מקדם הבינום

לפני שנלמד מהו מקדם הבִּינוֹם, או מקדם בינומי, נכיר קודם את הבינום. הבינום הוא ביטוי חשבוני מהצורה הכללית הבאה,

(a+b)ⁿ

כאשר n הוא מספר כלשהו.

עבור n=1 נקבל את הביטוי הפשוט הבא,

(a+b)¹ = a+b

עבור n=2 נקבל את הביטוי המוכר לנו מנוסחאות הכפל המקוצר,

(a+b)² = a² + 2ab + b²

עבור n=3 נקבל את הביטוי שגם הוא מוכר לנו מנוסחאות הכפל המקוצר,

(a+b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³

נזכיר שאל נוסחאות הכפל המקוצר ניתן להגיע על-ידי פתיחת הסוגריים תוך הכפלת האיברים שבתוך הסוגריים בהצלבה זה בזה. הנה כך, למשל עבור n=2,

(a+b)² =
(a+b)•(a+b) =
a² + ab + ba + b² =
a² + 2ab + b²

לשורה האחרונה בחישוב שלעיל הגענו תוך שימוש בחוק החילוף הקובע כי לא משנה סדר ההכפלה של שני איברים, a ב- b או b ב- a, מנת ההכפלה תהא תמיד זהה.

בדרך דומה ניתן להוכיח את נוסחת הכפל המקוצר עבור בינום מהמעלה השלישית.

נוסחאות הכפל המקוצר הן למעשה פירוק של הבינום לגורמיו. כל גורם בפירוק הוא מכפלה של a ושל b מספר פעמים כמספר המעלה, n, של הבינום. למשל, את נוסחת הבינום ממעלה שנייה ניתן לרשום בצורה הכללית ביותר גם כך,

(a+b)² = a²b⁰ + 2a¹b¹ + a⁰b²

כל גורם הוא מהצורה a^n-ibⁱ, כאשר i משמש כאינדקס למיקומו של הגורם ברצף הגורמים. סכום החזקות של a ושל b תמיד שווה ל- n. האינדקס i מתחיל מהערך אפס ומתקדם באחד עבור כל גורם עד שמגיע לערך n. לכן, מספר הגורמים שיופיעו מפירוק של בינום יהיה תמיד n+1. ניתן לרשום את תוצאת פירוק הבינום לגורמיו באופן הכללי הבא,

(a+b)ⁿ = □aⁿb⁰ + □a¹b^n-1 + □a²b^n-2 + … + □a⁰bⁿ

לפני כל גורם מופיע מקדם מספרי כלשהו, שבינתיים ערכו הכללי אינו ידוע לנו ומסומן בעזרת הסימן □. מהיכרותנו את הבינום ממעלה שנייה ושלישית ידוע לנו שערכו של המקדם המכפיל את הגורם תלוי במספר החזרות בהן מופיע הגורם בשלב פתיחת הסוגריים. למשל, בפירוק הבינום ממעלה שנייה התקבל הגורם ab (או ba) פעמיים,

(a+b)² = (a+b)•(a+b) = a² + ab + ba + b²

הגורמים a² ו- b² מופיעים רק פעם אחת אחרי פתיחת הסוגריים, לכן ערכו של המקדם של כל אחד מהגורמים האלה הוא 1.

כעת נשאלת השאלה האם ניתן לדעת באופן כללי כמה פעמים יחזור על עצמו גורם כלשהו בפירוק של בינום מסדר n כלשהו. התשובה היא כן. לשם כך יש להיעזר בחוקי הקומבינטוריקה, ובחוק אחד מסוים אם להיות יותר מדויקים. על כך מייד.

נבחן כעת את פירוק הבינום מהמעלה השלישית,

(a+b)³ =
(a+b)•(a+b)•(a+b) =
a³ + 3a²b + 3ab² + b³

הגורם a³b⁰ מתקבל מבחירה של האיבר a בכל אחד משלושת הביטויים שבשלושת זוגות הסוגריים והכפלתם זה בזה. קיימת רק אפשרות מכפלה אחת לקבלת גורם זה, לכן המקדם של גורם זה חייב להיות 1. לעומת זאת, את הגורם a²b¹ ניתן לקבל ממספר מכפלות שונות. כדי לקבל גורם זה יש לבחור את האיבר a בשני זוגות סוגריים כלשהם ואת האיבר b בזוג הסוגריים שנותר. ספירת מספר המכפלות, שהוא מספר הסידורים, ייתן את ערכו של המקדם שצריך להופיע לפני הגורם a²b.

אז כמה מכפלות שייכות לכל גורם?

כדי לענות על שאלה זו נגדיר קודם את ההגדרה הבאה. כל זוג סוגריים שנבחר יילקח ממנו האיבר a לצורך ביצוע המכפלה ואילו כל זוג סוגריים שלא נבחר יילקח ממנו האיבר b.

עבור הגורם a²b עלינו לבחור שני זוגות סוגריים מתוך שלושה אפשריים שמתוכם ניקח את האיבר a כדי ליצור את המכפלה. מזוג הסוגריים שלא נבחר בהכרח יילקח האיבר b. נשים לב שהבחירה נעשית ללא משמעות לסדר הבחירה. כלומר, לא משנה איזה זוג סוגריים נבחר ראשון ואיזה זוג סוגריים נבחר שני. חשוב רק שבסופו של דבר ייבחרו שני זוגות סוגריים בלבד שמתוכן ייבחר האיבר a.

תהליך הבחירה שלעיל תואם את מה שמתאר הכלל הקומבינטורי שנלמד באחד הפרקים הקודמים,

"לבחירה ללא חשיבות לסדר וללא החזרות
של k עצמים מתוך n עצמים
יש n!/[k! • (n-k)!] צירופים שונים"

במקרה של הגורם a²b נציב n=3 ו- k=2, הרי יש שלוש זוגות סוגריים שמתוכן עלינו לבחור רק שתיים. נקבל,

3! / (2!•1!) = 3

כך התקבל ערכו של המקדם שלפני הגורם a²b בפירוק הביטוי הבינומי (a+b)³.

באופן דומה ניתן לקבל את ערכם של כל המקדמים בפירוק של בינום. בצורה כללית נוכל לרשום ביטוי כללי לערכו של המקדם ה- i-י בפירוק הבינום,

n!/[i! • (n-i)!]

בגלל חשיבותו של הביטוי שבכלל הקומבינטורי שלעיל והופעתו המרובה בחישובים מתמטיים הוגדרה עבורו צורת רישום מקוצרת,


צורת רישום מקוצרת זו נקראת מקדם הבינום.

[לפרק הקודם | לפרק הבא]

[ עמוד ראשי - קלקולוס | הסתברות וקומבינטוריקה : ייצוג הסתברות בעזרת שברים | חיבור הסתברויות | הכפלת הסתברויות | עץ הסתברויות | עצרת | סידור n עצמים | בחירה עם חשיבות לסדר וללא החזרות | בחירה עם חשיבות לסדר ועם החזרות | בחירה ללא חשיבות לסדר וללא החזרות | סיכום כללי הקומבינטוריקה | מקדם הבינום | משולש פסקל | הבינום של ניוטון ]