משפטים בהנדסת המישור

משפטים לישרים
● סכום שתי זוויות צמודות מצד אחד של הישר הוא 180º
● עבור שני ישרים נחתכים סכום כל שתי זוויות סמוכות הוא 180º וכל שתי זוויות נגדיות הן שוות
● אם שני ישרים מקבילים נחתכים על-ידי ישר שלישי, אזי –
    ○ סכום שתי זוויות חד-צדדיות הוא 180º
    ○ כל שתי זוויות מתאימות הן זהות
    ○ כל שתי זוויות מתחלפות הן זהות
● אם עבור שני ישרים הנחתכים על-ידי ישר שלישי, מתקיים אחד מהתנאים –
    ○ סכום שתי זוויות חד-צדדיות הוא 180º
    ○ כל שתי זוויות מתאימות הן זהות
    ○ כל שתי זוויות מתחלפות הן זהות
אזי הישרים הנחתכים הם מקבילים.
● אם שני ישרים הם אנכים (ניצבים) לישר שלישי, אזי הם גם מקבילים אחד לשני.
● אם ישר שלישי החותך שני ישרים מקבילים הוא אנכי לאחד מהישרים, אזי הוא אנכי גם לישר השני.

משפטים במשולש שווה-שוקיים
● במשולש שווה-שוקיים, מול צלעות שוות מונחות זוויות שוות
● במשולש שווה-שוקיים, מול זוויות שוות מונחות צלעות שוות
● במשולש שווה-שוקיים, חוצה זווית-הראש הוא גם התיכון לבסיס וגם הגובה
● אם במשולש חוצה-זווית הראש הוא גם תיכון, אזי המשולש הוא שווה-שוקיים
● אם במשולש הגובה הוא גם תיכון, אזי המשולש הוא שווה-שוקיים

משפטים במשולש ישר-זווית
● במשולש ישר-זווית, סכום ריבועי הניצבים שווה ליתר בריבוע (משפט פיתגורס)
● אם במשולש סכום ריבועי שתי צלעות שווה לצלע השלישית בריבוע, אזי הוא משולש ישר-זווית
● במשולש ישר-זווית, התיכון ליתר שווה למחצית היתר
● אם במשולש התיכון שווה למחצית הצלע אותה הוא חוצה, אזי הוא משולש ישר-זווית
● במשולש ישר-זווית, אם הניצב שווה למחצית היתר, אזי גודל הזווית שמול אותו ניצב היא 30º
● במשולש ישר-זווית, אם אחת הזוויות היא 30º, אזי הניצב שמול זווית זו שווה למחצית היתר

משפטים במשולש כללי
● סכום הזוויות במשולש הוא 180º
● זווית חיצונית למשולש שווה לסכום שתי הזוויות הפנימיות בו שאינן צמודות לה
● זווית חיצונית במשולש גדולה מכל זווית פנימית שאינה צמודה לה
● מול הצלע הארוכה במשולש מונחת הזווית הגדולה
● מול הזווית הגדולה במשולש מונחת הצלע הארוכה
● סכום שתי צלעות במשולש גדול מהצלע השלישית
● הפרש אורכי שתי צלעות במשולש קטן מאורך הצלע השלישית
● משולשים בעלי אותו בסיס הכלואים בין שני ישרים מקבילים הם שווים בשטחיהם
● שטח של משולש שצלעותיו הן a, b ו- c והיקפו p הוא S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)] (נוסחת הירון)

משפטי פרופורציה במשולש
● קטע אמצעים בין שתי צלעות במשולש מקביל לצלע השלישית ושווה למחצית אורכה
● קטע שקצותיו מונחות על שתי צלעות במשולש, מקביל לצלע השלישית ושווה למחצית אורכה הוא קטע אמצעים

חפיפת משולשים
● כדי ששני משולשים יוגדרו כשני משולשים חופפים מספיק שאחד מהתנאים הבאים יתקיים:
    ○ כל שלושת צלעותיהן שוות (נסמן תנאי זה בקיצור צ.צ.צ)
    ○ שתי צלעות שוות וגם הזווית שביניהן (נסמן תנאי זה בקיצור צ.ז.צ)
    ○ שתי זוויות שוות והצלע שביניהן (נסמן תנאי זה בקיצור ז.צ.ז)
    ○ שתי צלעות שוות והזווית שממול לצלע הגדולה (נסמן תנאי זה בקיצור צ.צ.ז*)

משפטי תאלס
● ישרים מקבילים החותכים שוקיים של זווית מקצים עליהם קטעים הפרופורציוניים באורכם (משפט תאלס)
● אם ישר חותך שתי צלעות במשולש לקטעים פרופורציונים, אזי הוא מקביל לצלע השלישית של המשולש (משפט תאלס הפוך)
● ישר במשולש המקביל לאחת מצלעותיו מחלק את המשולש למשולש קטן יותר הפרופורציוני למשולש המקורי (משפט תאלס מורחב)
● אם ישר חוצה שתי צלעות במשולש כך שמתקיים יחס פרופורציה בין צלעות שני המשולשים שנוצרו, אזי הישר מקביל לצלע השלישית במשולש (משפט תאלס מורחב הפוך)

דמיון משולשים
● שני משולשים יוגדרו כשני משולשים דומים מספיק שאחד מהתנאים הבאים יתקיים:
    ○ כל שלושת הזוויות שוות (נסמן תנאי זה בקיצור ז.ז.ז)
    ○ שתי צלעות נמצאות באותו יחס פרופורציה והזווית שביניהן שווה (נסמן תנאי זה בקיצור צ.ז.צ)
    ○ כל שלושת הצלעות נמצאות באותו יחס פרופורציה (נסמן תנאי זה בקיצור צ.צ.צ)
    ○ שתי צלעות נמצאות באותו יחס פרופורציה והזווית שממול לצלע הגדולה שווה (נסמן תנאי זה בקיצור צ.צ.ז*)

משפטים במקבילית
● במקבילית, כל שתי זוויות נגדיות שוות זו לזו
● במקבילית, האלכסונים חוצים זה את זה
● אם במרובע האלכסונים חוצים זה את זה, אזי הוא מקבילית
● מקבילית בה האלכסונים שווים היא מלבן
● מקבילית בה האלכסונים מאונכים היא מעוין
● מקבילית בה האלכסון חוצה-זווית היא מעוין

משפטים בטרפז
● בטרפז שווה-שוקיים כל זוג זוויות משני צידי אותו בסיס הן שוות
● אם בטרפז זוג זוויות מצידי אותו בסיס שוות, אזי הוא טרפז שווה-שוקיים
● בטרפז שווה-שוקיים האלכסונים שווים
● טרפז בו האלכסונים שווים הוא טרפז שווה-שוקיים
● קטע האמצעים בטרפז מקביל לבסיסים ושווה באורכו לממוצע אורכיהם

משפטים במלבן
● במלבן, האלכסונים שווים

משפטים במעוין
● במעוין, האלכסונים חוצים זה את זה
● במעוין, האלכסונים מאונכים זה לזה

משפטים בדלתון
● בדלתון, הישר המחבר את הקודקודים של הזוויות שאינן שוות הוא חוצה שתי זוויות אלו, חוצה את האלכסון האחר ומאונך לו

משפטים על נקודות מיוחדות ומעגלים חוסמים וחסומים
עם משולש
● שלושת התיכונים במשולש נחתכים בנקודה אחת
● נקודת חיתוך התיכונים במשולש מחלקת כל תיכון לשני קטעים ביחס של 1 ל- 2 כשהקטע בכל תיכון הקרוב יותר לקודקוד ממנו הוא יוצא כפול באורכו מהקטע השני
● בכל משולש אפשר לחסום מעגל
● שלושת חוצי הזוויות במשולש נפגשים בנקודה אחת שהיא מרכז המעגל החסום במשולש
● שלושת הגבהים במשולש נחתכים בנקודה אחת
● כל משולש ניתן לחסום במעגל
● האנך האמצעי של קטע הוא אוסף הנקודות הנמצאות במרחקים שווים מקצות הקטע
● שלושת האנכים האמצעיים במשולש נחתכים בנקודה אחת שהיא מרכז המעגל החוסם את המשולש
עם מצולע
● כל מצולע משוכלל ניתן לחסום במעגל
● בכל מצולע משוכלל ניתן לחסום מעגל
עם מרובע
● אם במרובע זוג זוויות נגדיות שווה ל- 180º, אזי ניתן לחסום אותו במעגל
● אם במרובע סכום זוג צלעות נגדיות שווה לסכום זוג הצלעות הנגדיות האחרות, אזי ניתן לחסום בו מעגל

משפטים במעגל
מעגל, זווית-מרכזית ומיתר
● דרך שלוש נקודות שאינן כולן על ישר אחד ניתן להעביר מעגל אחד בלבד
● במעגל, שתי זוויות מרכזיות הן שוות אם ורק אם המיתרים שלהן שווים בהתאמה
● במעגל, מיתרים שווים נמצאים במרחק זהה ממרכז המעגל
    ○ משפט הפוך: במעגל, מיתרים הנמצאים במרחק שווה ממרכז המעגל הם שווים
● במעגל, ככל שמיתר רחוק יותר ממרכז המעגל כך הוא קצר יותר ולהפך
● במעגל, אנך היורד ממרכז המעגל אל מיתר הוא גם חוצה את המיתר, חוצה את הזווית המרכזית שלו וחוצה את הקשת שלו
    ○ משפט הפוך: במעגל, קטע ממרכז המעגל החוצה את המיתר הוא גם מאונך לו
זווית-היקפית
● במעגל, זווית-היקפית שווה למחצית הזווית המרכזית הנשענת על אותה קשת
● במעגל, לזוויות-היקפיות שוות יש אותם אורכי קשת ומיתר
    ○ משפט הפוך: במעגל, קשתות שוות יוצרות זוויות-היקפיות שוות
● במעגל, זווית-היקפית הנשענת על הקוטר היא זווית ישרה
משיקים
● במעגל, המשיק מאונך למחוג (הרדיוס) בנקודת ההשקה
    ○ משפט הפוך: ישר המאונך למחוג בקצהו המחוג הוא משיק למעגל
● במעגל, זווית בין משיק ומיתר שווה לזווית-היקפית הנשענת על המיתר מצדו האחר
● במעגל, שני משיקים היוצאים מאותה נקודה שווים באורכם
● במעגל, קטע המחבר את מרכז המעגל עם נקודה שממנה יוצאים שני משיקים למעגל חוצה את הזווית שבין שני המשיקים
● במעגל, קטע המחבר שני מרכזי מעגלים החותכים זה את זה, חוצה את המיתר המשותף להם בין נקודת החיתוך ומאונך לו
● במעגל, נקודת ההשקה של שני מעגלים משיקים נמצאת על הקטע המחבר את מרכזיהם (או על המשכו)
פרופורציה
● במעגל, כל שני מיתרים חותכים זה את זה כך שמכפלת קטעי האחד שווה למכפלת קטעי השני
● במעגל, אם מנקודה אחת מחוץ למעגל יוצאים קטע החותך את המעגל לכל אורכו ומשיק למעגל, אזי מכפלת חלקו החיצוני של החותך באורכו המלא של החותך שווה לריבוע אורך המשיק

[לפרק הקודם | לפרק הבא]

[ עמוד ראשי - אלגברה והנדסה | הנדסת המישור : מבוא | מושגים בסיסיים | היסודות של הנדסת המישור | חיתוך שני ישרים | שני ישרים מקבילים | המצולע | המשולש | משפחת המרובעים | חישובי היקף ושטח | המעגל והעיגול | משולשים חופפים | יחס ופרופורציה של קטעים | משפט תאלס | יחס הזהב | דמיון משולשים | רשימת משפטים בהנדסה ]