הגדרת הפונקציות הטריגונומטריות

בחישוב זוויות השתמשו עוד בימי קדם לחישוב מרחקים גיאוגרפיים, לחישוב מרחקים של גרמי שמיים ועוד. בעזרת גודלה של הזווית ניתן לקבוע גודלו של מרחק.

דוגמה פשוטה לכך היא חישוב גודלו של מיתר במעגל. מיתר הוא קו ישר המחבר שתי נקודות הנמצאות על היקף המעגל. גודלה של הזווית קובע את אורכו של המיתר. נמצא שקיים יחס קבוע בין גודל הזווית שקודקודה במרכז המעגל וקניה חותכות את נקודות המיתר שעל היקף המעגל ובין אורכו של המיתר. יחס זה נשאר קבוע גם ללא קשר לרדיוס המעגל, כפי שנוכיח בהמשך.

מיתר במעגל

כדי להגיע ליחס קבוע זה ניתן לפשט את הבעיה על-ידי מציאת היחס הקבוע בין חצי הזווית לחצי המיתר. בעזרת פישוט זה מתקבלת צורה של משולש ישר-זווית בו מתקיים משפט פיתגורס.

מיתר במעגל עם משולש ישר-זווית

הסינוס

במשולש ישר-זווית די לדעת את גודלה של אחת הזוויות החדות בו כדי לקבוע את היחס שבין צלעותיו. הקשר בין הזווית לאורכי צלעותיו נקבע בעזרת מושג הסינוס. הסינוס מוגדר עבור זווית חדה במשולש ישר-זווית והוא היחס בין הניצב במשולש שמול הזווית החדה ובין היתר שבמשולש.

פונקציית סינוס

sin α = a/c

מקור המילה סינוס הוא בסנקריטית עתיקה הנהוגה בהודו. משמעות מילה זו במקור הוא חצי-מיתר, אך איבדה את משמעותה בתרגומה מסנקריטית לערבית מערבית ללטינית.

ערכה של פונקצית הסינוס עבור זווית חדה הנעה בין 0 ל- 90 הוא בין 0 ל- 1. עובדה זו נובעת מכך ש-
1. הניצב במשולש ישר-זווית שואף לערך אפסי אם הזווית שממולו שואפת ל- 0.
2. הניצב במשולש ישר-זווית תמיד הוא קטן מהיתר ושואף לערכו עבור זווית גדולה השואפת ל- 90.

גם אם נשנה את גודלו של רדיוס המעגל עדיין נשמר היחס בין אורך חצי המיתר לחצי-הזווית. נוכיח זאת תוך שימוש במעט גיאומטריה.

במשולש AB’C’ שלושת הזוויות זהות לשלושת הזוויות שבמשולש ABC. לכן משולש AB’C’ דומה למשולש ABC. מדמיון שני המשולשים נקבל שמתקיים,

B’C’/BC = AC’/AC

ומכאן ש-

B’C’/AC’ = BC/AC = sin α

מסקנה: בכל משולש ישר-זווית מתקיים היחס הבא עבור כל אחת מהזוויות החדות שבו,

sin α = a/c

הזווית החדה שעבורה מחושבת פונקצית ה- sin הטריגונומטרית יכולה כמובן להיות גם הזווית החדה האחרת שבמשולש ישר-הזווית,

sin β = b/c

פונקציות טריגונומטריות נוספות

בנוסף לפונקצית הסינוס ניתן להגדיר עבור הזווית החדה שבמשולש ישר-הזווית גם עוד שני יחסי צלעות אחרים נוספים. קוסינוס הזווית מוגדר כיחס בין הניצב שעל-יד הזווית לבין היתר. טנגס הזווית מוגדל כיחס בין הניצב שממול לזווית ובין הניצב שעל-יד הזווית.

cos α = b/c
tan α = a/b

משלושת הפונקציות הטריגונומטרית, סינוס, קוסינוס וטנגס, ניתן להגדיר עוד שלושה פונקציות טריגונומטריות שהן אחד חלקי כל פונקציה. סקנס הזווית היא אחד חלקי קוסינוס הזווית. קוסקנס הזווית היא אחד חלקי סינוס הזווית. קוטנגס הזווית היא אחד חלקי טנגס הזווית.

sec α = 1/ (cos α) = c/b
cosec α = 1 / (sin α) = c/a
cot α = 1/ (tan α) = b/a

מבין שלושת אלו האחרונות השלישית שבהן היא הנפוצה והשימושית יותר מביניהן.

[לפרק הקודם | לפרק הבא]

[ עמוד ראשי - קלקולוס | טריגונומטריה : מבוא | מדידת ערך הזווית | הגדרת הפונקציות הטריגונומטריות | ערכים מיוחדים של הפונקציה הטריגונומטרית | קשרים בין הפונקציות הטריגונומטריות | הרחבת תחום ההגדרה | פונקציות טריגונומטריות הפוכות | זהויות טריגונומטריות מיוחדות | יחסי זווית-צלע במשולש ישר-זווית | יחסי זווית-צלע במשולש כללי (משפט הסינוסים) | יחסי זווית-צלע במשולש כללי (משפט הקוסינוס) | חישוב שטח משולש ]