הרחבת תחום ההגדרה
הרחבת תחום ההגדרה עד ל- 360º
את הגדרת הפונקציה הטריגונומטרית הכרנו בתחילת הדרך בעזרת מושג המיתר הנמצא בתוך מעגל. עד עתה הגדרנו את הפונקציות הטריגונומטריות רק לגבי זווית הנמצאת בגבולות הרביע הראשון. כלומר עבור זווית המקיימת,
או
0 ≤ α ≤ π/2
הזווית ברביע הראשון
בפרק זה נרחיב את הגדרת הפונקציות הטריגונומטריות אל כל תחום ההגדרה של הזווית ואף מעבר לו בזכות הכרת מחזוריות הפונקציה.
ברביע השני ערכו של a נשאר חיובי אך ערכו של b מקבל ערכים שליליים בתחום זה. נשים לב שערכו של היתר המגדיר את המרחק בין קצהו החופשי של a לראשית הצירים הנו תמיד חיובי, כשם שהגדרת מרחק הינה תמיד חיובית (או אפס).
הזווית ברביע השני
לכן ברביע השני בו הזווית היא בתחום,
או
π/2 ≤ α ≤ π
נקבל שפונקצית הסינוס מקבלת תמיד ערכים חיוביים בעוד כל הפונקציות האחרות מקבלות ערכים שליליים בלבד.
ברביע השלישי גם a וגם b מקבלים ערכים שליליים. לכן ברביע השלישי בו הזווית היא בתחום,
הזווית ברביע השלישי
או
π ≤ α ≤ 3π/2
נקבל שפונקציות הסינוס והקוסינוס מקבלות תמיד ערכים שליליים בעוד פונקציות הטנגס והקוטנגס מקבלות ערכים חיוביים בלבד.
ברביע הרביעי a מקבל ערכים שליליים בעוד b מקבל ערכים חיוביים. לכן ברביע הרביעי בו הזווית היא בתחום,
הזווית ברביע הרביעי
או
π/2 ≤ α ≤ 2π3
נקבל שפונקצית הקוסינוס מקבלת תמיד ערכים חיוביים בעוד כל הפונקציות האחרות מקבלות ערכים שליליים בלבד.
נסכם התנהגות זו בטבלה הבאה,
סינוס | קוסינוס | טנגס | קוטנגס | |
---|---|---|---|---|
רביע I | + | - | + | + |
רביע II | + | + | - | - |
רביע III | - | + | + | + |
רביע IV | - | - | - | - |
הרחבת תחום ההגדרה מעבר ל- 360º
אם נמשיך להגדיל את הזווית הנמצאת כבר בתחום הרביעי אל מעבר ל- 360º נחזיר בעצם את צלע היתר של משולש ישר הזווית חזרה לרביע הראשון. לזווית הגדולה מ- 360º (אך הקטנה מ- 450º) הזווית שתתקבל ברביע הראשון תהיה בעצם,
מכאן שניתן להפעיל את הפונקציות הטריגונומטריות גם על זוויות הגדולות מ- 360º. למעשה, כל סיבוב של 360º משלים סיבוב שלם של הזווית במרחב ומחזיר אותה לנקודת ההתחלה. מכאן שניתן להפחית מערכה של זווית גדולה כפולות שלמות של 360º כדי להגיע לגודל זווית הנמצא בתחום שבין 0º ל- 360º. נגדיר פעולת הפחתה זו בצורה הבאה,
או
α = α’ – k•2π
כאשר k הוא קבוע שלם ואי-שלילי.
למשל,
cos 900º = cos (900º – 2•360º) = cos (180º) = -1
נשים לב שבגלל שלפונקציות הטנגס והקוטנגס ההתנהגות בשני הרביעים הראשונים חוזרת על עצמה במדויק בשני הרביעים האחרונים נקבל שלמעשה לפונקציות אלו יש חצי מחזוריות של 360º. כלומר, לפונקציות הטנגס והקוטנגס מחזוריות של 180º.
למשל,
cot 210º = cot (210º – 1•180º) = cot (30º) = √3
בהגדרה כללית נקבל את המשוואות הבאות,
cos α = cos(α + k•360º)
tan α = tan(α + k•180º)
cot α = cot(α + k•180º)
הרחבת תחום ההגדרה לתחום השלילי
זווית שלילית היא זווית ראי של הזווית החיובית, ביחס לציר האופקי. כלומר,
מהכרת הטבלה מהפרק הקודם המגדירה לכל פונקציה טריגונומטרית את סימן ערכה (חיובי או שלילי) ברביע הרביעי נוכל לקבל את המשוואות הבאות עבור זווית שלילית,
cos(-α) = cos α
tan(-α) = - tan α
cot(-α) = - cot α
הערה: גם אם לא מובנת המשמעות במרחב הגיאומטרי לזווית הגדולה מ- 360º (או 2π רדיאנים) או לזווית שלילית, עדיין ייתכן וניתקל בזוויות אלו כתוצאת חישוב מתמטית אפשרית.
[ עמוד ראשי - קלקולוס | טריגונומטריה : מבוא | מדידת ערך הזווית | הגדרת הפונקציות הטריגונומטריות | ערכים מיוחדים של הפונקציה הטריגונומטרית | קשרים בין הפונקציות הטריגונומטריות | הרחבת תחום ההגדרה | פונקציות טריגונומטריות הפוכות | זהויות טריגונומטריות מיוחדות | יחסי זווית-צלע במשולש ישר-זווית | יחסי זווית-צלע במשולש כללי (משפט הסינוסים) | יחסי זווית-צלע במשולש כללי (משפט הקוסינוס) | חישוב שטח משולש ]
[  עמוד הבית  |  אודות  |  זכויות יוצרים  |  מפת האתר  ]