הרחבת תחום ההגדרה

הרחבת תחום ההגדרה עד ל- 360º

את הגדרת הפונקציה הטריגונומטרית הכרנו בתחילת הדרך בעזרת מושג המיתר הנמצא בתוך מעגל. עד עתה הגדרנו את הפונקציות הטריגונומטריות רק לגבי זווית הנמצאת בגבולות הרביע הראשון. כלומר עבור זווית המקיימת,

0º ≤ α ≤ 90º
או
0 ≤ α ≤ π/2

הזווית ברביע הראשון

בפרק זה נרחיב את הגדרת הפונקציות הטריגונומטריות אל כל תחום ההגדרה של הזווית ואף מעבר לו בזכות הכרת מחזוריות הפונקציה.

ברביע השני ערכו של a נשאר חיובי אך ערכו של b מקבל ערכים שליליים בתחום זה. נשים לב שערכו של היתר המגדיר את המרחק בין קצהו החופשי של a לראשית הצירים הנו תמיד חיובי, כשם שהגדרת מרחק הינה תמיד חיובית (או אפס).

הזווית ברביע השני

לכן ברביע השני בו הזווית היא בתחום,

90º ≤ α ≤ 180º
או
π/2 ≤ α ≤ π

נקבל שפונקצית הסינוס מקבלת תמיד ערכים חיוביים בעוד כל הפונקציות האחרות מקבלות ערכים שליליים בלבד.

ברביע השלישי גם a וגם b מקבלים ערכים שליליים. לכן ברביע השלישי בו הזווית היא בתחום,

הזווית ברביע השלישי

180º ≤ α ≤ 270º
או
π ≤ α ≤ 3π/2

נקבל שפונקציות הסינוס והקוסינוס מקבלות תמיד ערכים שליליים בעוד פונקציות הטנגס והקוטנגס מקבלות ערכים חיוביים בלבד.

ברביע הרביעי a מקבל ערכים שליליים בעוד b מקבל ערכים חיוביים. לכן ברביע הרביעי בו הזווית היא בתחום,

הזווית ברביע הרביעי

270º ≤ α ≤ 360º
או
π/2 ≤ α ≤ 2π3

נקבל שפונקצית הקוסינוס מקבלת תמיד ערכים חיוביים בעוד כל הפונקציות האחרות מקבלות ערכים שליליים בלבד.

נסכם התנהגות זו בטבלה הבאה,

	סינוס	קוסינוס	טנגס	קוטנגס
רביע I	+	-	+	+
רביע II	+	+	-	-
רביע III	-	+	+	+
רביע IV	-	-	-	-

הרחבת תחום ההגדרה מעבר ל- 360º

אם נמשיך להגדיל את הזווית הנמצאת כבר בתחום הרביעי אל מעבר ל- 360º נחזיר בעצם את צלע היתר של משולש ישר הזווית חזרה לרביע הראשון. לזווית הגדולה מ- 360º (אך הקטנה מ- 450º) הזווית שתתקבל ברביע הראשון תהיה בעצם,

α = α’ – 360º

מכאן שניתן להפעיל את הפונקציות הטריגונומטריות גם על זוויות הגדולות מ- 360º. למעשה, כל סיבוב של 360º משלים סיבוב שלם של הזווית במרחב ומחזיר אותה לנקודת ההתחלה. מכאן שניתן להפחית מערכה של זווית גדולה כפולות שלמות של 360º כדי להגיע לגודל זווית הנמצא בתחום שבין 0º ל- 360º. נגדיר פעולת הפחתה זו בצורה הבאה,

α = α’ – k•360º
או
α = α’ – k•2π

כאשר k הוא קבוע שלם ואי-שלילי.

למשל,

sin 390º = sin (390º – 1•360º) = sin (30º) = ½
cos 900º = cos (900º – 2•360º) = cos (180º) = -1

נשים לב שבגלל שלפונקציות הטנגס והקוטנגס ההתנהגות בשני הרביעים הראשונים חוזרת על עצמה במדויק בשני הרביעים האחרונים נקבל שלמעשה לפונקציות אלו יש חצי מחזוריות של 360º. כלומר, לפונקציות הטנגס והקוטנגס מחזוריות של 180º.

למשל,

tan 225º = tan (225º – 1•180º) = tan (45º) = 1
cot 210º = cot (210º – 1•180º) = cot (30º) = √3

בהגדרה כללית נקבל את המשוואות הבאות,

sin α = sin(α + k•360º)
cos α = cos(α + k•360º)
tan α = tan(α + k•180º)
cot α = cot(α + k•180º)

הרחבת תחום ההגדרה לתחום השלילי

זווית שלילית היא זווית ראי של הזווית החיובית, ביחס לציר האופקי. כלומר,

-α = 360º - α

מהכרת הטבלה מהפרק הקודם המגדירה לכל פונקציה טריגונומטרית את סימן ערכה (חיובי או שלילי) ברביע הרביעי נוכל לקבל את המשוואות הבאות עבור זווית שלילית,

sin(-α) = - sin α
cos(-α) = cos α
tan(-α) = - tan α
cot(-α) = - cot α

הערה: גם אם לא מובנת המשמעות במרחב הגיאומטרי לזווית הגדולה מ- 360º (או 2π רדיאנים) או לזווית שלילית, עדיין ייתכן וניתקל בזוויות אלו כתוצאת חישוב מתמטית אפשרית.

[לפרק הקודם | לפרק הבא]

[ עמוד ראשי - קלקולוס | טריגונומטריה : מבוא | מדידת ערך הזווית | הגדרת הפונקציות הטריגונומטריות | ערכים מיוחדים של הפונקציה הטריגונומטרית | קשרים בין הפונקציות הטריגונומטריות | הרחבת תחום ההגדרה | פונקציות טריגונומטריות הפוכות | זהויות טריגונומטריות מיוחדות | יחסי זווית-צלע במשולש ישר-זווית | יחסי זווית-צלע במשולש כללי (משפט הסינוסים) | יחסי זווית-צלע במשולש כללי (משפט הקוסינוס) | חישוב שטח משולש ]