית שלא ניתן לחלקה עוד. למשל, הנה הדוגמה הבאה:
בתום מסיבת יום-ההולדת נותרו לגלית 7 שקיות הפתעה עודפות. את 7 שקיות ההפתעה המיותרות החליטה גלית לחלק בינה ובין שתי חברותיה הקרובות ביותר. כלומר, גלית רצתה לחלק את 7 השקיות בין שלושתן. כמה שקיות הפתעה תקבל כל אחת מהן?
לשם פתרון בעיה זו יש צורך לחלק את 7 שקיות ההפתעה בין 3 הבנות. הנה כך,
כדי לבצע את החלוקה נחשב בצד כמה פעמים יש 3 ב- 7. לשם כך נחסיר 3 מ- 7 כמה פעמים שרק אפשר עד שיתקבל הפרש של מספר הקטן ממספר החלוקה (שהוא 3 במקרה שלנו). ניתן להחסיר 3 בדיוק 2 פעמים מ-7 מבלי שתתקבל תוצאת החסרה הקטנה ממספר החלוקה,
4 – 3 = 1
אחרי 2 החסרות של מספר החלוקה, 3, מהמספר אותו אנחנו רוצים לחלק, 7, קיבלנו את המספר 1 שממנו לא ניתן יותר להחסיר עוד את מספר החלוקה. המספר העודף שהתקבל מההחסרות הוא השארית המתקבלת מפעולת החלוקה.
שיטת החלוקה עם שארית
כעת נדגים את שיטת החלוקה עם שארית עבור חלוקה של מספר גדול במספר קטן.
עדר הכבשים של ראובן גדל מאוד בשנים האחרונות והוא רצה לחלק אותו שווה בשווה בינו ובין שני בניו. לראובן עדר של 372 כבשים. כמה כבשים יהיו בסוף החלוקה בכל אחד מ-3 העדרים החדשים?
יש לחלק את המספר 372 ל- 3,
נתחיל לבצע את פעולת החלוקה לפי שיטת החלוקה שלמדנו עד כה,
________
3│2 7 3
נחלק את הספרה הראשונה במחלק ונקבל,
_______1
3│2 7 3
2 7
נמשיך ונחלק את הספרה הבאה במספר. הספרה הבאה לחלוקה היא הספרה 7. הספרה 7 מתחלקת פעמיים במחלק 3 (כפי שראינו קודם) ונותרת שארית של 1. נרשום את התוצאה השלימה של החלוקה, 2, בשורת התוצאה שמעל לקו, כרגיל כמקודם.
____2 1
3│2 7 3
2 7
את השארית שהתקבלה, 1, נצרף כספרת עשרות לספרה הבאה במספר שיש לחלק שהיא 2. אם היו עוד ספרות אחרי ה- 2 במספר המחולק אז היינו מעתיקים אותם מטה כמו שהם. צירוף השארית הפך את ספרת האחדות 2 שבמחולק למספר דו-ספרתי בעל הערך 12,
____2 1
3│2 7 3
2 7
12
מכיוון שפעולת החלוקה האחרונה, 7 לחלק ב-3, הסתיימה עם שארית נאלץ לבצע כעת חלוקה של מספר דו-ספרתי, 12, במחלק, 3. חלוקה של 12 ב-3 נותנת תוצאה שלימה של 4. נרשום תוצאה זו בשורת התוצאה במקום המתאים ונקבל,
4 2 1
3│2 7 3
2 7
12
0
הנה דוגמה נוספת המדגימה את שיטת פעולת החלוקה עם שארית.
בספירה חוזרת התברר לראובן שיש לו 405 כבשים בעדר. הוא חילק את העדר לשלושה עדרים שווים. כמה כבשים יש כעת בכל עדר?
נבצע את החלוקה לפי שיטת החלוקה עם שארית אותה כבר למדנו,
________
3│5 0 4
_______1
3│5 0 4
5 10
____3 1
3│5 0 4
5 10
15
5 3 1
3│5 0 4
5 10
15
0
לראובן הייתה הרגשה שהספירה האחרונה גם היא לא הייתה מדויקת. הוא החליט להיעזר בשני בניו ויחד הם ספרו ומצאו שבעדר של ראובן ישנם 426 כבשים! כמה כבשים יהיו כעת בכל אחד משלושת העדרים לאחר החלוקה?
נבצע את החלוקה לפי שיטת החלוקה עם שארית אותה כבר למדנו,
________
3│6 2 4
_______1
3│6 2 4
6 12
____4 1
3│6 2 4
6 12
6
2 4 1
3│6 2 4
6 12
6
0
כלומר, את העדר הגדול של 426 הכבשים ניתן לחלק לשלושה עדרים שבכל אחד מהם יהיו 142 כבשים.
אם במהלך החלוקה ניתקל בצורך לחלק אפס במספר החלוקה אזי התוצאה היא אפס ללא שארית. למשל, כמה כבשים יהיו בכל עדר לאחר החלוקה אם מספר הכבשים בעדר של ראובן היה 309?
נבצע את החלוקה לפי שיטת החלוקה עם שארית אותה כבר למדנו,
______
3│9 0 3
_____1
3│9 0 3
09
___0 1
3│9 0 3
09
9
3 0 1
3│9 0 3
09
9
0
כלומר, העדר של 309 הכבשים יתחלק לשלושה עדרים שבכל אחד מהם 103 כבשים.
חלוקה של מספר כללי במספר כללי אחר
עד כה מספר החלוקה היה מספר חד-ספרתי בלבד. אבל ניתן כמובן לחלק מספר גם במספר דו-ספרתי או תלת-ספרתי או כל מספר אחר בעל מספר אחר של ספרות. במקרים אלו בכל צעד במהלך שיטת החלוקה נחלק מתוך המספר מספר כמספר הספרות של מספר החלוקה. למשל, נראה לדוגמה חלוקה של מספר במספר דו-ספרתי,
______________
23│5 1 0 7
_____________0
23│5 1 0 7
5 1 70
_________3 0
23│5 1 0 7
5 1 70
5 11
_____0 3 0
23│5 1 0 7
5 1 70
5 11
115
5 0 3 0
23│5 1 0 7
5 1 70
5 11
115
0
והנה דוגמה של חלוקה של מספר במספר תלת-ספרתי,
______________________
125│5 7 8 7 6
_____________________0
125│5 7 8 7 6
5 7 8 67
________________0 0
125│5 7 8 7 6
5 7 8 67
5 7 678
___________5 0 0
125│5 7 8 7 6
5 7 8 67
5 7 678
5 537
______4 5 0 0
125│5 7 8 7 6
5 7 8 67
5 7 678
5 537
375
3 4 5 0 0
125│5 7 8 7 6
5 7 8 67
5 7 678
5 537
375
0
והנה דוגמה נוספת,
________________________________
402│0 6 0 2 5 0 8
_______________________________0
402│0 6 0 2 5 0 8
0 6 0 2 5 80
__________________________0 0
402│0 6 0 2 5 0 8
0 6 0 2 5 80
0 6 0 2 805
_____________________2 0 0
402│0 6 0 2 5 0 8
0 6 0 2 5 80
0 6 0 2 805
0 6 0 12
________________0 2 0 0
402│0 6 0 2 5 0 8
0 6 0 2 5 80
0 6 0 2 805
0 6 0 12
0 6 120
___________0 0 2 0 0
402│0 6 0 2 5 0 8
0 6 0 2 5 80
0 6 0 2 805
0 6 0 12
0 6 120
0 1206
______3 0 0 2 0 0
402│0 6 0 2 5 0 8
0 6 0 2 5 80
0 6 0 2 805
0 6 0 12
0 6 120
0 1206
00
0 3 0 0 2 0 0
402│0 6 0 2 5 0 8
0 6 0 2 5 80
0 6 0 2 805
0 6 0 12
0 6 120
0 1206
00
0
חוק החילוף
בפעולת החילוק כמו בפעולת החיסור לא ניתן להחליף בין מיקום שני המספרים, המחולק והמחלק ועדיין לקבל את אותה תוצאת מנה.
למשל, אם לשמעון היו 2 שקי קמח והוא הבטיח לחלק אותם לבנו הבכור בלבד, אז בנו הבכור יקבל שני שקי קמח:
לעומת זאת אם היה לו רק שק קמח אחד והוא הבטיח לחלק אותו שווה בשווה בין שני בניו, אז כל אחד משני הבנים יקבל רק חצי שק קמח:
אך איך מייצגים בעזרת ספרות את המספר חצי?
התשובה לכך בפרק הבא.
[ עמוד ראשי - חשבון | חשבון בסיסי : מנייה חיובית | בסיס עשרוני | מספרים שליליים | פעולות בסיסיות ]
[ עמוד הבית | אודות | זכויות יוצרים | מפת האתר ]