זהויות טריגונומטריות מיוחדות
בפרק חשוב זה נציג זהויות טריגונומטריות חשובות. בעזרת זהויות או נוסחאות אלו ניתן יהיה לפתור משוואות טריגונומטריות. משוואה טריגונומטרית היא משוואה המכילה ביטויים של הפונקציות הטריגונומטריות השונות.
סכום שתי זוויות
cos(α + β) = cosα cosβ – sinα sinβ
tan(α + β) = (tanα + tanβ) / (1 – tanα tanβ)
cot(α + β) = (cotα cotβ – 1) / (cotα + cotβ)
הערה: שתי הנוסחאות האחרונות תקפות כל עוד המכנה של השבר אינו מתאפס!
הוכחות
את הנוסחה לחישוב קוסינוס של זווית נוכיח בעזרת השרטוט הבא:

שרטוט ממחברת
כבניית-עזר נעביר קטע ישר BF המקביל לקטע AC והחותך את קטע DE בנקודה F.
נשים לב ש-
זווית ABF שווה לזווית BAC (זוויות מתחלפות בין הישר AB החותך שני ישרים מקבילים, BF||AC.
זווית DEB ועוד זווית EBF שוות יחד לזווית ישרה. זווית ABF ועוד זווית EBF שוות יחד גם כן לזווית ישרה. לכן זוויות ABF ו- BED בהכרח שוות ביניהן.
מתוך משולש ABC ומשולש ABE נקבל,
cos β = AB/AE
נבטא את AC בעזרת AE,
מתוך משולש ABE ומשולש EBF נקבל,
sin α = BF/BE
נבטא את BF בעזרת AE,
מתוך משולש ADE נקבל,
(AE cos α cos β – AE sin α sin β) / AE =
cos α cos β – sin α sin β
את הנוסחה לחישוב סינוס של חיבור שתי זוויות נקבל מהצבה במשוואת הקוסינוס,
cos (90º – (α + β)) =
cos (α + β – 90º) =
cos α cos (β – 90º) – sin α sin (β – 90º) =
cos α cos(90 – β) + sin α sin (90º – β) =
sin α sin β + cos α cos β
את הנוסחה לחישוב טנגס של חיבור שתי זוויות נקבל מחלוקת נוסחת הסינוס בקוסינוס,
(נזכיר ש- tanα = sinα / cosα)
tan(α + β) = (sinα cosβ + cosα sinβ) / (cosα cosβ – sinα sinβ)
נחלק את המונה ואת המכנה של השבר שבאגף הימני ב- cosα,
נחלק את המונה ואת המכנה של השבר שבאגף הימני ב- cosβ,
את הנוסחה לחישוב קוטנגס של חיבור שתי זוויות נקבל על-ידי הפיכת פונקצית הטנגס,
(נזכיר ש- cotα = 1 / tanα)
cot(α + β) = (1 – tanα tanβ) / (tanα + tanβ)
cot(α + β) = (1 – 1/(cotα cotβ)) / (1/cotα + 1/cotβ)
נחלק את המונה ואת המכנה של השבר שבאגף הימני ב- cotα cotβ,
הפרש שתי זוויות
cos(α – β) = cosα cosβ + sinα sinβ
tan(α – β) = (tanα – tanβ) / (1 + tanα tanβ)
cot(α – β) = (cotα cotβ + 1) / (cotα – cotβ)
הערה: שתי הנוסחאות האחרונות תקפות כל עוד המכנה של השבר אינו מתאפס!
נשים לב שהנוסחאות דומות מאוד. ההבדל היחיד באגף הימני של כל משוואה הוא החלפת סימן הפעולה בין כל שני ביטויים בו.
הוכחות
נוסחאות אלו ניתן לקבל על-ידי הצבת –β במקום β בנוסחאות של חיבור זוויות תוך שימוש בשלב ההוכחה בנוסחאות לחישוב ערכה של זווית שלילית.
זווית כפולה
cos(2α) = cos2α – sin2α
tan(2α) = 2 tanα / (1 – tan2α)
הוכחות
נוסחאות אלו ניתן להוכיח בקלות בעזרת הנוסחאות של סכום שתי זוויות.
sin(2α) = 2 sinα cosα
cos(α + α) = cosα cosα – sinα sinα
cos(2α) = cos2α – sin2α
tan(α + α) = (tanα + tanα) / (1 – tanα tanα)
tan(2α) = 2 tanα / (1 – tan2α)
cot(α + α) = (cotα cotα – 1) / (cotα + cotα)
cot(2α) = (cot2α – 1) / 2cotα
חצי זווית
cos½α = ±√((1 + cosα)/2)
tan½α = ±√((1 – cosα) / (1 + cosα))
cot½α = ±√((1 + cosα) / (1 – cosα))
הוכחות
נוכיח את הנוסחה לחישוב הסינוס של מחצית הזווית בעזרת הנוסחה לחישוב קוסינוס של זווית כפולה,
cos(2α) = (1 – sin2α) – sin2α
cos(2α) = 1 – 2sin2α
ניתן לכתוב אחרת את הנוסחה שלעיל כך שתכיל מחצית זווית,
sin2½α = (cos2½α – cosα)/2
sin½α = ±√((cos2½α – cosα)/2)
סכום והפרש שתי פונקציות
sinα – sinβ = 2 sin½(α–β) cos½(α+β)
cosα + cosβ = 2 cos½(α+β) cos½(α–β)
cosα – cosβ = – 2 sin½(α+β) sin½(α–β)
הוכחות
נוכיח את הנוסחה לחישוב חיבור שתי פונקציות סינוס של שתי זוויות שונות.
את הזוויות α ו- β נוכל לרשום גם כך,
β = ½(α+β) – ½(α–β)
כלומר,
sin[½(α+β) + ½(α–β)] + sin[½(α+β) – ½(α–β)]
נפרק כל פונקצית סינוס בה מחוברות או מחוסרות שתי זוויות לפי הנוסחה לחיבור או חיסור שתי זוויות. נזכיר קודם מהן שתי הנוסחאות בהן נשתמש,
sin(α – β) = sinα cosβ – cosα sinβ
נשתמש בנוסחאות שלעיל לפירוק שתי פונקציות הסינוס ונקבל,
sin½(α+β) cos½(α–β) + cos½(α+β) sin½(α–β) +
sin½(α+β) cos½(α–β) – cos½(α+β) sin½(α–β)
נצמצם ונקבל,
[ עמוד ראשי - קלקולוס | טריגונומטריה : מבוא | מדידת ערך הזווית | הגדרת הפונקציות הטריגונומטריות | ערכים מיוחדים של הפונקציה הטריגונומטרית | קשרים בין הפונקציות הטריגונומטריות | הרחבת תחום ההגדרה | פונקציות טריגונומטריות הפוכות | זהויות טריגונומטריות מיוחדות | יחסי זווית-צלע במשולש ישר-זווית | יחסי זווית-צלע במשולש כללי (משפט הסינוסים) | יחסי זווית-צלע במשולש כללי (משפט הקוסינוס) | חישוב שטח משולש ]

[  עמוד הבית  |  אודות  |  זכויות יוצרים  |  מפת האתר  ]