שתי משוואות עם שני נעלמים

לא בכל הבעיות יש רק נעלם אחד שהוא בלתי ידוע. לפעמים ניתקל בבעיה בה יש שני נעלמים בלתי ידועים. נסמן את שני הערכים הבלתי ידועים כ- x ו- y. כדי לפתור בעיה המכילה שני נעלמים חייב להיות מספיק מידע בבעיה כדי לבנות שתי משוואות בלתי-תלויות. למשל, הנה הבעיה הבאה:

לגלית ולדנה יחד יש 670 שקלים. לגלית יש 30 שקלים יותר מלדנה. כמה שקלים יש לכל אחת מהן?

נסמן את סכום הכסף שיש לגלית ב- x ואת סכום הכסף שיש לדנה ב- y. בחירת סימון זו היא לגמרי אקראית ויכולנו לבצע סימון הפוך. את המידע הנמצא בבעיה נכתוב בשתי משוואות נפרדות. נרשום זאת תחילה מילולית ואח"כ אלגברית. הנה:

סכום כסף של גלית + סכום כסף של דנה = 670
סכום כסף של גלית = סכום כסף של דנה + 30

כעת נתרגם את המלל למשוואות המכילות מספרים ונעלמים בלבד,

x + y = 670
x = y + 30

קיימות שתי דרכים לפתור את שתי המשוואות הללו. בשתי הדרכים נרצה בסופו של דבר להגיע למשוואה אחת עם נעלם אחד. משוואה אחת עם נעלם אחד כבר ידוע לנו כיצד ניתן לפתור. ברגע שמצאנו את ערכו של נעלם אחד נוכל להציב את ערכו באחת המשוואות (לא משנה איזו) וכך לקבל שוב משוואה אחת עם נעלם אחד, הפעם עם הנעלם השני.


דרך פתרון ראשונה היא להפעיל פעולות אלגבריות על אחת המשוואות כך שנבודד את אחד הנעלמים ונמצא את ערכו כביטוי אלגברי של מספרים ושל הנעלם השני בלבד. את ערכו של הנעלם שחולץ מתוך משוואה אחת נוכל להציב במשוואה השנייה בכל מקום בו הוא מופיע וכך זו תהפוך למשוואה עם נעלם אחד, הנעלם השני.

למשל, נבחר במשוואה הראשונה ונפעיל עליה פעולות אלגבריות עד שנמצא את ערכו של x כתלות במספרים ובנעלם y בלבד וללא תלות בכל ביטוי כלשהו המכיל את הנעלם x עצמו. הנה כך, המשוואה היא:

x + y = 670

נבודד את x שבאגף שמאל של המשוואה על-ידי החסרת הנעלם y מאגף זה. נחסיר את הנעלם y גם מהאגף הימני של המשוואה כדי שהשוויון בין שני אגפיה יישמר:

x + y – y = 670 – y
x = 670 - y

מצאנו את ערכו של הנעלם x כתלות במספרים ובנעלם השני y בלבד. חשוב שהנעלם x אינו תלוי בכל ביטוי אלגברי שמכיל את הנעלם x עצמו. את ערכו של הנעלם x נציב במשוואה השנייה כדי שהוא לא יופיע בה יותר. אחרי הצבת ערכו של הנעלם x כפי שנמצא לעיל במשוואה השנייה שטרם השתמשנו בה נקבל:

x = y + 30
670 – y = y + 30

אחרי ההצבה של הנעלם x במשוואה השנייה הפכה המשוואה למשוואה עם נעלם אחד. משוואה זו אנחנו כבר יודעים לפתור:

670 – y = y + 30
670 – y + y = y + 30 + y
670 – 30 = 2y + 30 – 30
640 = 2y
640/2 = 2y/2
320 = y

הערה: יכולנו במקום לבודד את הנעלם x במשוואה הראשונה בעזרת פעולות אלגבריות יכולנו ישר לקחת את ערכו מהמשוואה השנייה. בחרנו בדרך הארוכה יותר רק לשם הדוגמה.

מצאנו את ערכו המספרי של הנעלם y, מכאן קל מאוד למצוא את ערכו של הנעלם x. נבחר את אחת המשוואות ולא משנה איזו. כאן כן נבחר את הדרך הקלה ונבחר את המשוואה שנראית הפשוטה ביותר. נבחר את משוואה השנייה,

x = y + 30
x = 320 + 30
x = 350

מצאנו גם את ערכו המספרי של הנעלם x.

כמובן שגם אם היינו בוחרים למצוא את ערכו של הנעלם x מתוך המשוואה הראשונה עדיין הייתה מתקבלת אותה תוצאה מספרית:

x + y = 670
x + 320 = 670
x + 320 – 320 = 670 – 320
x = 350

רק שכאן החישוב ארך מעט יותר. עם הניסיון תירכש יכולת האבחנה לבחור את המשוואה הנוחה יותר.

אחרי שמצאנו את ערכם של x ושל y נוכל לענות על השאלה שנשאלה בבעיה: לגלית יש סכום של 350 שקלים ולדנה יש סכום של 320 שקלים. נוכל לערוך בדיקה קצרה של התוצאה רק כדי לוודא שזו התוצאה הנכונה. לשם בדיקת התוצאה נחבר את שני הסכומים ואכן נגיע לסכום הכולל של 350+320=670 וגם אכן 350 = 320+30.

יכולנו גם לבחור סימון הפוך של x ו- y והפתרון היה נותן את אותן תוצאות. כלומר, יכולנו לסמן את סכום כספה של דנה כנעלם x ואת סכום כספה של גלית כנעלם y. הוכיחו זאת!

הדרך השנייה לפתרון הבעיה דומה לדרך הראשונה שהוצגה. כדי להציג את הדרך השנייה ואת יעילותה במקרים מסוימים נבחן את הבעיה החדשה הבאה:

הגיל של אביו של שמעון מחובר יחד עם ארבע פעמים גילו של שמעון שווה לפעמיים וחצי גילו של אביו של שמעון. ידוע גם שמכפלת גילו של אביו בשלוש מחובר למכפלת גילו של שמעון בשמונה מסתכמת ב- 240. בן כמה אביו של שמעון?

נגדיר את גילו של אביו של שמעון כנעלם x ואת גילו של שמעון כנעלם y. נחלץ שתי משוואות מהתיאור המילולי של הבעיה ונקבל:

x + 4y = 2.5x
3x + 8y = 240

נוכל לפתור את שתי המשוואות עם שני הנעלמים בדרך שתוארה כבר קודם בבעיה הקודמת. כאן נראה דרך פתרון קצת שונה. במקום לנסות לבודד את הנעלם x או y מתוך אחת המשוואות ואז להציבו במשוואה השנייה נחפש ביטוי אלגברי מתוך אחת המשוואות שניתן לחלצו ולהציבו במשוואה השנייה וכך לצמצמה למשוואה עם נעלם אחד. למשל כך:

נרצה לסדר את אגפי המשוואה השנייה כך שבאגף אחד נקבל את הביטוי x + 4y ובאגף השני ביטוי הכולל רק מספרים ואת הנעלם x בלבד. כך נוכל להציב הביטוי שהתקבל באגף השני במשוואה הראשונה במקום האגף המכיל את x + 4y.

נקבל מהמשוואה השנייה,

3x + 8y = 240
3x + 8y – x = 240 – x 2x + 8y = 240 – x
2(x + 4y) = 240 – x
2(x + 4y) / 2 = (240 – x) / 2
x + 4y = (240 – x)/2

נציב ביטוי זה במשוואה הראשונה,

x + 4y = 2.5x
(240 – x)/2 = 2.5x
240 – x = 5x
240 = 6x
6x = 240
x = 40

התשובה היא שגילו של אביו של שמעון הוא 40. לשם בדיקה ניתן לחשב ולמצוא ששמעון הוא בן 15.

[לפרק הקודם | לפרק הבא]

[ עמוד ראשי - אלגברה והנדסה | אלגברה : משוואה עם נעלם אחד | שתי משוואות עם שני נעלמים | n משוואות עם n נעלמים | מספרים אי-רציונאליים ]