אינטגרל - מבוא

נזכיר שעל משמעות הדיפרנציאל והאינטגרל ניתן לקרוא בפרק הדן בתגלית הדיפרנציאל והאינטגרל באתר זה.

פעולת האינטגרל היא פעולה הפוכה לפעולת הדיפרנציאל. על-ידי הפעלת פעולת האינטגרל על הנגזרת של פונקציה ניתן לקבל את הפונקציה המקורית עד לכדי קבוע שערכו חסר. הקבוע שערכו חסר נקרא בשם קבוע האינטגרציה.

לדוגמה נתונה הפונקציה הבאה,

y = x² – 5x + 10

נגזור את הפונקציה ונקבל,

dy/dx = 2x – 5

כעת, נפעיל את פעולת האינטגרל על שני אגפי המשוואה במטרה לקבל את הפונקציה המקורית. נקבל את המשוואה הבאה,

∫dy/dx = ∫(2x – 5)

∫dy = ∫(2x – 5)dx

y = ∫(2x – 5)dx

הסימן ∫ מסמן את פעולת האינטגרציה.
הצירוף dx מציינת על איזה משתנה (אם מופיעים כמה משתנים במשוואה) מבוצעת פעולת האינטגרציה.

מתוך ידיעת כללי הגזירה אנו יודעים שכדי לקבל את האיבר 2x הפונקציה המקורית כללה את האיבר x2. באופן דומה כדי לקבל את האיבר 5 הפונקציה המקורית כללה את האיבר 5x. לכן נוכל לחשב את ערכו של האינטגרל ולקבל את הפונקציה המקורית,

y = ∫(2x – 5)dx = x² – 5x

נשים לב שהאיבר המכיל את הערך הקבוע 10 חסר בפתרון שלעיל. הסיבה לכך היא שבמהלך פעולת הגזירה
כל איבר שערכו קבוע ואינו תלוי במשתנה הגזירה ערכו אפס והוא נעדר מתוצאת פעולת הגזירה. בגלל שהערך הקבוע חסר בתוצאת הגזירה לא ניתן לשחזר אותו במהלך פעולת הסכימה המבוצעת על-ידי פעולת האינטגרציה.

כדי לקבל פתרון הכולל ציון של האיבר החסר יש להוסיף ערך קבוע כלשהו. קבוע זה נקרא קבוע האינטגרציה ונהוג לציינו בעזרת האות c. לכן הפתרון המלא של תוצאת האינטגרציה יהיה מהצורה,

y = ∫(2x – 5)dx = x² – 5x + c

זהו פתרון כללי או פתרון לא-מסוים של פעולת האינטגרל על הפונקציה שהודגמה.

אם ידועה לנו לפחות נקודה אחת על הגרף המתאר את y כתלות ב- x, אז נוכל למצוא גם את ערכו של c.

למשל, אם ידוע שעבור הפונקציה המקורית הנקודה (2, 4) נמצאת על הגרף, אז נוכל למצוא את ערכו של c. נציב x=2 ונצפה לקבל y=4,

y = x² – 5x + c
2² – 5•2+ c = 4
c = 4 + 10 – 4
c = 10

כאשר ידוע ערכו של קבוע האינטגרציה מתקבל פתרון פרטי או פתרון מסוים של פעולת האינטגרל על הפונקציה שהודגמה.

[לפרק הקודם | לפרק הבא]

[ חזרה לראש העמוד ]

[ עמוד הבית | אודות | זכויות יוצרים | מפת האתר ]