יחסי זווית-צלע במשולש ישר-זווית

הפונקציות הטריגונומטריות מוגדרות עבור הזווית החדה במשולש ישר-זווית,

משולש ישר-זווית עם זווית α

sin α = a/c
cos α = b/c
tan α = a/b
cot α = b/a

פונקציות אלו נכונות גם עבור הזווית החדה השנייה שבמשולש ישר-הזווית,

משולש ישר-זווית עם זווית β

sin β = b/c
cos β = a/c
tan β = b/a
cot β = a/b

ממשוואות אלו ניתן למצוא את הקשר בין היחס של שתי הזוויות החדות ושני הניצבים.

נשתמש בפונקצית הסינוס ונקבל,

sin α = a/c
sin β = b/c

נבטא את היתר c כפונקציה של הזווית β והניצב b,

c = b / sin β

נציב את c בפונקציה הראשונה ונקבל,

c • sin α = a
b • sin α / sin β = a
b • sin α = a • sin β
sin α / a = sin β / b

זהו מקרה פרטי וחלקי של משפט הסינוסים עליו נלמד מיד בפרק הבא.

במשולש ישר-זווית מתקיים משפט פיתגורס,

a² + b² = c²

משפט זה מתקיים עבור כל משלוש ישר-זווית.
נבחר משולש בו ערכו של היתר הוא יחידה אחת, כלומר c=1.

במקרה בו c=1 נקבל את ערכי סינוס וקוסינוס הבאים,

sin α = a
cos α = b

נציב ערכים אלו ואת c=1 במשפט פיתגורס ונקבל את המשוואה הבאה,

sin² α + cos² α = 1

זהו מקרה פרטי של משפט הקוסינוסים עליו נלמד מיד בהמשך.

[לפרק הקודם | לפרק הבא]

[ עמוד ראשי - קלקולוס | טריגונומטריה : מבוא | מדידת ערך הזווית | הגדרת הפונקציות הטריגונומטריות | ערכים מיוחדים של הפונקציה הטריגונומטרית | קשרים בין הפונקציות הטריגונומטריות | הרחבת תחום ההגדרה | פונקציות טריגונומטריות הפוכות | זהויות טריגונומטריות מיוחדות | יחסי זווית-צלע במשולש ישר-זווית | יחסי זווית-צלע במשולש כללי (משפט הסינוסים) | יחסי זווית-צלע במשולש כללי (משפט הקוסינוס) | חישוב שטח משולש ]