אסימפטוטה

אסימפטוטה

בגרף של הפונקציה y=1/x ניתן לראות כי עבור ערכים קטנים מאוד של x ערך הפונקציה, y, מגיע לערכים גדולים מאוד. למעשה, ככל שערכו של x קטן לכיוון האפס כך ערכו של y גדל לכיוון אינסוף. הנקודה בה x שווה לאפס אינה מוגדרת לפונקציה ולא ניתן להציב אותה במשוואת הפונקציה כדי לקבל ערך סופי של y.

בנקודות בהן הפונקציה לא מוגדרת או שבהן הפונקציה אינה מקבלת ערך סופי, כמו בנקודות x=0 ו- x=∞ (∞ הוא סימן לאינסוף) בדוגמה שלעיל, ניתן לצייר קו דמיוני המתאר את הערך אליו שואפת הפונקציה להגיע. קו דמיוני זה נקרא בשם אסימפטוטה. האסימפטוטה מתארת את הערך הסופי אליו שואפת הפונקציה להגיע, אך לעולם לא תגיע אליו.

דוגמה 1

למשל, נצייר את קווי האסימפטוטה הקיימים בגרף של הפונקציה y=1/x,

גרף הפונקציה y=1/x עם קווי האסימפטוטה

בגרף שלעיל קיימים שני קווי אסימפטוטה, אחד עבור x=0 והשני עבור x=∞.

עבור x השואף לאינסוף הפונקציה שואפת לערך אפס.

דוגמה 2

לדוגמה נמצא את האסימפטוטות של הפונקציה הבאה,

y = x + 1/x

פונקציה זו אינה מקבל ערך סופי עבור שני ערכים של x. כאשר x שואף לערך אפס אין לפונקציה ערך סופי מוגדר וגם כאשר x שואף לאינסוף אין הפונקציה מקבלת ערך סופי.

כאשר x שואף לאינסוף האיבר 1/x במשוואה שלעיל שואף לערך לכן ניתן להזניח אותו במהלך החישוב ערך הפונקציה y. כלומר ניוותר עם המשוואה y = x. מכאן נקבל שהמשוואה המתארת את קו האסמיפטוטה היא המשוואה y_asymptote = x.

מקרה הפוך הוא כאשר x שואף לאפס. במקרה זה האיבר x מתאפס וניתן להזניח אותו ולהשמיטו. ניוותר עם המשוואה y = 1/x. אבל כאשר x שואף לאפס איבר זה, 1/x, שואף לאינסוף. לכן ערך הפונקציה y במקרה זה שואף לאינסוף. מכאן נקבל שהמשוואה המתארת את קו האסמיפטוטה היא המשוואה y_asymptote = ∞.

נצייר את הפונקציה יחד עם שני קווי אסימפטוטה שלה,

גרף הפונקציה y=x+1/x עם קווי האסימפטוטה

לצורך חישוב משוואת האסימפטוטה נאלצנו לחשב או להעריך מה יהיה ערכה של הפונקציה בנקודות x עבורה הפונקציה אינה מוגדרת. כדי לערוך חישובים אלו בצורה מסודרת, נכונה ושיטתית הוגדרת תורת הגבול עליה ניתן לקרוא בחלק נפרד.

[לפרק הקודם | לפרק הבא]

[ עמוד ראשי - קלקולוס | פונקציה וגרף : מבוא לפונקציה | הגדרת הפונקציה ותכונותיה | מבוא לגרף | גרף של פונקציה | תצורות גרף נפוצות | אסימפטוטה ]