הנגזרת - נקודת פיתול

בפרק הקודם ראינו שעבור נקודות עם שיפוע אפס הנגזרת הראשונה מתאפסת. ראינו גם שכדי להחליט אם נקודה בעלת שיפוע אפס היא נקודת מקסימום מקומית או נקודת מינימום מקומית יש לבצע פעולת גזירה נוספת. אם הנגזרת השנייה היא חיובית עבור אותה נקודה, אז הנקודה הנבדקת היא נקודת מקסימום מקומית. אם הנגזרת השנייה היא שלילית עבור אותה נקודה, אז הנקודה הנבדקת היא נקודת מינימום מקומית.

מה קורה אם הנגזרת השנייה היא אפס?

כאשר הנגזרת השנייה היא אפס אזי ייתכן והנקודה הנבדקת היא נקודת פיתול. כדי לקבוע את אופי הנקודה נבצע נגזרת שלישית ורביעית וכן הלאה עד לפעם הראשונה בה תתקבל נגזרת השונה מאפס. אם הנגזרת הראשונה בה התקבלה תוצאה שונה מאפס היא מסדר אי-זוגי (שלישית, חמישית וכן הלאה) אז הנקודה היא נקודת פיתול. אם הנגזרת הראשונה בה התקבלה תוצאה שונה מאפס היא מסדר זוגי (רביעית, שישית וכן הלאה) אז זוהי נקודת קיצון ונגזרת נוספת תקבע את אופייה לפי הכלל הרגיל (נגזרת שלילית – מקסימה, נגזרת חיובית – מינימה).

לדוגמה, נגזור את הפונקציה הבאה,

y = x³ – 6x² + 12x - 6

נבצע גזירה ראשונה ונקבל,

dy/dx = 3x² – 12x + 12

נמצא את נקודות הקיצון (יש רק אחת),

3x²– 12x + 12 = 0
x = 2

נבצע גזירה שנייה ונקבל,

d²y/dx² = 6x – 12 = 0

כלומר, בנקודה x=2 מתקבלת נקודה בעלת שיפוע אפס שיתכן והיא נקודת פיתול.

כדי לבדוק אם זו אכן נקודת פיתול נבצע גזירה נוספת,

נבצע גזירה שלישית ונקבל,

d³y/dx³ = 6

זוהי תוצאה השונה מאפס עבור x=2 (למעשה עבור כל ערך של x) לכן נסיים כאן את תהליך הגזירות עם גזירה זו שהיא גזירה ממעלה שלישית.

מכיוון שהגזירה היא ממעלה אי-זוגית נקבל שנקודה זו (x=2) היא אכן נקודת פיתול.

[לפרק הקודם | לפרק הבא]

[ חזרה לראש העמוד ]

[ עמוד הבית | אודות | זכויות יוצרים | מפת האתר ]