הנגזרת - פונקציות טריגונומטריות

להלן טבלה המרכזת את הפונקציות הטריגונומטריות ונגזרותיהן,

פונקציה טריגונומטרית	הנגזרת
sin(x)	cos(x)
cos(x)	-sin(x)
tan(x)	sec²(x)
cot(x)	-cosec²(x)
sec(x)	tan(x)•sec(x)
cosec(x)	-cotan(x)•cosec(x)

דוגמה 1

נגזור את הפונקציה הבאה,

y = sin(2x – 6)

נגדיר משתנה מעבר t,

t = 2x – 6

לכן,

y = sin(t)

נשתמש בנוסחת הגזירה של sin(x) ונקבל את הנגזרת של y לפי t,

dy/dt = cos(t)

כעת נגזור את הפונקציה t לפי x ונקבל,

dt/dx = 2

נשתמש בשיטת הגזירה בשרשרת,

dy/dx = dy/dt • dt/dx

ונקבל,

dy/dx = 2•cos(t) = 2•cos(2x – 6)

דוגמה 2

נגזור את הפונקציה הבאה,

y = 1 – cos²(x)

נגדיר משתנה מעבר t,

t = cos(x)

לכן,

y = 1 – t²

נגזור את y לפי t ונקבל,

dy/dt = -2•t = -2•cos(x)

נגזור את t לפי x ונקבל,

dt/dx = -sin(x)

נשתמש בשיטת הגזירה בשרשרת ונקבל,

dy/dx = -2•cos(x) • (-sin(x)) = 2•sin(x)•cos(x)

דוגמה 3

הוכח את הנוסחה של חישוב הנגזרת של פונקצית tan(x).

נחשב את הנגזרת של הפונקציה הבאה,

y = tan(x) = sin(x) / cos(x)

לפני שנשתמש בחוק המנה נגדיר,

u = sin(x); v = cos(x)

נגזור כל אחת מהפונקציות החדשות שלעיל לפי x ונקבל,

du/dx = cos(x)

dv/dx = -sin(x)

כעת נשתמש בחוק המנה,

y = u/v
dy/dx = (v•du/dx – u•dv/dx) / v²

dy/dx = (cos(x)•cos(x) – sin(x)•(-sin(x))) / cos²(x)
dy/dx = (cos²(x) + sin²(x)) / cos²(x)
dy/dx = 1 / cos²(x)
dy/dx = sec²(x)

הערה: בדרך דומה ניתן להוכיח את הנוסחה של חישוב הנגזרת של פונקצית cot(x).

[לפרק הקודם | לפרק הבא]

[ חזרה לראש העמוד ]

[ עמוד הבית | אודות | זכויות יוצרים | מפת האתר ]