מבוא לתורת הגבול

חלוקה של כל מספר סופי באפס נותנת כתוצאה מספר לא מוגדר השואף לאינסוף או למינוס אינסוף. את הערך השואף לאינסוף (חיובי או שלילי) נסמן בעזרת סימן הלולאה המיוחד, ∞. למשל, הביטויים האלגבריים הבאים הם בעלי ערך לא מוגדר השואף לאינסוף או למינוס אינסוף,

5 / 0 = ∞
3,190 / 0 = ∞
10¹⁰ / 0 = ∞
10^-10 / 0 = ∞
-4 / 0 = -∞
-0.0001 / 0 = -∞

אך מהי משמעות חלוקת אפס באפס,

0 / 0 = ?

האם ערך זה שואף לאינסוף? למינוס אינסוף? לאפס? או לערך אחר כלשהו?

התשובה היא שערכו של ביטוי זה אינו מוגדר.

לכן, אם ניתקל בשבר בו גם המונה וגם המכנה מתאפסים נצטרך לעקוף מלכודת זו ולנסות לפתור ולמצוא את ערכו של השבר בדרך אחרת.

למשל, מהו ערכו של השבר הבא המכיל פונקציה של x במכנה וגם במונה, עבור x=5?

x² – 25     
────── = ?
x – 5     

ברור שמהצבה פשוטה ומיידית של x=5 בביטוי האלגברי הנ"ל נקבל שגם המונה וגם המכנה מתאפסים. לכן בחישוב מיידי ובהצבה פשוטה של x=5 מתקבל שערך השבר אינו מוגדר עבור x=5.

לפני שנראה כיצד בכל-זאת ניתן למצוא את ערך השבר נערוך חישובים פשוטים בצד עבור ערכים של x הקרובים מאוד ל-5 ונראה כיצד משתנה ערכו של השבר. נרכז חישובים אלו בטבלה הבאה:

x	ערך השבר
4.8	9.8
4.9	9.9
4.95	9.95
4.99	9.99
5.01	10.01
5.05	10.05
5.1	10.1
5.2	10.2

מהערכים שחושבו עולה כי ערכו של השבר שואף להגיע לערך 10 ככל שערכו של x מתקרב לערך 5.

לתוצאה זו ניתן להגיע במדויק אם נשנה את השבר ונצמצם אותו,

x² – 25      (x – 5)•(x + 5)           
───── = ───────── = x + 5
x – 5                x – 5               

לאחר צמצום השבר ברור שהצבה של ערך 5 במקום x תיתן תוצאה של 10.

כעת נבחן דוגמה אחרת. מהו ערכו של השבר הבא עבור x השואף לאינסוף?

2x + 1     
───── = ?
x     

כאשר x שואף לאינסוף גם המונה וגם המכנה שואפים לאינסוף. מהי תוצאת החלוקה של מספר השואף לאינסוף במספר אחר השואף לאינסוף?

קודם, נחשב כמו מקודם את ערך השבר עבור ערכים ההולכים וגדלים לאינסוף. נציב ערכים בכפולות של 10 רק לשם הדוגמה וההדמיה של מספרים ההולכים וגדלים. נקבל,

x	ערך השבר
1	3
10	2.1
100	2.01
1,000	2.001
10,000	2.0001
100,000	2.00001

מהר מאוד מתגלה לפנינו שערך השבר שואף למספר 2 ככל שהנעלם x שואף לאינסוף.

נוכל למצוא זאת גם אם נפרק את השבר. נקבל,

(2x + 1) / x =
2 + 1/x

כאשר x שואף לאינסוף אז האיבר 1/x שואף לאפס ולכן הביטוי שלעיל שואף לערך 2.

כדי לחשב את ערכם של ביטויים חשבוניים מורכבים יותר ופונקציות מורכבות יותר הוגדרה תורת הגבול הנידונה מיד בפרק הבא.

[לפרק הקודם | לפרק הבא]

[ עמוד ראשי - קלקולוס | חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי : מבוא לתורת הגבול | תורת הגבול | חוקי תורת הגבול | הדיפרנציאל - שיפוע הפונקציה | הנגזרת - נקודות קיצון מקומיות | הנגזרת - נקודת פיתול | הנגזרת - חוק השרשרת | הנגזרת - חוק המכפלה | הנגזרת - חוק המנה | הנגזרת - פונקציות טריגונומטריות | הנגזרת - פונקציה סתומה | אינטגרל - מבוא | אינטגרל - כללי הסכימה | אינטגרל - סכימה בעזרת משתנה ביניים | אינטגרל - סכימה בהחלפה | אינטגרל - סכימה בחלקים | אינטגרל - חישוב שטחים כלואים | אינטגרל - חישוב נפחים כלואים | אינטגרל - פתרון משוואות דיפרנציאליות | אינטגרל - שיערוך בעזרת שיטת הטרפז ]