תורת הגבול

לצורך חישוב ערכיהם של ביטויים בנקודות לא מוגדרות הומצא מושג הגבול. הגבול מסומן בעזרת הצירוף lim הנלקח מהמילה היוונית לגבול - limes. למשל,

lim (x² – 25) / (x – 5) = ?
^x→5                                  
מתחת לצירוף lim מצוין המשתנה והערך אליו הוא שואף.

א. כדי לחשב את ערך הגבול של ביטוי בו המכנה מתאפס עבור ערך ההצבה של x יש לנסות ולהיפטר מהביטוי במכנה שגורם לאיפוסו.

דוגמה 1

נחשב את הערך או הגבול אליו שואף הביטוי הבא,

lim (x² + x - 6) / (x - 2) = ?
^x→2                                     

נמצא את הגורמים של המונה ונקבל,

lim (x + 3)•(x - 2) / (x - 2) = ?
^x→2                                         

lim (x + 3) = 5
^x→2                  

דוגמה 2

נחשב את הערך או הגבול אליו שואף הביטוי הבא,

√(x² + x - 11) - 3
lim ────────── = ?
^x→4            x - 4                

נכפיל גם את המונה וגם את המכנה בביטוי √(x² + x - 11) + 3 ונקבל,

[√(x² + x - 11) - 3]•[√(x² + x - 11) + 3]
lim ─────────────────────── = ?
^x→4            (x - 4)•[√(x² + x - 11) + 3]                 

(x² + x - 11) - 9
lim ──────────────── = ?
^x→4   (x - 4)•[√(x² + x - 11) + 3]          

x² + x - 20
lim ──────────────── = ?
^x→4  (x - 4)•[√(x² + x - 11) + 3]        

(x - 4)•(x + 5)
lim ──────────────── = ?
^x→4   (x - 4)•[√(x² + x - 11) + 3]        

x + 5
lim ─────────── = 1½
^x→4   √(x² + x - 11) + 3          

ב. ככל שהביטויים הם ממעלה גדולה כך הם גדלים מהר יותר לאינסוף או לחילופין קטנים מהר יותר לאפס מביטויים ממעלה נמוכה יותר.

דוגמה 3

לדוגמה נחשב את הגבול אליו שואף הביטוי הבא,

lim (2x² – 7x – 6) / (x² – 9)=
^x→∞                                        

בחישוב גבול כאשר x שואף לאינסוף נחלק גם את המונה וגם את המכנה ב- x לפי דרגת האיבר המוביל של x במכנה. כלומר, במקרה שלעיל נחלק גם את המונה וגם את המכנה ב- x². נקבל,

lim (2x²/x² – 7x/x² – 6/x²) / (x²/x² – 9/x²) =
^x→∞                                                               
lim (2 – 7/x – 6/x²) / (1 – 9/x²) =
^x→∞                                             
שבר בו המכנה שואף לאינסוף והמונה אינו שואף לאינסוף - שואף לאפס.
לכן נקבל,

lim (2 – 0 – 0)/(1 – 0) = 2
^x→∞                                  

דוגמה 4

לדוגמה נחשב את הגבול אליו שואף הביטוי הבא,

lim (7x⁴ – 15x²) / (x³ + 3x²) =
^x→0                                          

בחישוב גבול כאשר x שואף לאפס נצמצם קודם את השבר לצורתו הפשוטה ביותר מבחינת התלות בנעלם x.
בדוגמה שלעיל נחלק לשם כך את המונה ואת המכנה ב- x². נקבל,

lim (7x² – 15) / (x + 3) =
^x→0                                

כל האיברים המוכפלים בנעלם x ממעלה כלשהי הם שואפים לערך אפס כאשר x שואף לאפס. לכן נקבל,

lim (0 – 15) / (0 + 3) =
^x→0                              
lim (-15/3) = -5
^x→0                   

דוגמה 5

לדוגמה נחשב את הגבול אליו שואף הביטוי הבא,

lim (4x² – 3x + 1/x) / (x² + 2x) =
^x→0                                              

נחלק גם את המונה וגם את המכנה בנעלם x ונקבל,

lim (4x – 3 + 1/x²) / (x + 2) =
^x→0                                        
lim (0 – 3 – 5/0) / (0 + 2) = ∞
^x→0                                          

המונה שואף לאינסוף (בגלל האיבר 5/0) בעוד המכנה שואף ל- 2. לכן הביטוי כולו שואף לאינסוף.

הערה: אם המכנה היה שואף לאפס אז לא היה קיים גבול מוגדר.

ג. פעולת הגבול מחשבת את הערך אליו שואפת הפונקציה להגיע עבור ערך x כלשהו ולא את ערכה של הפונקציה עבור אותו ערך של x.

דוגמה 6

לדוגמה נחשב את גבול הפונקציה הבאה עבור x=6,

┌                                            
│               x≠6: (x²+4)/(x+4)
│f(x) =                                  
│               x=6: 0                 
└                                           

נחשב את הערך או הגבול אליו שואפת הפונקציה עבור x=6,

lim f(x) = (x² + 4)/(x + 4) = 40/10 = 4
^x→6                                                      

פעולת הגבול lim מוצאת את הערך אליו הביטוי שואף להגיע עבור ערך x מסוים ולא את ערכו עבור אותו x. לכן, למרות שידוע שערכה של הפונקציה שלעיל הוא 0 עבור x=6, הרי שעבור ערך x השואף ל- 6 ערכה הולך ומתקרב למספר 4.

לפונקציה שלעיל מוגדרת התנהגות זהה גם כאשר x שואף לערך 6 מהצד העליון (כלומר, ממספרים הגדולים מ- 6 והולכים וקטנים עד ל- 6) וגם כאשר x שואף לערך 6 מהצד התחתון (כלומר, ממספרים הקטנים מ-6 והולכים ומתקרבים ל- 6).

במקרה של הפונקציה הנתונה, ערך הפונקציה מתקרב למספר 4 גם כאשר המשתנה x מתקרב לערך 6 מהצד העליון, המסומן כ- 6+, וגם מהצד התחתון, המסומן כ- 6-.

[לפרק הקודם | לפרק הבא]

[ עמוד ראשי - קלקולוס | חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי : מבוא לתורת הגבול | תורת הגבול | חוקי תורת הגבול | הדיפרנציאל - שיפוע הפונקציה | הנגזרת - נקודות קיצון מקומיות | הנגזרת - נקודת פיתול | הנגזרת - חוק השרשרת | הנגזרת - חוק המכפלה | הנגזרת - חוק המנה | הנגזרת - פונקציות טריגונומטריות | הנגזרת - פונקציה סתומה | אינטגרל - מבוא | אינטגרל - כללי הסכימה | אינטגרל - סכימה בעזרת משתנה ביניים | אינטגרל - סכימה בהחלפה | אינטגרל - סכימה בחלקים | אינטגרל - חישוב שטחים כלואים | אינטגרל - חישוב נפחים כלואים | אינטגרל - פתרון משוואות דיפרנציאליות | אינטגרל - שיערוך בעזרת שיטת הטרפז ]