הנגזרת - נקודות קיצון מקומיות

כפי שכבר ראינו ניתן למצוא על הגרף נקודות בהן הפונקציה מגיע לערך מקסימאלי ונקודות בהן היא מגיע לערך מינימאלי. ייחודן של נקודות אלו על פני נקודות אחרות על הגרף הוא בכך שהשיפוע בהן הוא אפס.

לכן, נגדיר את הנקודות בהן השיפוע של הפונקציה (כלומר הנגזרת של הפונקציה) שווה לאפס כאוסף של נקודות הדורשות בדיקה לגבי אופיין.

עבור כל נקודה הדורשת המשך בדיקה מתקיים,

dy / dx = 0

לדוגמה, נמצא את הנקודות הדורשות בדיקה אשר על הגרף הבא,

y = x³ - 4x² + 5x - 1

dy/dx = 3x² - 8x + 5 = 0

x_1,2 = 1, 1⅔

ישנן שתי נקודות בגרף של הפונקציה שלעיל שבהן השיפוע לגרף הפונקציה הוא אפס.

הנקודות הן,

(x₁, y₁) = (46/54, 1⅔)
(x₂, y₂) = (1, 1)

שתי הנקודות שלעיל הן נקודות מיוחדות הדורשות בדיקה לגבי אופיין. כדי להחליט אם הן נקודות מקסימום או מינימום מקומיים של הפונקציה יש לבצע גזירה שנייה.

אם תוצאת הגזירה השנייה (גזירה על תוצאת הגזירה הראשונה) היא חיובית באותה נקודה אזי הנקודה הנבדקת היא נקודת מינימום מקומית – נקודת מינימה.

אם תוצאת הגזירה השנייה (גזירה על תוצאת הגזירה הראשונה) היא שלילית באותה נקודה אזי נקודת הקיצון היא נקודת מקסימום מקומית – נקודת מקסימה.

נבצע גזירה שנייה על הפונקציה שבדוגמה ונקבל,

dy/dx = 3x² – 8x + 5 = 0

d²y/dx² = 6x – 8 = 0

עבור הנקודה הראשונה x=1 נציב ונקבל שהנגזרת השנייה היא שלילית,

d²y/dx² = 6x – 8 = -2

לכן זוהי נקודת מקסימום מקומית.

עבור הנקודה השנייה x=1⅔ נציב ונקבל שהנגזרת השנייה היא חיובית,

d²y/dx² = 6x – 8 = 10

לכן זוהי נקודת מינימום מקומית.

[לפרק הקודם | לפרק הבא]

[ חזרה לראש העמוד ]

[ עמוד הבית | אודות | זכויות יוצרים | מפת האתר ]