בסיס עשרוני

בפרק הקודם תוארה שיטת ספירה חדשה אשר משתמשת באוסף סמלים שאינם תלויים בסוג הרכוש הנספר, אלא תלויים אך ורק בכמותו. נזכיר שלצורך כך הומצאו הסמלים הבאים כאשר לכל סמל יש ערך כמותי שאינו תלוי בסוג הרכוש:

    1 – עבור כמות שהיא אחת
    2 – עבור כמות שהיא שניים
    3 – עבור כמות שהיא שלושה
    4 – עבור כמות שהיא ארבעה
    5 – עבור כמות שהיא חמישה
    6 – עבור כמות שהיא שישה
    7 – עבור כמות שהיא שבעה
    8 – עבור כמות שהיא שמונה
    9 – עבור כמות שהיא תשעה

בעיה חדשה עלתה כאשר עלה הצורך לספור רכוש הגדול מתשע, למשל עשר, אחד-עשר, עשרים, חמישים, מאה וכו'. האם יצטרך האדם להוסיף סמל חדש לרשימת הסמלים הנ"ל בכל פעם שיגיע לכמות נספרת גבוהה יותר מזו המרבית האפשרית עד לאותו רגע?

לפני שנתחיל ונדון בשכלול שיטת הספירה כדי לפתור בעיה זו נדון בערך כמותי חדש אותו יש לייצג. ערך זה הוא הערך אפס. לא קל היה לאדם לקבל את קיומו של האפס, שכן מהי המשמעות שלאדם יש אפס כדי שמן, אפס כבשים או אפס שקי חיטה? כמות של אפס משמעה שאין אותה לאדם. ברור שלאדם מסוים יש סוגי רכוש מסוימים וחסרים לו סוגי רכוש רבים אחרים. מה הטעם לספור רכוש שאין לך או מה הטעם לציין ברשימותיך ששיש לך כמות של אפס מסוג מסוים של רכוש?

לקח קצת זמן לאדם החושב להבין שנדרש להוסיף סמל מיוחד גם לכמות אפס. השימוש בסמל מיוחד זה יתברר מיד. בשלב זה רק ניתן שוב את רשימת הסמלים, הפעם במלואה:

הסמלים בשיטה העשרונית
סמל	ערך
0	אפס
1	אחד
2	שניים
3	שלושה
4	ארבעה
5	חמישה
6	שישה
7	שבעה
8	שמונה
9	תשעה

טבלה 1: הסמלים בשיטה העשרונית

שיטת המשקלים

שיטת הספירה העשרונית כשמה כן היא. זו היא שיטת ספירה המבוססת על משקל לפי בסיס עשר. כל סמל אכן מייצג כמות שונה כפי שלמדנו בפרק הקודם. אך כעת בנוסף לערך השייך לכל סמל ניתן גם משקל בהתאם למיקומו בתוך רצף של סמלים.

הערך הכי גבוה מבין הסמלים הקיימים הוא הערך תשע המיוצג על-ידי הסמל – 9. כדי לייצג כמות הגדולה מכך נצרף מספר סמלים יחד. צירוף של שני סמלים יבטא מספר בעל ערך חדש גבוה יותר. הסמלים ירשמו ברצף אחד. למשל, הנה דוגמה לרצף הכולל שני סמלים:

13
נמספר את הסמלים המופיעים ברצף מימין לשמאל. כלומר, הסמל שערכו 3 הוא הראשון ברצף והסמל שערכו 1 הוא השני ברצף.

כעת ניתן משמעות מספרית שונה לכל סמל בהתאם למיקומו בתוך רצף הסמלים. הסמל הראשון תפקידו יהיה לייצג את מספר האחדות שבמספר. הסמל השני תפקידו יהיה לייצג את מספר העשרות שבמספר.

למשל, בדוגמה שלעיל הרצף 13 יתפרש כסכום של שלושה אחדות ושל עשר אחד. כלומר, שלושה פעמים אחד ועוד פעם אחת עשר. זהו ערך של שלושה-עשר. הנה עוד מספר דוגמאות נוספות:

    12 = שני אחדות ועשר אחד = שנים-עשר
    25 = חמישה אחדות ושני עשרות = עשרים וחמש
    34 = ארבעה אחדות ושלושה עשרות = שלושים וארבע

כלומר הסמל הראשון סופר כמה אחדות יש במספר והסמל השני סופר כמה עשרות יש במספר. במספר שלושים וארבע יש שלושה עשרות ועוד ארבעה אחדות, לכן הוא מיוצג ע"י הרצף 34.

כדי לייצג את הערכים שאינם כוללים אחדות, אלא רק מספר שלם של עשרות כמו עשר, עשרים, שלושים וכו' נצטרך להשתמש בסמל החדש שהצגנו בתחילת הפרק ושערכו אפס. במספרים עשר, עשרים, שלושים וכו' אין אחדות (או ניתן להגיד שיש אפס אחדות) לכן עבורם נשתמש בסמל אפס, 0, לייצוג מספר האחדות.

מספר האחדות מוגבל אם כן להיות כל ערך בין אפס – 0 ובין תשע – 9. כאשר רכוש הגיע לערך המרבי שניתן להיות מיוצג על-ידי סמל בודד (תשע – 9) ומתווסף לו לפחות עוד פריט אחד אזי הוא יהיה חייב להיות מיוצג על-ידי רצף של סמלים.

בעזרת עשרת הסמלים נוכל לייצג כל ערך כמותי נספר בין אפס ועד תשעים ותשע. עבור ערכים הקטנים מעשר מספיק סמל אחד ועבור ערכים הגדולים מעשר נצטרך להשתמש ברצף של שני סמלים.

הערך המרבי אותו נוכל לייצג בעזרת רצף של שני סמלים הוא המספר 99 שערכו תשעים ותשע. כדי לייצג את הערך מאה נצטרך להוסיף סמל נוסף, שלישי, לרצף. הסמל השלישי ייצג את מספר המאות שבמספר. לדוגמה כך נייצג את הערך מאה בעזרת רצף של שלושה סמלים:

   100 = אפס אחדות, אפס עשרות ואחד מאה = מאה

זוהי שוב דוגמה לנחיצותו של הסמל עבור ערך אפס. בעזרת הסמל עבור אפס ניתן לייצג שהמספר כולל אפס אחדות ואפס עשרות.

והנה דוגמאות למספרים נוספים אחרים,

    253 = שלושה אחדות, חמישה עשרות ושתי מאות = מאתיים חמישים ושלוש
    396 = שישה אחדות, תשעה עשרות ושלושה מאות = שש מאות תשעים ושש
    999 = תשעה מאות, תשעה עשרות ותשעה אחדות = תשע מאות תשעים ותשע

המספר האחרון שהוצג לעיל הוא הערך המרבי שניתן לספור בעזרת רצף של שלושה סמלים. כדי לייצג מספר הגדול ממנו באחד, כלומר את המספר אלף, נצטרך להוסיף עוד סמל אחד לרצף.

כעת נוכל להבהיר שוב את משמעות מקומו של כל סמל ברצף. ראשית נכנה מעתה והלאה כל אחד מעשרת הסמלים בשם סִפְרַה. תוך שימוש בעשרת הסְפַרוֹת בלבד, ומבלי להזדקק להמציא ספרה חדשה (סמל חדש), ניתן יהיה לייצג כל ערך נספר. כדי לייצג מספרים שערכם גדול נזדקק לכתיבת רצף של ספרות. רצף הספרות יכונה מעתה בשם מספר. בכל מספר (רצף של ספרות) יש משמעות שונה לכל ספרה המופיעה בו בהתאם למיקומה בו.

למשל, לשם דוגמה נבחן את המספרים הבאים: 24, 42. בשניהם נעשה שימוש באותן שתי ספרות, אך בסדר שונה. שני המספרים הם בעלי ערך שונה לגמרי. המספר 24 משמעו ארבעה אחדות ושני עשרות, כלומר עשרים וארבע. לעומת זאת, המספר 42 משמעו שני אחדות וארבעה עשרות, כלומר ארבעים ושתיים.

מיקום הספרה במספר קובע את משקלה:
   הספרה הראשונה (מצד ימין) היא במשקל האחדות
   הספרה השנייה היא במשקל העשרות
   הספרה השלישית היא במשקל המאות
   הספרה הרביעית היא במשקל האלפים
   ... וכך הלאה

נסכם זאת בטבלה הבאה:

משקל הספרות במספר
מיקום הספרה	ראשונה	שנייה	שלישית	רביעית	חמישית	...
משקל הספרה	אחדות	עשרות	מאות	אלפים	עשרות- אלפים	...
	1	10	100	1000	10000	...

טבלה 2: משקל הספרות במספר

למשל, את השנה אלפיים ועשר הכוללת שני אלפים ואחד עשרות ניתן יהיה לרשום בעזרת הרצף 2010.

נסכם כי בשיטת ספירה זו ישנם עשרה ספרות. משקל הספרה הראשונה הוא במשקל אחדות. משקלה של כל ספרה במספר, החל מהספרה השנייה והלאה, גדול פי עשר מזה של קודמתה. מסיבה זו נקראת שיטת ספירה זו בשם "השיטה העשרונית" או "השיטה לפי בסיס עשרוני".

◄ להעשרה נוספת ניתן לקרוא את הפרק באתר זה הדן בהתפתחות הספרות.

[לפרק הקודם | לפרק הבא]

[ עמוד ראשי - חשבון | חשבון בסיסי : מנייה חיובית | בסיס עשרוני | מספרים שליליים | פעולות בסיסיות ]