אינטגרל - חישוב שטחים כלואים

בעזרת פעולת האינטגרל ניתן לשחזר (עד כדי קבוע האינטגרציה) את הפונקציה המקורית מתוך הנגזרת שלה. אז זהו רק אחד השימושים של פעולת האינטגרל.

בעזרת פעולת האינטגרל, זו פעולת הסכימה, ניתן לקבל את גודלו של שטח המוגבל על-ידי פונקציה, שאחרת קשה מאוד לחשבו.

ציור של גרף לדוגמה וחישוב שטח המוגדר על-ידו

את פעולת הסכימה ניתן לתאר כפעולת חיבור בין אינספור קווים שאורכם בכל נקודה הוא ערך הפונקציה y ורוחבם הוא רוחב קטן מאוד של dx השואף לאפס. חיבור קווים אלו (בעלי מימד אורך בלבד בקירוב) וסיכומם ייתן את גודל השטח המוגדר על-ידי הפונקציה.

דוגמה 1

נתונה הפונקציה הבאה,

y = x

נצייר פונקציה זו על גבי מערכת הצירים,

גרף של הפונקציה y=x

השטח הכלוא בין הפונקציה לבין ציר x החל מהנקודה x=0 ועד לערך x כלשהו, x=a, הוא למעשה שטחו של משולש ישר-זווית. שטח משולש ישר-זווית הוא כידוע מחצית מכפלת שני הניצבים זה בזה. נסמן את שטח המשולש באות S. אורכו של כל ניצב במשולש שלפנינו הוא a. לכן נקבל,

S = ½ a²

אל תוצאה זו ניתן להגיע גם בעזרת ביצוע פעולת סכימה על הפונקציה y=x בין שתי הנקודות x=0 ו- x=a. נבצע את פעולת האינטגרל על הפונקציה y לפי המשתנה x ונקבל,

∫y•dx = ∫x•dx = ½ x² + c

נציב את שני ערכי גבולות האינטגרציה של x ונקבל שהשטח הכלוא מתחת לגרף בין שתי נקודות גבול אלו הוא,

S = [½ x² + c]x=a – [½ x² + c]x=0 =

(½ a² + c) – (½ 0² + c) =

½ a²

דוגמה 2

נחשב את השטח הכלוא מעל לציר x עבור הפונקציה הבאה,

y = -x² + 10x – 16

נמצא את נקודות הקיצון של הפונקציה בהן שיפוע הפונקציה הוא אפס בעזרת ביצוע פעולת גזירה על הפונקציה והשוואת התוצאה לאפס,

dy/dx = -2x + 10 = 0

x = 5

נקבע את אופייה של נקודת קיצון זו בעזרת ביצוע פעולת גזירה שנייה,

d²y/dx² = -2

תוצאת הנגזרת השנייה עבור נקודת הקיצון (ועבור כל ערך של x למעשה) היא שלילית, לכן מדובר בנקודת קיצון שהיא נקודת מקסימום מקומית.

נחשב את ערכה המקסימאלי של הפונקציה בנקודה זו,

y_(x=5) = -x² + 10x – 16 = -2⁵ + 50 – 16 = 9

נמצא גם עבור אילו ערכים של x חותכת פונקציה זו את ציר x על-ידי השוואת ערך הפונקציה לאפס. נקבל,

y = -x² + 10x – 16 = 0

הפתרונות של המשוואה הריבועית שלעיל הן,

x = 2, 8

כלומר פונקציה y חותכת את ציר x בשתי נקודות,

x = 2; x = 8

נצייר פונקציה זו על גבי מערכת הצירים,

גרף של הפונקציה y=x

נדרש לחשב את השטח הכלוא מתחת לפונקציה אך מעל לציר x. כלומר נדרש לחשב את ערכו של אינטגרל הפונקציה בין הנקודות x=2 ו- x=8. נחשב קודם את ערכו של האינטגרל הכללי,

∫(-x² + 10x – 16)•dx = -1/3•x³ + 5x² – 16x

הערה: אין צורך להוסיף את קבוע האינטגרציה c כי ממילא הוא יתאפס במהלך חישוב האינטגרל המסוים.

נחשב את ערך האינטגרל המסוים בין x=2 ו- x=8,

S = [-1/3•x³ + 5x² – 16x]_x=8 – [-1/3•x³ + 5x² – 16x]_x=2 =

21⅓ – (-14⅔) =

36

דוגמה 3

נחשב את השטח הכלוא בין שתי הפונקציות הבאות אם ידוע שאין חותכות אחת את השנייה רק בשתי נקודות בלבד,

y₁ = -8x⁴ – 8x³ + 12x² + 120
y₂ = -8x³ + 52x² + 72

ראשית נמצא באילו שתי נקודות על גבי ציר x חותכות שתי הפונקציות אחת את השנייה.

בנקודות החיתוך ערכי x וגם ערכי y של שתי המשוואות הם זהים. לכן נוכל להשוות את ערכי שתי הפונקציות ולקבל את המשוואה הבאה,

y₁ = y₂

-8x⁴ – 8x³ + 12x² + 120 = -8x³ + 52x² + 72

-8x⁴ – 40x² + 48 = 0

x⁴ + 5x² – 6 = 0

פתרונות ממשיים למשוואה הן,

x = ±1

אלו הן גם גבולות האינטגרל המסוים.

עבור ערך בתוך תחום זה, למשל x=0, מתקבל ש- y₁>y₂. כלומר, פונקציה y₁ היא הפונקציה התוחמת העליונה והפונקציה y₂ היא התוחמת התחתונה של השטח. לכן יש לחשב את השטח לפי ההפרש בין y₁ ובין y₂.

הערה: אם נחשב את ההפרש בין y₂ ובין y₁ נקבל את אותו גודל שטח רק עם סימן שלילי.

נחשב את האינטגרל הכללי של ההפרש בין שתי הפונקציות ונקבל,

∫(y₁ – y₂)dy =

∫[-8x⁴ – 8x³ + 12x² + 120 – (-8x³ + 52x² + 72)]dy =

(-8x⁴ – 40x² + 48)dy =∫

-8/5x⁵ – 40/3x³ + 48x

נחשב את השטח הכלוא בין שתי הפונקציות,

S = [-8/5x⁵ – 40/3x³ + 48x]_x=1 – [-8/5x⁵ – 40/3x³ + 48x]_x=-1 =

(-8/5 – 40/3 + 48) – (8/5 + 40/3 – 48) =

96

[לפרק הקודם | לפרק הבא]

[ חזרה לראש העמוד ]

[ עמוד הבית | אודות | זכויות יוצרים | מפת האתר ]