חזקה

עד כה למדנו את פעולות החשבון הבסיסיות שניתן להפעיל בין מספרים ובין ביטויים חשבוניים. פעולות אלו הן חיבור, חיסור, כפל וחילוק. בעזרת ארבע פעולות אלו נפרש מרחב המספרים השלמים והשברים. ביניהם ערכים חיוביים, שליליים והמספר הניטראלי המיוחד – האפס. בפרק זה ובפרק הבא נכיר שתי פעולות חדשות: החזקה והשורש. שתי פעולות אלו לא מוסיפות ערכים חדשים לעולם המספרים שהכרנו. תפקידן של שתי פעולות אלו הוא לקצר ובכך לייעל את צורת הרישום של ערכים וביטויים חשבוניים שונים.

בשלב מתקדם יותר, כאשר נעמיק את ידיעותינו במקצוע המתמטיקה, ניתקל במקרים בהם ערך מסוים או ביטוי חשבוני מסוים מוכפל בעצמו מספר פעמים. למשל, הנה כמה דוגמאות למקרים אלו,

2•2•2•2•2•2•2
1128•1128•1128•1128•1128
(3+2)•(3+2)•(3+2)•(3+2)

ככל שהמספר או הביטוי החשבוני מיוצג בעזרת יותר ספרות וככל שהוא מוכפל בעצמו יותר פעמים כך הכתיבה הופכת לארוכה יותר ולמייגעת. כדי לפתור בעיה זו הומצאה שיטת סימון מקוצרת הנקראת חזקה.

פעולת חזקה על מספר או על ביטוי חשבוני היא הכפלת המספר או הביטוי החשבוני בעצמו מספר פעמים כערך החזקה. ערך החזקה נכתב בקטן בפינה הימנית העליונה לצד המספר עצמו. הוספת חזקה למספר נקראת גם "העלאה בחזקה" של המספר. למשל הנה כמה דוגמאות לצורת הכתיבה של המספר 2 כשהוא מועלה בחזקת מספרים שונים ואת הערכים הסופיים המתקבלים כתוצאה מפעולה זו:

2² = 2•2 = 4
2³ = 2•2•2 = 8
2⁴ = 2•2•2•2 = 16
2⁵ = 2•2•2•2•2 = 32

והנה המספרים מהדוגמה הקודמת, הפעם כתובים בצורת הסימון החדשה של החזקה:

2•2•2•2•2•2•2 = 2⁷
1128•1128•1128•1128•1128 = 1128⁵
(3+2)•(3+2)•(3+2)•(3+2) = (3+2)⁴

כפי שהדוגמאות שלעיל מראות, הסימון הפשוט של פעולת החזקה מאפשר לרשום ביטוי חשבוני ארוך בצורה מקוצרת. דוגמה נוספת לרישום המקוצר של חזקה הוא,

3•3•3•3•3•3•3•3•3•3•3•3 = 3¹²

המספר או הביטוי החשבוני המועלה בחזקה, 3 בדוגמה שלעיל, נקרא בסיס החזקה.
ערך החזקה, 12 בדוגמה שלעיל, נקרא מעריך החזקה.

מספר או ביטוי חשבוני המועלה בחזקה ניתן להגדיר גם באופן מילולי. לדוגמה, הנה המספר 5 כשהוא מועלה בחזקת ערכי מעריך שונים,

חמש בחזקת שניים = 5 בריבוע = 5²
חמש בחזקת שלוש = 5 בשלישית = 5³
חמש בחזקת ארבע = 5 ברביעית = 5⁴
חמש בחזקת חמש = 5 בחמישית = 5⁵
...
חמש בחזקת עשר = 5 בעשירית = 5¹⁰
וכך הלאה...

הגדרת פעולת החזקה היא הכלל הראשון ברשימת כללים לגבי פעולת החזקה שנכיר בפרק זה. כלל זה תקף גם לגבי מספרים שליליים המועלים בחזקה. כדי לציין שבסיס החזקה הוא מספר שלילי נעטוף אותו בסוגריים יחד עם הסימן השלילי שלו. למשל,

(-2)² = (-2) • (-2) = 4
(-2)³ = (-2) • (-2) • (-2) = -8
(-2)⁴ = (-2) • (-2) • (-2) • (-2) = 16
(-2)⁵ = (-2) • (-2) • (-2) • (-2) • (-2) = -32

נשים לב שהעלאת מספר שלילי כלשהו בחזקה זוגית נותנת תמיד תוצאה חיובית.

מתוך ההגדרה של פעולת החזקה ניתן לחלץ מספר כללים נוספים שכדאי להכיר ולזכור. מייד נפרט את אותם כללים.

כלל שני: הכפלה של בסיסים זהים, שלכל אחד מעריך משלו, שווה לבסיס מועלה בחזקת סכום המעריכים. למשל,

2⁵ • 2³ = 2⁵⁺³ = 2⁸
3³ • 3⁴ = 3³⁺⁴ = 3⁷

ההיגיון מאחורי כלל זה הוא פשוט, כי למשל,

2⁵ • 2³ = 2•2•2•2•2 • 2•2•2 = 2⁸ = 2⁵⁺³
3³ • 3⁴ = 3•3•3 • 3•3•3•3 = 3⁷ = 3³⁺⁴

כלל זה תקף לא רק עבור שני בסיסים. למשל,

2¹ • 2² • 2³ = 2 • 2•2 • 2•2•2 = 2¹⁺²⁺³ = 2⁶

הכלל אינו תקף אם ערכי הבסיסים אינם שווים. למשל,

2² • 3² = 2•2 • 3•3•3

עד עתה דנו רק במקרים בהם המעריך הוא בעל ערך חיובי. כעת נשאלת השאלה האם יש משמעות להעלאת מספר בחזקה עם מעריך בעל ערך שלילי? ואם כן מה המשמעות של מעריך שלילי?

אם מעריך חיובי משמש לכתיבה מקוצרת של הכפלה חוזרת, אזי נקבע שמעריך שלילי ישמש לכתיבה מקוצרת של חלוקה חוזרת. זאת-אומרת שחזקה שלילית משמשת לכתיבה מקוצרת של מכנה של שבר המוכפל בעצמו מספר פעמים. למשל, הנה כמה דוגמאות לשימוש בחזקה שלילית,

1/(2•2•2•2•2) = 1/(2⁵) = 2^-5
1/(38•38•38) = 1/(38³) = 38^-3
1/(144•144•144•144•144•144•144) = 1/(144⁷) = 144^-7
1/(1128•1128•1128•1128) = 1/(1128⁴) = 1128^-4

גם במקרה של מעריך שלילי ניתן לחבר את ערכי המעריכים אם הבסיסים זהים. למשל הנה חישוב של הביטוי החשבוני הבא,

(2•2•2•2•2) • 1/(2•2•2) = 2•2

ועם שימוש בחישובי חזקות נקבל,

2⁵ • 2^-3 = 2^5+(-3) = 2^5-3 = 2²

מכאן בא הכלל הבא.

כלל שלישי: החזקה יכולה להיות בעלת ערך שלילי. במקרה זה התוצאה היא שבר שהמונה שלו אחד ושהמכנה שלו הוא בסיס החזקה עם המעריך המקורי אחרי תוצאת הפעלת ערך-מוחלט עליו. למשל,

2^-1 = 1/2^|-1| = 1/2¹ = 1/2
2^-3 = 1/2^|-3| = 1/2³ = 1/8
(-2)^-5 = 1/(-2)^|-5|= 1/(-2)⁵ = 1/-32 = -1/32

כלל רביעי: חזקה של כל בסיס במעריך בעל ערך אחד נותנת את ערך הבסיס עצמו ללא שינוי. למשל,

1¹ = 1
2¹ = 2
(-3)¹ = -3
4¹ = 4

תוצאה זו הגיונית כי הרי ערך החזקה מציין את מספר הפעמים בהם הבסיס יופיע בשרשרת של הכפלות עצמיות.

כלל חמישי: ערכו של כל בסיס בחזקת מעריך בעל ערך אפס נותנת תמיד את הערך אחד. למשל,

1⁰ = 1
2⁰ = 1
3⁰ = 1
(-1)⁰ = 1
(-2)⁰ = 1
...

כלל זה ניתן להסביר תוך שימוש בכללים הקודמים. נדגים את נכונות הכלל בעזרת דוגמה מספרית. לשם כך נבחר, לצורך הדוגמה, במספר 4. נרכיב תוך שימוש במספר 4 את הביטוי החשבוני הבא,

4² • 4^-2 = ?

ניתן לחבר את ערכי החזקות ואז נקבל,

4² • 4^-2 = 4^2+(-2) = 4^2-2 = 40

מצד שני נוכל לחשב את הביטוי החשבוני גם על-ידי החלפת הסימונים המקוצרים של החזקות ברישום של ריבוי הכפלות. כך,

4² • 4^-2 = 4•4 • 1/(4•4) = 1

התוצאה החדשה שקיבלנו והתוצאה הקודמת חייבות להיות זהות מכיוון שמקורן באותו ביטוי חשבוני. קיבלנו אם כן ש-

4⁰ = 1

תוצאה זו נכונה עבור כל ערך של מספר המועלה בחזקת אפס.

כלל שישי: פעולת העלאה בחזקה קודמת לפעולות חיבור, חיסור, כפל וחילוק.

החזקה היא צורת רישום מקוצרת של מכפלות. כדי שניתן יהיה לחשב את ערכו של ביטוי חשבוני המכיל פעולת חזקה חובה קודם לפרוש את פעולת המכפלה לריבוי פעולות הכפל שהיא מייצגת.

למשל, הנה הדוגמה הבאה,

3+5•2³/4 = 3+5•2•2•2/4 = 3+40/4 = 3+10 = 13

לחילופין, במקום לבצע את הפרישה המייגעת של החזקה חזרה לריבוי מכפלות ניתן פשוט לחשב קודם את החזקה לפני כל שאר הפעולות.

למשל, בביטוי הקודם יש לבצע קודם את פעולות העלאה בחזקה ורק לאחר מכן את שאר הפעולות לפי קדימותן:

3+5•2³/4 = 3+5•8/4 = 3+40/4 = 3+10 = 13

כלל שביעי: אם בסיס החזקה הוא ביטוי המוקף בסוגריים יש לחשב קודם את ערך הביטוי שבתוך הסוגריים לפני הפעלת פעולת העלאה בחזקה.

21-2•(4•2-5)² =
21-2•(8-5)² =
21-2•3² =
21-2•9 =
21-18 = 3

כלל שמיני: אם בסיס החזקה הוא שבר (לשם כך השבר חייב להיות מוקף בסוגרים) אז גם המכנה וגם המונה של השבר יועלו בחזקת אותו מעריך. למשל,

(2/3)² = 2²/3² = 4/9

כלל תשיעי: אם בסיס החזקה הוא ביטוי חשבוני שכבר כולל העלאה בחזקה אז התוצאה היא העלאת הבסיס המקורי בחזקה אחת שערך מעריכה הוא מכפלת שני המעריכים. למשל,

(5²)³ = (5²) • (5²) • (5²) =
5² • 5² • 5² = 5²⁺²⁺² = 5^3•2

הערה: הכלל השני מאפשר בחישוב שלעיל לחבר את ערכי החזקות.

לסיכום הנה טבלה המרכזת את כל הכללים הנוגעים לגבי חישוב ביטוי חשבוני הכולל חזקה:

מספר	הכלל	דוגמה
1	פעולת חזקה על מספר היא הכפלת המספר בעצמו מספר פעמים כערך החזקה. החזקה היא צורת רישום מקוצרת למקרה זה.	23 = 2•2•2
2	הכפלה של מספרים זהים המועלים כל אחד בחזקה, שווה למספר מועלה בחזקת סכום החזקות	23•24 = 222 • 2222 = 27 = 23+4
3	העלאת מספר בחזקה שלילית נותנת שבר עם מונה אחד ומכנה שהוא תוצאת הפעלת הערך המוחלט של החזקה על המספר	2-3 = 1/2|-3| = 1/23 = 1/8
4	העלאת מספר בחזקה של אחד שווה לערך המספר עצמו	21 = 2 31 = 3
5	ערכו של כל מספר בחזקת אפס היא אחד	20 = 1 30 = 1
6	פעולת העלאה בחזקה בביטוי חשבוני קודמת לפעולות חיבור, חיסור, כפל וחילוק	5+4•32 = 5+4•9 = 5+36 = 41
7	כדי להעלות בחזקה ביטוי חשבוני המוקף בסוגריים יש קודם לחשב את ערכו של הביטוי ואז להעלותו בחזקה	(2+3)4 = 54 = 625
8	כדי להעלות שבר בחזקה יש להעלות את המונה בחזקה וגם להעלות את המכנה בחזקה	(2/3)2 = 22/32 = 4/9
9	כדי להעלות ביטוי חשבוני הכולל חזקה בחזקה יש להכפיל את מעריך החזקה הקיים של הבסיס במעריך החזקה החדש	(52)3 = (52) • (52) • (52) = 52 • 52 • 52 = 52+2+2 = 53•2

בפרק זה למדנו על צורת סימון חדשה – החזקה. סימון זה מאפשר לקצר את כתיבתם של ביטויים חשבוניים ארוכים המכילים ריבוי הכפלה עצמית של ערך מסוים. הכרנו את החזקה שלה מעריך בעל ערך חיובי. לאחר-מכן הרחבנו את תחום הימצאותו של המעריך לתחום הערכים השליליים. לבסוף גם הבנו את המשמעות של מעריך בערך אפס. כך שכעת ביכולתנו להשתמש בכל מספר שלם כמעריך החזקה. אך מה לגבי מספרים לא שלמים? האם יש משמעות להעלאת מספר בחזקה עם מעריך שערכו שבר? מה המשמעות, לשם הדוגמה, של 9½ אם בכלל ישנה כזו?

על כך מייד בפרק הבא הדן בפעולת השורש.

[לפרק הקודם | לפרק הבא]

[ עמוד ראשי - חשבון | חשבון מתקדם : סוגריים | פתיחת סוגריים | ערך מוחלט | חזקה | שורש | ייצוג חזקות ]