ערכים מיוחדים של הפונקציה הטריגונומטרית

במשולש ישר-זווית יש שתי זוויות חדות שכל אחת מהן נעה בין אפס מעלות ל- 90 מעלות.

עבור זווית של α = 30º נקבל את המשולש הבא,

משולש ישר-זווית של 30 מעלות

נשכפל את המשולש מתחת לציר האופקי ונקבל משולש בו כל הזוויות הן 60º. זהו משולש שווה-צלעות, ומכאן ש- c = 2a. כעת נחזור למשולש המקורי ונחשב בו את סינוס הזווית של α,

sin 30º = a/c = a/(2a) = ½

משולש ישר-זווית בו הזווית החדה היא 45º הוא גם משולש שווה-שוקיים בו a=b. בעזרת משפט פיתגורס נמצא את ערכה של פונקצית סינוס הזווית,

c² = a² + b² = 2a²

sin 45º = a/c = √(a²/c²) = √(a²/(2a²) = 1/√2 = √2 / 2

כדי לחשב את ערכה של פונקצית סינוס של זווית בת º60 נשכפל את המשולש הפעם בכיוון אופקי. נקבל משולש שווה צלעות b=c/2. בעזרת משפט פיתגורס נמצא את ערכו של a,

c² = a² + b²

c² = a² + c²/4

¾c² = a²

sin 60º = a/c = √¾ = (√3)/2

עבור זווית קטנה השואפת לאפס נקבל שהניצב a שממולה שואף לאפס. לכן,

sin 0º = 0/c = 0

עבור זווית גדולה (אך עדיין חדה) השואפת ל- º90 נקבל שהניצב ממול לזווית שואף להגיע לגודלו של היתר. לכן,

sin 90º = c/c = 1

ניתן להמשיך ולמצוא את ערכיהן של הפונקציות הטריגונומטריות האחרות של קוסינוס, טנגס וקוטנגס עבור זוויות מיוחדות אלו.

נרכז את תוצאות החישוב בטבלה הבאה:

זווית במעלות	זווית ברדיאנים	סינוס	קוסינוס	טנגס	קוטנגס
0	0	0	1	0	∞
30	π/6	1/2	√3/2	1/√3	√3
45	π/4	√2/2	√2/2	1	1
60	π/3	√3/2	1/2	√3	1/√3
90	π/2	1	0	∞	0

[לפרק הקודם | לפרק הבא]

[ עמוד ראשי - קלקולוס | טריגונומטריה : מבוא | מדידת ערך הזווית | הגדרת הפונקציות הטריגונומטריות | ערכים מיוחדים של הפונקציה הטריגונומטרית | קשרים בין הפונקציות הטריגונומטריות | הרחבת תחום ההגדרה | פונקציות טריגונומטריות הפוכות | זהויות טריגונומטריות מיוחדות | יחסי זווית-צלע במשולש ישר-זווית | יחסי זווית-צלע במשולש כללי (משפט הסינוסים) | יחסי זווית-צלע במשולש כללי (משפט הקוסינוס) | חישוב שטח משולש ]