קשרים בין הפונקציות הטריגונומטריות

בפרק הקודם הוגדרו הפונקציות הטריגונומטריות כיחסי צלעות במשולש ישר-זווית. נזכיר שסינוס הזווית החדה היא היחס שבין הניצב שממול לזווית ליתר. קוסינוס הזווית היא היחס שבין הניצב שליד הזווית ליתר. טנגס הזווית היא היחס שבין הניצב שממול לזווית לניצב האחר, וקוטנגס הזווית היא היחס שבין הניצב שליד הזווית לניצב שממולה.

משולש ישר-זווית עם זווית α

sin α = a/c
cos α = b/c
tan α = a/b
cot α = b/a

על בסיס הגדרות אלו נוכל למצוא קשרים נוספים,

tan α = sin α / cos α
cot α = cos α / sin α
tan α • cot α = 1

הגדרת הפונקציות הטריגונומטריות תקפה לגבי שתי הזוויות החדות שבמשולש ישר-הזווית. סכום שתי זוויות חדות אלו הוא 90º.

ציור משולש ישר-זווית עם זוויות α ו- β

מכאן נוכל להגדיר את הקשרים הבאים בין פונקצית סינוס הזווית לפונקצית קוסינוס הזווית המשלימה ל- 90º ולהפך,

sin α = a/c
cos β = a/c
β = 90º - α

cos (90º – α) = sin α

באופן דומה נוכל לקבל גם את הקשר הבא,

sin (90º – α) = cos α

בהפעלת אותה שיטת חישוב על פונקצית הטנגס ופונקציית הקוטנגס נקבל את הקשר בין שתי פונקציות אלו עבור זווית חדה והזווית החדה המשלימה אותה ל- 90º,

tan α = a/b
cot β = a/b
β = 90º - α

cot (90º – α) = tan α

באופן דומה נוכל לקבל גם את הקשר הבא,

tan (90º – α) = cot α

בפרק זה מצאנו קשרים בין הפונקציות הטריגונומטריות השונות, בייחוד את הקשרים בין זווית חדה לזווית חדה אחרת המשלימה אותה ל- 90º. אך מהו הקשר בין הזווית החדה לזוויות הגדולות מ- 90º (זוויות הנקראות זוויות קהות)? – על כך נדון מייד בפרק הבא.

[לפרק הקודם | לפרק הבא]

[ עמוד ראשי - קלקולוס | טריגונומטריה : מבוא | מדידת ערך הזווית | הגדרת הפונקציות הטריגונומטריות | ערכים מיוחדים של הפונקציה הטריגונומטרית | קשרים בין הפונקציות הטריגונומטריות | הרחבת תחום ההגדרה | פונקציות טריגונומטריות הפוכות | זהויות טריגונומטריות מיוחדות | יחסי זווית-צלע במשולש ישר-זווית | יחסי זווית-צלע במשולש כללי (משפט הסינוסים) | יחסי זווית-צלע במשולש כללי (משפט הקוסינוס) | חישוב שטח משולש ]