תנועת לווינים

מהירות המילוט ראשונה

לכדור-הארץ קיים כוח-כבידה הנובע מחוק הכבידה העולמי שנלמד כבר בפרק הדן בכוח הכבידה של כדור-הארץ. כוח-הכבידה משפיע על כל הגופים הנמצאים על פני כדור-הארץ ובקרבתו והוא הגורם להם ליפול בנפילה חופשית אל עבר מרכז הכובד שלו.

בפרק הדן בזריקה אופקית ראינו כי גוף הנזרק במהירות מסוימת נופל מטה במשך הזמן עד שהוא לבסוף פוגע בקרקע. ככל שנזרוק את הגוף במהירות התחלתית גדולה יותר כך הוא יגיע למרחק רב יותר על פני כדור-הארץ בטרם יפגע בקרקע.

זריקות אופקיות שונות

בכל קטע של תנועת הגוף הוא מאבד מגובהו או מתקרב לפני הקרקע, יחסית לנקודת ההתחלה, זאת בשל תאוצת הכבידה. אך מנגד, בשל עקמומיות כדור הארץ גם פני הקרקע "מאבדים" מגובהם או "מתרחקים" מהגוף הנופל, יחסית לנקודת ההתחלה.

עקמומיות כדור-הארץ

עד כה הזנחנו את עקמומיות כדור-הארץ בזריקות אופקיות, כי מידת העקמומיות היא זניחה כאשר מדובר במהירויות קטנות.

אך כעת נשאלת השאלה, האם יש מהירות מספיק גדולה בה הגובה שמאבד הגוף בשל תאוצת הכבידה תשתווה ל- "איבוד" הגובה בשל עקמומיות כדור-הארץ?

גוף נע שלעולם אינו באמת נופל

התשובה היא כן.

גוף הנע במהירות מילוט המספיקה כדי להתחמק מנפילה לקראת פני הקרקע נע בעצם בתנועה מעגלית בלתי פוסקת מסביב לכדור-הארץ.

את אופי תנועת גוף הנע בתנועה מעגלית סביב כדור-הארץ נחקור מייד בהמשך.

תנועה במסלול מעגלי

גוף יקיף את כדור-הארץ במסלול מעגלי בהשפעת כוח-הכבידה. כוח-הכבידה משמש ככוח-מרכזי (כוח צנטריפטלי) בדומה לכוח-המרכזי הפועל על גוף הקשור בחוט ומסובב באוויר. נשווה את הכוח-המרכזי לכוח-הכבידה ונקבל את המשוואה הבאה,

m v² / R = G M m / R²

R - רדיוס המסלול המעגלי של הגוף

v² = G M / R

עבור גוף הנע קרוב לפני הקרקע ניתן להניח שרדיוס התנועה המעגלית שלו שווה בקירוב לרדיוס כדור-הארץ. נציב את הערכים המתאימים לכדור-הארץ עבור G, M ו- R ונקבל שמהירות התנועה המעגלית הדרושה, שהיא מהירות המילוט הראשונה, היא,

v_escape1 = √[6.67•10^-11 • 5.97•10²⁴ / (6.340•10⁶)] = 7.92 [km/s]

נוכל לבטא את נוסחת המהירות גם בעזרת תאוצת-הכבידה, g,

v² = g r² / R

כאשר r הוא רדיוס סיבוב כדור-הארץ.

אם הגוף נע קרוב לפני הקרקע הנוסחה שלעיל תתקצר לנוסחה הבאה,

v² = g r

משך-זמן המחזור, T, של תנועת הגוף הוא משך-הזמן הנדרש לגוף להשלים הקפה אחת סביב כדור-הארץ. אם הגוף נמצא במרחק R ממרכז כדור-הארץ, הרי שהמרחק שעליו לעבור הוא,

2 π R

הגוף עובר מרחק זה במהירות v. לכן, משך-זמן המחזור, T, הנדרש להקפה אחת הוא,

T = 2 π R / v

נציב במקום v את הערך שמצאנו קודם ונקבל את המשוואה,

T² = 4 π² R² : G M / R

T² = 4 π² R³ / (G M)

משוואה זו מבטאת את חוק קפלר השלישי.

אם נרצה לבטא את המחזור ביחס לתאוצת-הכבידה, g, נקבל,

T² = 4 π² R³ / (g r²)

מהירות מילוט שנייה

גוף הנע במסלול אופקי קרוב לפני הקרקע במהירות המילוט הראשונה יצליח להימלט מפגיעה בפני הקרקע (זאת בהזנחת כוח החיכוך של האוויר המתנגד לתנועתו). הגוף יימלט רק מפגיעה בפני הקרקע, אך לא יצא מתחום השפעת כוח-הכבידה של כדור-הארץ. כדי שגוף ימלט מכוח-הכבידה של כדור-הארץ ולהגיע אל החלל-החיצון עליו לנוע במהירות השווה למהירות המילוט השנייה או גדולה ממנה.

ככל שהגוף נמצא בגובה רב יותר כך כוח-הכבידה הפועל עליו הולך ונחלש. כוח-הכבידה הרי תלוי במסת כדור-הארץ, בקבוע הכבידה העולמי ובמרחק ממרכז הכובד של כדור-הארץ.

כוח הכבידה נובע ישירות מתאוצת הכבידה. האיור הבא מראה את תלות ערך תאוצת הכבידה במרחק מפני כדור-הארץ. על פני כדור-הארץ תאוצת הכבידה היא כזכור 9.8 מטר לשנייה בריבוע בקירוב. מתחת לפני הקרקע תאוצת הכבידה הולכת ופוחתת מכיוון שפחות מסה של כדור-הארץ נמצאת. מעל לפני הקרקע פוחת ערכה של תאוצת הכבידה של כדור-הארץ ככל שעולים בגובה.

תאוצת-הכבידה כתלות במרחק ממרכז כדור-הארץ

בגובה מסוים מעל לפני כדור-הארץ כוח-הכבידה של כדור-הארץ מגיע לערך אפסי ואינו משפיע יותר על גופים הנמצאים בגובה זה. כדי להביא גוף מפני כדור-הארץ אל גובה זה יש להשקיע כמות מסוימת של אנרגיה.

כדי שגוף יוכל להימלט מעל פני כדור-הארץ אל החלל-החיצון עליו להתגבר על כוח-הכבידה של כדור-הארץ. כוח-הכבידה מעניק לגוף אנרגיה פוטנציאלית בהתאם למרחקו ממרכז הכובד של כדור-הארץ. כדי שגוף יוכל להימלט עליו לנוע הרחק מפני כדור-הארץ תוך השקעה של אנרגיה קינטית שהיא לכל הפחות שווה לאותה אנרגיה פוטנציאלית שיש לו. נוכל לבנות את המשוואה הבאה,

E_p = G M m / r

E_k = ½ m v²

E_k = E_p

½ m v² = G M m / r

v = √(2 G M / r)

נזכיר ש-

g = G M / r²

כאשר g הוא קבוע הכבידה. נציב את g במשוואה שלעיל ונקבל גם את המשוואה הבאה,

v_escape2 = √(2 g r)

נשים לב ש-

v_escape2 = 2 • √v_escape1

זוהי מהירות המילוט בה נדרש גוף לנוע על מנת שלא ייפול חזרה לכיוון כדור-הארץ. גוף הנע במהירות זו הוא בעל אנרגיה קינטית השווה בדיוק לאנרגיה הפוטנציאלית הנובעת מכוח-הכבידה. גוף הנע במהירות זו לא ייפול חזרה אל פני כדור-הארץ, אלא ישתחרר מכוח-הכבידה שלו.

כל האנרגיה הקינטית בה התחיל הגוף את תנועתו מעלה נוצלה כדי להתגבר על האנרגיה הפוטנציאלית השלילית. לכן, כאשר הגוף מגיע לנקודה בה הוא משוחרר מכוח-הכבידה של כדור-הארץ הוא חסר כל אנרגיה, פוטנציאלית וקינטית. הגוף יקיף את כדור-הארץ הנע על צירו במסלול מעגלי.

עבור כדור-הארץ נקבל שערכה של מהירות המילוט היא,

v_escape2 = √(2 g r) = √(2 • 9.8 • 6,378•10³) = 11,180 [m/s]

בפועל, מהירות המילוט הנדרשת היא גבוהה הרבה יותר בגלל כוח חיכוך האוויר הפועל על הגוף והמתנגד לתנועתו.

נסכם בטבלה הבאה את אופי המסלול של גוף הנע אופקית במהירות v מסוימת,

המהירות האופקית ההתחלתית	אופי מסלול התנועה של הגוף
v < vescape1	מסלול פרבולי המסתיים בפגיעה בקרקע
v = vescape1	מסלול מעגלי סביב הכוכב
vescape1 < v < vescape2	מסלול אליפטי סביב הכוכב כשהכוכב באחד המוקדים
v = vescape2	מסלול פרבולי היוצא מהכוכב לחלל-החיצון
v > vescape2	מסלול היפרבולי היוצא מהכוכב לחלל-החיצון

לווין נייח

אם לווין במסלול מעגלי הנמצא מעל נקודה מסוימת שעל כדור-הארץ יקיף את כדור-הארץ באותה מהירות בה כדור-הארץ מסתובב סביב צירו, באותו כיוון סיבוב ובמסלול מקביל לקו הרוחב, אזי הלווין יהיה נייח בשמיים מעל אותה נקודה.

לווין נייח הוא נראה כמרחף מעל אותה נקודה על-כדור הארץ. לווין מסוג זה משמש לצרכי תקשורת לווינית, לתצפיות וחיזוי מטאורולוגי על אזור מסוים וכדומה. לווין נייח נקרא גם בשם 'לווין גיאוסטצניונרי' וגם בשם 'לווין גיאוסינכרוני'.

כדי שלווין ינוע יחד עם תנועת כדור-הארץ נדרש שמשך-זמן המחזור שלו יהיה זהה למשך-זמן המחזור של כדור-הארץ,

T = 24 [hours] = 86,400 [sec]

נחשב בעזרת חוק קפלר את המרחק מכדור-הארץ בו קיים המסלול ללווין הנייח,

T² = 4π² R³ / (G M)

R³ = T² G M / (4π²)

R³ = 86,400² • 6.67•10^-11 • 5.97•10²⁴ / (4π²) = 7.53•10²²

R = 42,230 [km]

רדיוס כדור-הארץ הוא,

r = 6,340 [km]

כלומר, על הלווין לרחף בגובה של 35,890 ק"מ מעל פני כדור-הארץ.

הלווין הנייח הוא נייח רק יחסית לנקודה על כדור-הארץ. כדי להיות נייח יחיסת לכדור-הארץ על הלווין לנוע במהירות התואמת את מהירות הסיבוב של כדור-הארץ, זאת תוך התחשבות במרחקו ממרכז כדור-הארץ. המהירות הקווית בה נע הלווין הנייח היא,

v = 2 π R / T

v = 2 π 42,230 / 86,400 = 3.071[km/s]

[לפרק הקודם | לפרק הבא]

[ עמוד ראשי - מכניקה | מכניקה - דינמיקה : שלושת חוקי ניוטון | מערכת יחידות SI | חיכוך | תקיפה ותנע | עבודה, נצילות והספק | אנרגיה | מכונות פשוטות | תנועה הרמונית פשוטה | מטוטלת מתמטית | מטוטלת פיזיקלית | תנועת לווינים | חוקי קפלר ]