חוקי תורת הגבול

חוק הגבול הראשון

אם ערכה של פונקציה f(x) שווה לערכה של הפונקציה g(x) עבור כל ערך של x, פרט אולי עבור x=a, אזי מתקיים ששתי הפונקציות שואפות לאותו גבול עבור x=a. ננסח זאת גם כך,

lim f(x) = lim g(x)
^x→a         ^x→a

דוגמה 1
נתונות שתי הפונקציות הבאות,

┌
│            x≠1: (x² – 4)
│f(x) =
│            x=1: 0
└
┌
│            x≠1: (x² – 4)
│g(x) =
│            x=1: 4
└

שתי הפונקציות שוות בערכיהן עבור כל ערך של x, למעט x=1. לכן, הגבול אליו שואפות הפונקציות עבור x=1 הוא זהה.

דוגמה 2

נתונות שתי הפונקציות הבאות,

f(x) = (√x)²
g(x) = |x|

שתי הפונקציות שוות בערכיהן עבור כל ערך של x, ואף גם עבור x=1. לכן, הגבול אליו שואפות הפונקציות עבור x=1 הוא זהה.

חוק הגבול השני

ניתן להעביר את כל הפעולות המתמטיות השונות לתוך ומחוץ לתחום פעולת הגבול כל עוד חלק הביטוי המכיל את הנעלם x נשאר תחום בפעולת הגבול וכל עוד לא מבוצעת פעולת חלוקה באפס. באופן כללי ניתן בפשטות לומר שלפעולת הגבול "אין גבולות".

א. ניתן להוציא הכפלה בקבוע k אל מחוץ לפעולת הגבול,

lim (k•f(x)) = k•lim(f(x))
^x→a                  ^x→a

דוגמה 3

לדוגמה נחשב את הגבול הבא,

lim (5•(x² – 1)/(x – 1)) =
^x→1
5•lim (x² – 1)/(x – 1) =
^x→1
5•lim (x – 1)•(x + 1)/(x – 1) =
^x→1
5•lim (x + 1) =
^x→1
5•2 = 10

ב. ניתן לפרק פעולת גבול על חיבור/חיסור/כפל או חילוק של שתי פונקציות לשתי פעולות גבול נפרדות,

lim (f(x) + g(x)) = lim (f(x)) + lim (g(x))
^x→a                      ^x→a            ^x→a

lim (f(x) – g(x)) = lim (f(x)) – lim (g(x))
^x→a                      ^x→a            ^x→a

lim (f(x) • g(x)) = lim (f(x)) • lim (g(x))
^x→a                      ^x→a          ^x→a

lim (f(x) / g(x)) = lim (f(x)) / lim (g(x))
^x→a                      ^x→a          ^x→a
פיצול פעולת החילוק היא חוקית בתנאי שהגבול אליו שואפת הפונקציה g(x) בנקודה x=a הוא שונה מאפס.

דוגמה 4

לדוגמה נחשב את הגבול הבא,

lim (1/x + x/(1 – x)) =
^x→0
lim (1/x) + lim (x/(1 – x)) =
^x→0           ^x→0
∞ + 0 =
∞

ג. ניתן להוציא פעולות העלאה בחזקה והוצאת שורש אל מחוץ לפעולת הגבול,

lim (f(x))n = [lim (f(x))]ⁿ
^x→a              ^x→a

lim n√(f(x)) = ⁿ√[lim (f(x))]
^x→a                    ^x→a

הוצאת פעולת השורש היא חוקית בתנאי שעבור n זוגי הגבול אליו שואפת הפונקציה f(x) בנקודה x=a הוא אי-שלילי.

דוגמה 5

לדוגמה נחשב את הגבול הבא,

lim ((4x² – 4)/(x + 1))³ =
^x→-1
[lim 4•(x² – 1)/(x + 1)]³ =
^x→-1
[4•(lim (x – 1)•(x + 1)/(x + 1))]³ =
^x→-1
[4•(lim (x – 1))]³ =
^x→-1
[4•(-2)]³ =

(-8)³ =

-512

ד. ניתן להוציא פעולת לוגריתם אל מחוץ לפעולת הגבול,

lim (log_b(f(x))) = log_b([lim (f(x))]
^x→a                              ^x→a

דוגמה 6

לדוגמה נחשב את הגבול הבא,

lim (log₄(x⁶/(5 – x²))) =
^x→2
log₄(lim (x⁶/(5 – x²))) =
^x→2
log₄(lim (64/1)) =
^x→2
log₄(64) =

3

חוק הגבול השלישי
לא לכל פונקציה קיים גבול עבור הנעלם x השואף לערך מסוים. הגבול קיים אם ורק אם הפונקציה שואפת לאותו ערך גם כאשר מתקרבים לערך x מלמעלה וגם כאשר מתקרבים לערך x מלמטה. התקרבות לערך x מלמעלה משמעה התקרבות לערך x מתחום הערכים הגבוה מ- x, כאשר הערכים הולכים וקטנים לקראת הערך x. ההתקרבות לערך x מלמעלה מסומנת כ- x+. התקרבות לערך x מלמטה משמעה התקרבות לערך x מתחום הערכים הנמוך מ- x, כאשר הערכים הולכים וגדלים לקראת הערך x. ההתקרבות לערך x מלמטה מסומנת כ- x-. נגדיר חוק זה כך,

lim f(x) = lim f(x)
^x→n+       ^x→n-

כלומר, במקרה בו לפונקציה מוגדרת התנהגות שונה בין התקרבות לערך ההצבה של x מהצד העליון להתקרבות מהצד התחתון יש למצוא את הערך אליו שואפת הפונקציה להגיע מכל צד ולדרוש שוויון ביניהם כדי שיתקיים גבול מוגדר.

דוגמה 7

נמצא את הגבול עבור x=0 של הפונקציה הבאה,

f(x) = x + 1/x

נמצא את הגבול אליו שואפת הפונקציה כאשר x שואף לאפס מהצד העליון,

lim (x + 1/x) = ∞
^x→0+

נמצא את הגבול אליו שואפת הפונקציה כאשר x שואף לאפס מהצד התחתון,

lim (x + 1/x) = -∞
^x→0-

קיבלנו אי-שוויון בין שתי הגבולות, לכן לא מוגדר ערך גבול לפונקציה עבור x=0.

דוגמה 8

נמצא את הגבול עבור x=3 של הפונקציה הבאה,

┌
│              x>3: x² + 2
│f(x) =      x=3: 10
│                x<3: x²
└

כאן, לפי הגדרת הפונקציה שלעיל, שונה התנהגות הפונקציה כאשר היא מתקרבת למספר 3 מהצד העליון מהתנהגות הפונקציה כאשר היא מתקרבת למספר 3 מהצד התחתון.

נחשב את הערך או הגבול אליו שואפת הפונקציה עבור x=3+ (כלומר כאשר x מתקרב לערך 3 מהצד העליון),

lim f(x) = x² + 2 = 9 + 2 = 11
^x→3+

נחשב את הערך או הגבול אליו שואפת הפונקציה עבור x=3- (כלומר כאשר x מתקרב לערך 3 מהצד התחתון),

lim f(x) = x² = 9
^x→3-

מכיוון שעבור הפונקציה שלעיל התקבלו שני ערכים שונים אזי אין הפונקציה מתכנסת לערך מסוים אחד. לכן אין לפונקציה גבול מוגדר עבור x השואף לערך 3.

דוגמה 9

נמצא את הגבול עבור x=2 של הפונקציה הבאה,

┌
│           x≥2: x² + 1
│f(x) =
│           x<2: 2x + 1
└

נמצא את הגבול אליו שואפת הפונקציה כאשר x שואף ל- 2 מהצד העליון,

lim (x² + 1) = 5
^x→2+

נמצא את הגבול אליו שואפת הפונקציה כאשר x שואף ל- 2 מהצד התחתון,

lim (2x + 1) = 5
^x→2-

קיבלנו שוויון בין שתי הגבולות, לכן קיים ערך גבול לפונקציה עבור x=2 והוא שווה לערך הגבולות שנמצאו, כלומר 5.

[לפרק הקודם | לפרק הבא]

[ חזרה לראש העמוד ]

[ עמוד הבית | אודות | זכויות יוצרים | מפת האתר ]